空間群

空間群（くうかんぐん、英: space group^[1]）は、結晶構造の対称性を記述するのに用いられる群である。群の元となる対称操作は、点群での対称操作（恒等操作、回転操作、鏡映操作、反転操作、回映操作、回反操作）に加え、並進操作（すべての点を平行に移動させる操作）である。

空間群は全部で230種類あり、すべての結晶はそのうちの1つに属している。ただし、原子の配列は原子の性質や化学結合によるため、大半の結晶構造は100種類程度の空間群に含まれる。

空間群を記述する方法には、ヘルマン・モーガン記号(Hermann-Mauguin)とシェーンフリース記号(Schoenflies)の2つがある。

シンモルフィック空間群

230種類の空間群は「シンモルフィック空間群」と「ノンシンモルフィック空間群」に分類することができる。並進操作と両立する点群（結晶点群）に並進操作を加えて新しい集合（空間群）を作ることを考える。

まず、単純な並進操作と結晶点群を組み合わせによってできる群をシンモルフィック空間群(または共型空間群)と呼び、73種類ある。また、結晶点群に並進操作を加えることで、回転や鏡映などの対称操作に部分的な並進操作が加わって「らせん操作」や「映進操作（グライド操作）」といった新しい対称操作も生まれる。この新しい対称操作との組み合わせによってできる群をノンシンモルフィック空間群(または非共型空間群)と呼び、157種類ある。

空間群の構造とその表現

ザイツ記号

空間群における対称操作は、回転操作 $α$ と並進操作 $b$ が組み合わさっている。この操作を( $α$ | $b$ )と表す。これをザイツ記法(Seitz notation)、ザイツ記号(Seitz symbol)などと呼ぶ。回転なしの単なる並進を表す時は、 $α$ の代わりに $ε$ を用いて( $ε$ | $b$ )と表す。

(\alpha |b){\boldsymbol {r}}=\alpha {\boldsymbol {r}}+b

並進群

基本並進ベクトル $\mathbf {t} _{n}=n_{1}\mathbf {t} _{1}+n_{2}\mathbf {t} _{2}+n_{3}\mathbf {t} _{3}$ だけ結晶をずらす操作を並進操作と呼び、( $ε$ | $t n$ )と表記する。並進操作の集まりは群をなし、並進群と呼ばれる。

並進群は3つの巡回群の直積である。

T=T_{1}\times T_{2}\times T_{3}

並進群の既約表現は全て1次元であり、空間群に属する操作が作用する逆格子空間のベクトルを $k$ とすると、 $\exp {(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {t_{n}} )}$ と表される。

k点群

空間群 $G$ は、次のように並進群 $T$ を法として剰余類に分解することができる。並進群は空間群の正規部分群(不変部分群)であり、右剰余類と左剰余類は一致する。

G=(\varepsilon |0)T+(\alpha |u_{\alpha })T+(\beta |u_{\beta })T+\cdots

この $ε、α、β\dots$ は結晶点群になる。これを空間群 $G$ の点群と呼ぶ。ある $T$ が与えられたとき、その $T$ をもつ空間群の点群は、その $T$ の晶系に属する点群に限られる。

ブリルアンゾーンの対称性の良い点 $k$ では、 $k$ ≅ $α k$ (ただし≅は逆格子ベクトルだけの違いは許すことを表す)となる回転操作 $α$ が存在する。このような回転操作 $α$ は点群を形成する（数学的には小群や固定部分群などと呼ばれる）。この点群 $P k$ を $k$ 点群と呼ぶ。

k群・kの星

空間群を並進群を法として剰余類分解し、さらに $k$ 点群 $P k$ に属する回転操作 $α$ を持つ剰余類だけを集めてできた $G$ の部分群 $G k$ を $k$ 群（または小群）と呼ぶ。並進群 $T$ は、 $k$ 群 $G k$ の不変部分群になっている。

$k$ 群 $G k$ を法として空間群 $G$ を剰余類に分解すると、

G=\sum _{\beta }(\beta |u_{\beta })G_{k}

ここで $γ$ ≠ $β$ ならば、 $γ k$ ≇ $β k$ である。この $βk$ の集合を $k$ の星と呼ぶ（数学的には軌道と呼ばれる）。

$k$ 群 $G k$ の既約表現（小表現と呼ばれる） $D k$ を求める際は、以下の3パターンに分けて考える必要がある。

$k$ がブリルアンゾーンの内部の点である。
$k$ がブリルアンゾーンの境界にあり、空間群 $G$ がシンモルフィックである。
$k$ がブリルアンゾーンの境界にあり、空間群 $G$ がノンシンモルフィックである。

1と2の場合は、 $k$ 群 $G k$ に属する元( $β$ | $b$ )の回転部分 $β$ のみを集めて得られる $k$ 点群の表現を $Γ$ ( $β$ )とすると、以下のように求まる。

D^{k}((\beta |b))=\exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {b} )\Gamma (\beta )

3の場合は、通常の表現（線型表現）ではなく斜線表現（または射影表現（英語版）とも言う）を用いる必要がある。

$k$ 群 $G k$ の既約表現が得られれば、その誘導表現（英語版）として空間群の既約表現を得ることができる。

脚注

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^ 文部省、日本物理学会編『学術用語集物理学編』培風館、1990年。ISBN 4-563-02195-4。

参考文献

柳瀬章『空間群のプログラム TSPACE』裳華房、1995年。ISBN 4-7853-2908-4。
犬井鉄郎, 田辺行人, 小野寺嘉孝『応用群論―群表現と物理学―』裳華房、1980年。ISBN 4-7853-2801-0。
今野豊彦『物質の対称性と群論』共立出版、2001年。ISBN 4-320-03409-0。
北條博彦『物質科学を学ぶ人の空間群練習帳』、コロナ社、2020年、ISBN 978-4339066531。

外部リンク

空間群一覧 - ウェイバックマシン（2019年11月13日アーカイブ分）

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[1] 文部省、日本物理学会編『学術用語集物理学編』培風館、1990年。ISBN 4-563-02195-4。

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