「森田同値」の版間の差分
削除された内容 追加された内容
ARAKI Satoru (会話 | 投稿記録) 脚注の追加ほか |
Buriedunderground (会話 | 投稿記録) m lnk |
||
2行目:
In [[abstract algebra]], '''Morita equivalence''' is a relationship defined between [[ring (mathematics)|rings]] that preserves many ring-theoretic properties. It is named after Japanese mathematician [[Kiiti Morita]] who defined equivalence and a similar notion of duality in 1958.
-->
[[代数学]]において、'''森田同値'''（もりたどうち、{{lang-en-short|Morita equivalence}}）とは、[[環論]]的な多くの性質を保つ[[環 (数学)|環]]の間の関係のことを言う。これは{{harvtxt|Morita|1958}}において同値関係と双対性に関する記号を定義した[[森田紀一]]にちなんで名付けられた。
<!--
13行目:
-->
== 動機 ==
[[環 (数学)|環]]はその[[環上の加群]]を通じて研究されることが一般的である。これは[[加群]]が環の[[表現論|表現]]と見做せるからである。すべての環 {{mvar|R}} は環の積による作用によって自然に {{mvar|R}} 加群の構造を持つので、加群論的な研究方法はより一般的で有益な情報をもたらす。このような訳で、環についての研究はその環上の加群の成す[[圏 (数学)|圏]]を研究することによってしばしば為される。
この視点からの自然な帰結として、環が森田同値であるとはその環上の加群の成す圏が[[圏同値]]であることと定めた。
41行目:
さらに関手の[[自然変換#定義|自然同型]] {{math|F(–) ≅ ''P'' ⊗<sub>''R''</sub> –}} と {{math|G(–) ≅ Hom(''<sub>S</sub>P'', –)}} が存在することである。有限生成射影的生成素はその加群の圏の'''射影生成素'''（{{lang-en-short|progenerators}}）と呼ばれることもある<ref name=Sep6>DeMeyer & Ingraham (1971) p.6</ref>。
左 {{mvar|R}} 加群の圏から左 {{mvar|S}} 加群の圏への[[加群の直和|直和]]と可換なすべての[[完全関手|右完全関手]] {{mvar|F}} に対して、[[ホモロジー (数学)|ホモロジー代数]]の定理よりある {{math|(''S'', ''R'')}} 両側加群 {{mvar|E}} が存在して、関手 {{math|''F''(–)}} は関手 {{math|''E'' ⊗<sub>''R''</sub> –}} と自然同型である。同値は完全で直和と可換なことが必要なので、このことは {{mvar|R}} と {{mvar|S}} が森田同値である必要十分条件はある両側加群 {{math|''<sub>R</sub>M<sub>S</sub>''}} と {{math|''<sub>S</sub>N<sub>R</sub>''}} が存在して、
{{math|(''R'', ''R'')}} 両側加群としての同型 {{math|''M'' ⊗<sub>''S''</sub> ''N'' ≅ ''R''}} と {{math|(''S'', ''S'')}} 両側加群としての同型 {{math|''N'' ⊗<sub>''R''</sub> ''M'' ≅ ''S''}} が成り立つことを示している。さらに {{mvar|N}} と {{mvar|M}} は {{math|(''S'', ''R'')}} 両側加群としての同型 {{math|''N'' ≅ Hom(''M<sub>S</sub>'', ''S<sub>S</sub>'')}} によって関連づけられる。
<!-- 訳出していない部分あり -->
| |||