「森田同値」の版間の差分
削除された内容 追加された内容
編集の要約なし |
ARAKI Satoru (会話 | 投稿記録) lkほか |
||
35行目:
同型な環は森田同値である。
任意の環 {{mvar|R}} と非負整数 {{mvar|n}} について {{mvar|R}} 成分の {{mvar|n}} 次[[正方行列]]から成る[[全行列環]] {{math|M<sub>''n''</sub>(''R'')}} は環 {{mvar|R}} と森田同値である。これは[[アルティン・ウェダーバーンの定理|アルティン‐ウェダーバーン理論]]によって与えられる[[単純環|単純]][[アルティン環]]の分類の一般化になっていることに注意する。森田同値を確かめるには、もし {{mvar|M}} が左 {{mvar|R}} 加群ならば {{math|''M<sup>n</sup>''}} は行ベクトルに対する左から行列の掛け算によって {{math|M<sub>''n''</sub>(''R'')}} 加群の構造が与えられることに注意すればよい。これは左 {{mvar|R}} 加群の圏 {{math|''R''-Mod}} から左 {{math|M<sub>''n''</sub>(''R'')}} 加群の圏 {{math|M<sub>''n''</sub>(''R'')-Mod}} への関手を定める。
== 同値の判定法 ==
森田同値は次のように特徴付けられる。もし {{math|''F'' : ''R''-Mod → ''S''-Mod}} と {{math|''G'' : ''S''-Mod → ''R''-Mod}} が加法的（共変）[[関手]]ならば、{{math|''F'', ''G''}} が森田同値を定める必要十分条件は、ある平衡 {{math|(''S'', ''R'')}} 両側加群 {{mvar|P}} が存在して {{math|''<sub>S</sub>P''}} と {{math|''P<sub>R</sub>''}} が[[有限生成加群|有限生成]][[射影加群|射影的]][[生成素]]で、
さらに関手の[[自然変換#定義|自然同型]] {{math|F(–) ≅ ''P'' ⊗<sub>''R''</sub> –}} と {{math|G(–) ≅ Hom(''<sub>S</sub>P'', –)}} が存在することである。有限生成射影的生成素はその加群の圏の'''射影生成素'''（{{lang-en-short|progenerators}}）と呼ばれることもある<ref name=Sep6>DeMeyer & Ingraham (1971) p.6</ref>。
左 {{mvar|R}} 加群の圏から左 {{mvar|S}} 加群の圏への[[直和]]と可換なすべての[[完全関手|右完全関手]] {{mvar|F}} に対して、[[ホモロジー (数学)|ホモロジー代数]]の定理よりある {{math|(''S'', ''R'')}} 両側加群 {{mvar|E}} が存在して、関手 {{math|''F''(–)}} は関手 {{math|''E'' ⊗<sub>''R''</sub> –}} と自然同型である。同値は完全で直和と可換なことが必要なので、このことは {{mvar|R}} と {{mvar|S}} が森田同値である必要十分条件はある両側加群 {{math|''<sub>R</sub>M<sub>S</sub>''}} と {{math|''<sub>S</sub>N<sub>R</sub>''}} が存在して、
60行目:
== 同値不変な性質 ==
多くの性質が加群の圏の対象による森田同値を与える関手によって保たれる。一般的に、（台集合の元や環に依らずに）加群とその準同型のみで定義される加群の性質は、森田同値を与える関手によって保たれる'''圏論的性質'''である。たとえば {{math|''F''(–)}} が {{math|''R''-Mod}} から {{math|''S''-Mod}} への森田同値を与える関手ならば、{{mvar|R}} 加群 {{mvar|M}} が次の性質をもつ必要十分条件は {{mvar|S}} 加群 {{math|''F''(''M'')}} がその性質を持つことである：[[入射加群|入射的]]・[[射影加群|射影的]]・[[平坦加群|平坦]]・[[有限生成加群|有限生成]]・[[有限生成加群#有限表示、有限関係、連接加群|有限表示的]]・[[アルティン加群|アルティン的]]・[[ネーター加群|ネーター的]]。森田同値不変とは限らない性質には[[自由加群|自由]]であることや[[巡回加群|巡回的]]であることがある。
多くの環論的性質はその環上の加群のことばで述べられるので、これらの性質は森田同値な環の間で保たれる。森田同値な環で共有される性質は'''森田不変量'''と呼ばれる。たとえば環 {{mvar|R}} が[[半単純環]]である必要十分条件はその環上のすべての加群が[[半単純加群]]であることで、加群の半単純性は森田同値で保たれるので、森田同値な環 {{mvar|S}} 上の加群もすべて半単純であり、したがって {{mvar|S}} も半単純環である。ある性質がなぜ保たれなければならないのかが明らかではないこともある。たとえば標準的な[[フォン・ノイマン正則環]]の定義（すべての {{mvar|R}} の元 {{mvar|a}} に対して {{mvar|R}} の元 {{mvar|x}} が存在して、{{math|''a'' {{=}} ''axa''}} を満たす）の下で森田同値な環もフォン・ノイマン正則環でなければならないことは明らかではない。しかし他の定式化がある：環がフォン・ノイマン正則環である必要十分条件は、その環上の加群がすべて[[平坦加群|平坦]]であることである。平坦性は森田同値で保たれるので、フォン・ノイマン正則性が森田不変量であることがわかった。
69行目:
* [[フォン・ノイマン正則環|フォン・ノイマン正則性]]
* 左（あるいは右）[[ネーター環|ネーター性]]、左（あるいは右）[[アルティン環|アルティン性]]
* 左（あるいは右）[[入射加群#自己移入環|自己入射的]]
* [[準フロベニウス環|準フロベニウス的]]
* [[素環|素]]、左（あるいは右）[[原始環|原始的]]、[[半素環|半素]]、[[半原始環|半原始的]]
120行目:
== 参考文献 ==
{{reflist}}
* {{cite journal | last=Morita | first=Kiiti | authorlink=
* {{cite book | last1=DeMeyer | first1=F. | last2=Ingraham | first2=E. | title=Separable algebras over commutative rings | series=Lecture Notes in Mathematics | volume=181 | location=Berlin-Heidelberg-New York |
* {{cite book | first1=F.W. | last1=Anderson | first2=K.R. | last2=Fuller | title=Rings and Categories of Modules | url={{google books|MALaBwAAQBAJ|Rings and Categories of Modules|plainurl=yes}} | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | volume=13 | edition=2nd | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=New York | year=1992 | isbn=0-387-97845-3 | zbl=0765.16001 }}
* {{cite book | last=Lam | first=T.Y. |
<!-- エラーが出るので、とりあえずコメントアウト
* {{cite web | last=Meyer | first=Ralf | title=Morita Equivalence In Algebra And Geometry | url=http://citeseer.ist.psu.edu/meyer97morita.html }}
130行目:
==Further reading==
-->
* {{cite book | last=Reiner | first=I.
{{デフォルトソート:もりたとうち}}
| |||