「森田同値」の版間の差分
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ARAKI Satoru (会話 | 投稿記録) 翻訳つづき：節"Properties preserved by equivalence"の抄訳 タグ: コメントアウト |
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{{math|(''R'', ''R'')}} 両側加群としての同型 {{math|''M'' ⊗<sub>''S''</sub> ''N'' ≅ ''R''}} と {{math|(''S'', ''S'')}} 両側加群としての同型 {{math|''N'' ⊗<sub>''R''</sub> ''M'' ≅ ''S''}} が成り立つことを示している。
さらに {{mvar|N}} と {{mvar|M}} は {{math|(''S'', ''R'')}} 両側加群としての同型 {{math|''N'' ≅ Hom(''M<sub>S</sub>'', ''S<sub>S</sub>'')}} によって関連づけられる。
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== Criteria for equivalence ==
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While isomorphic rings are Morita equivalent, Morita equivalent rings can be nonisomorphic. An easy example is that a [[division ring]] ''D'' is Morita equivalent to all of its matrix rings ''M''<sub>''n''</sub>(''D''), but cannot be isomorphic when ''n'' > 1. In the special case of commutative rings, Morita equivalent rings are actually isomorphic. This follows immediately from the comment above, for if ''R'' is Morita equivalent to ''S'', <math>R=\operatorname{C}(R)\cong \operatorname{C}(S)=S</math>.
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== 同値不変な性質 ==
多くの性質が加群の圏の対象による森田同値を与える関手によって保たれる。
一般的に、（台となっている元や環に依らずに）加群とその準同型のみで定義される加群の性質は、森田同値を与える関手によって保たれる'''圏論的性質'''である。
たとえば {{math|''F''(–)}} が {{math|''R''-Mod}} から {{math|''S''-Mod}} への森田同値を与える関手ならば、{{mvar|R}} 加群 {{mvar|M}} が次の性質をもつ必要十分条件は {{mvar|S}} 加群 {{math|''F''(''M'')}} がその性質を持つことである：[[入射加群|入射的]]・[[射影加群|射影的]]・[[平坦加群|平坦]]・[[有限生成加群|有限生成]]・[[有限表示的]]・[[アルティン加群|アルティン的]]・[[ネーター加群|ネーター的]]。
森田同値不変とは限らない性質には[[自由加群|自由]]であることや[[巡回加群|巡回的]]であることがある。
多くの環論的性質はその環上の加群のことばで述べられるので、これらの性質は森田同値な環の間で保たれる。
森田同値な環で共有される性質は'''森田不変量'''と呼ばれる。
たとえば環 {{mvar|R}} が[[半単純環]]である必要十分条件はその環上のすべての加群が[[半単純加群]]であることで、加群の半単純性は森田同値で保たれるので、森田同値な環 {{mvar|S}} 上の加群もすべて半単純であり、したがって {{mvar|S}} も半単純環である。
ある性質がなぜ保たれなければならないのかが明らかではないこともある。
たとえば標準的な[[von Neumann正則環]]の定義（すべての {{mvar|R}} の元 {{mvar|a}} に対して {{mvar|R}} の元 {{mvar|x}} が存在して、{{math|''a'' {{=}} ''axa''}} を満たす）の下で森田同値な環もvon Neumann正則環でなければならないことは明らかではない。
しかし他の定式化がある：環がvon Neumann正則環である必要十分条件は、その環上の加群がすべて[[平坦加群|平坦]]であることである。
平坦性は森田同値で保たれるので、von Neumann正則性が森田不変量であることがわかった。
以下の性質は森田不変量である。
{{Div col|cols=2}}
* [[単純環|単純]]、[[半単純環|半単純]]
* [[von Neumann正則環|von Neumann正則性]]
* 左（あるいは右）[[ネーター環|ネーター性]]、左（あるいは右）[[アルティン環|アルティン性]]
* 左（あるいは右）[[自己入射的]]
* [[準フロベニウス環|準フロベニウス]]
* [[素環|素]]、左（あるいは右）[[原始環|原始的]]、[[半素環|半素]]、[[半原始環|半原始的]]
* 左（あるいは右）[[遺伝環|遺伝的]]
* 左（あるいは右）[[非特異環|非特異]]
* 左（あるいは右）[[連接環|連接]]
* [[半準素環|半準素]]、左（あるいは右）[[完全環|完全]]、[[半完全環|半完全]]
* [[半局所環|半局所]]
{{Div col end}}
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== Properties preserved by equivalence ==
Many properties are preserved by the equivalence functor for the objects in the module category. Generally speaking, any property of modules defined purely in terms of modules and their homomorphisms (and not to their underlying elements or ring) is a '''categorical property''' which will be preserved by the equivalence functor. For example, if ''F''(-) is the equivalence functor from ''R-Mod'' to ''S-Mod'', then the ''R'' module ''M'' has any of the following properties if and only if the ''S'' module ''F''(''M'') does: [[injective module|injective]], [[projective module|projective]], [[flat module|flat]], [[faithful module|faithful]], [[simple module|simple]], [[semisimple module|semisimple]], [[finitely generated module|finitely generated]], [[Finitely-generated_module#Finitely_presented.2C_finitely_related.2C_and_coherent_modules|finitely presented]], [[artinian module|Artinian]], and [[noetherian module|Noetherian]]. Examples of properties not necessarily preserved include being [[free module|free]], and being [[cyclic module|cyclic]].
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