「普遍代数学」の版間の差分

等式によって定義することのできる代数的構造は、{{仮リンク|[[バラエティ (普遍代数学)|en|Variety (universal algebra)|label=代数多様性}}]]として総称され、普遍代数学の一対象として代数多様性を研究するものもあれば、普遍代数学の研究対象は代数多様性のみ調べれば十分と考える者もある{{Citation needed|date=July 2008}}。

* 等式を除く全ての{{仮リンク|[[多項関係|label=有限項関係|en|Finitary relation}}]]。特に非等号 <math>a \neq b</math> と[[順序関係|順序]]を含めた任意の[[不等式]]

これでちゃんと群の定義が表せているのかということをチェックするのは重要なことである。普遍代数学的な意味での群を一つとってきたときに、通常の意味での群として取ってきたときよりも多くの情報が出てくるというようなことはあってはならない。通常の定義において単位元 ''e'' が一意であると断っている（一意でなく他の単位元 ''e''&prime; が存在するなら零項演算 ''e'' の値であるところの元と紛らわしい）ことについて、普遍代数学的な定義では何も言っていないが、特段断らずともい一意性が出ることは古典的な群論の教科書における初歩的な練習問題になるようなことなので、問題でない。逆元についてもどうよう同様である。故に、群の普遍代数学的な定義は通常の定義と同じものになる。

一見すると、量化された法則を等式律に書き換えることは単に形だけの違いにも思えるが、しかしこれは極めて実利的な結果である（圏論において[[群対象]]を定義しようとするとき、考えている圏の対象が集合でない場合には、それが元を持つわけではないために、量化された法則が意味を成さないということも起こり得る。そこで一般の圏で意味を持つ性質としての等式法則を使わなければならない）。さらに言えば、普遍代数学の観点は逆元や単位元が存在することのみならず、それが圏の射であることまで主張するのである。基本的な例である[[位相群]]では、逆元は各元に対して存在することのみならず、逆元を対応させる反転写像が[[連続写像]]となることを要求する（文献によっては単位元についても、零項演算としてそれが{{仮リンク|閉包含写像|en|closed inclusion}}したがって{{仮リンク|余ファイブレーション|en|cofibration}}となることを要求する。これもまた位相空間の圏での射の性質として言及できるものである）。.

* {{仮リンク[[バラエティ_(普遍代数学)#バーコフの定理|バーコフのHSP定理|en|Variety (universal algebra)#Birkhoff's theorem}}]]は代数のクラスが{{仮リンク|[[バラエティ (普遍代数学)|label=代数多様性|en|variety (universal algebra)}}]]であるための必要十分条件が、それが準同型像、部分代数、任意直積に関して閉じていることであることを述べる。

特に普遍代数学は[[モノイド]]や[[環 (数学)|環]]あるいは[[束 (代数学束論)|束]]の研究に応用することができる。普遍代数学以前にもさまざまな定理（最も顕著なものは[[同型定理]]）がそれぞれの分野において個別に証明されてきたけれども、普遍代数学を用いればそれらは一度に他の任意の代数系に対しても証明できてしまう。

{{Further|圏論|{{仮リンク|オペラド理論|en|Operad theory}}}}

より演算を一般化した圏論の近年の発展は、{{仮リンク|[[オペラド理論|en|operad theory}}]]である（オペラドは普遍代数学で扱うのと同様の演算の集合）。

* [[束 (束論)|束論]]

* {{仮リンク|[[バラエティ (普遍代数学)|en|Variety (universal algebra)|label=代数多様性}}]]

* Pigozzi, Don. [http://bigcheese.math.sc.edu/~mcnulty/alglatvar/pigozzinotes.pdf ''General Theory of Algebras'']{{リンク切れ|date=2017年10月 |bot=InternetArchiveBot }}.