「森田同値」の版間の差分
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== 定義 ==
（結合的で単位元を持つ）環 {{math|''R'', ''S''}} が（'''森田'''）'''同値'''であるとは、（左）{{mvar|R}} 加群の成す圏 {{math|''R''-Mod}} と（左）{{mvar|S}} 加群の成す圏 {{math|''S''-Mod}} との間に[[圏同値]]があることを言う。左加群の成す圏 {{math|''R''-Mod}} と {{math|''S''-Mod}} とが
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The ring of ''n''-by-''n'' [[matrix (mathematics)|matrices]] with elements in ''R'', denoted ''M''<sub>''n''</sub>(''R''), is Morita-equivalent to ''R'' for any ''n > 0''. Notice that this generalizes the classification of simple artinian rings given by [[Artin–Wedderburn theorem|Artin–Wedderburn theory]]. To see the equivalence, notice that if ''M'' is a left ''R''-module then ''M<sup>n</sup>'' is an M<sub>n</sub>(''R'')-module where the module structure is given by matrix multiplication on the left of column vectors from ''M''. This allows the definition of a functor from the category of left ''R''-modules to the category of left M<sub>n</sub>(''R'')-modules. The inverse functor is defined by realizing that for any M<sub>n</sub>(''R'')-module there is a left ''R''-module ''V'' and a positive integer ''n'' such that the M<sub>n</sub>(''R'')-module is obtained from ''V'' as described above.
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== 例 ==
同型な環は森田同値である。
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[[Category:同値 (数学)]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]
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