「森田同値」の版間の差分
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In [[abstract algebra]], '''Morita equivalence''' is a relationship defined between [[ring (mathematics)|rings]] that preserves many ring-theoretic properties. It is named after Japanese mathematician [[Kiiti Morita]] who defined equivalence and a similar notion of duality in 1958.
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[[代数学]]において、'''森田同値'''（もりたどうち、{{lang-en-short|Morita equivalence}}）とは、[[環論]]的な多くの性質を保つ[[環 (数学)|環]]の間の関係のことを言う。これは{{harvtxt|Morita|1958
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== 動機 ==
[[環 (数学)|環]]はその[[環上の加群]]を通じて研究されることが一般的である。これは[[加群]]が環の[[表現論|表現]]と見做せるからである。すべての環 {{mvar|R}} は環の積による作用によって自然に {{mvar|R}} 加群の構造を持つので、加群論的な研究方法はより一般的で有益な情報をもたらす。このような訳で、環についての研究はその環上の加群の成す[[圏 (数学)|圏]]を研究することによってしばしば為される。
この視点からの自然な帰結として、環が森田同値であるとはその環上の加群の成す圏が[[圏同値]]であることと定めた。
この表記方法は[[非可換環]]を扱っている場合にのみ興味の対象となる。なぜなら[[可換環]]が森田同値である必要十分条件は環同型であるからである。これは一般に森田同値な[[環の中心]]が環同型なことから従う。
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== 定義 ==
（結合的で単位元を持つ）環 {{math|''R'', ''S''}} が（'''森田'''）'''同値'''であるとは、（左）{{mvar|R}} 加群の成す圏 {{math|''R''-Mod}} と（左）{{mvar|S}} 加群の成す圏 {{math|''S''-Mod}} との間に[[圏同値]]があることを言う。左加群の成す圏 {{math|''R''-Mod}} と {{math|''S''-Mod}} とが
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The ring of ''n''-by-''n'' [[matrix (mathematics)|matrices]] with elements in ''R'', denoted ''M''<sub>''n''</sub>(''R''), is Morita-equivalent to ''R'' for any ''n > 0''. Notice that this generalizes the classification of simple artinian rings given by [[Artin–Wedderburn theorem|Artin–Wedderburn theory]]. To see the equivalence, notice that if ''M'' is a left ''R''-module then ''M<sup>n</sup>'' is an M<sub>n</sub>(''R'')-module where the module structure is given by matrix multiplication on the left of column vectors from ''M''. This allows the definition of a functor from the category of left ''R''-modules to the category of left M<sub>n</sub>(''R'')-modules. The inverse functor is defined by realizing that for any M<sub>n</sub>(''R'')-module there is a left ''R''-module ''V'' and a positive integer ''n'' such that the M<sub>n</sub>(''R'')-module is obtained from ''V'' as described above.
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== 例 ==
同型な環は森田同値である。
任意の環 {{mvar|R}} と非負整数 {{mvar|n}} について {{mvar|R}} 成分の {{mvar|n}} 次[[正方行列]]から成る[[全行列環]] {{math|M<sub>''n''</sub>(''R'')}} は環 {{mvar|R}} と森田同値である{{sfn|Anderson|Fuller|1992|loc=Colorally 22.6}}。これは[[アルティン・ウェダーバーンの定理|アルティン‐ウェダーバーン理論]]によって与えられる[[単純環|単純]][[アルティン環]]の分類の一般化になっていることに注意する。森田同値を確かめるには、もし {{mvar|M}} が左 {{mvar|R}} 加群ならば {{math|''M<sup>n</sup>''}} は行ベクトルに対する左から行列の掛け算によって {{math|M<sub>''n''</sub>(''R'')}} 加群の構造が与えられることに注意すればよい。これは左 {{mvar|R}} 加群の圏 {{math|''R''-Mod}} から左 {{math|M<sub>''n''</sub>(''R'')}} 加群の圏 {{math|M<sub>''n''</sub>(''R'')-Mod}} への関手を定める。
== 同値の判定法 ==
森田同値は次のように特徴付けられる{{sfn|Anderson|Fuller|1992|loc=Theorem 22.2}}。もし {{math|''F'' : ''R''-Mod → ''S''-Mod}} と {{math|''G'' : ''S''-Mod → ''R''-Mod}} が加法的（共変）[[関手]]ならば、{{math|''F'', ''G''}} が森田同値を定める必要十分条件は、ある平衡 {{math|(''S'', ''R'')}} 両側加群 {{mvar|P}} が存在して {{math|''<sub>S</sub>P''}} と {{math|''P<sub>R</sub>''}} が[[有限生成加群|有限生成]][[射影加群|射影的]][[生成素]]で、
さらに関手の[[自然変換#定義|自然同型]] {{math|''F''(–) ≅ ''P'' ⊗<sub>''R''</sub> –}} と {{math|''G''(–) ≅ Hom(''<sub>S</sub>P'', –)}} が存在することである。有限生成射影的生成素はその加群の圏の'''射影生成素'''（{{lang-en-short|progenerators}}）と呼ばれることもある<ref name=Sep6>DeMeyer & Ingraham (1971) p.6</ref>。
左 {{mvar|R}} 加群の圏から左 {{mvar|S}} 加群の圏への[[加群の直和|直和]]と可換なすべての[[完全関手|右完全関手]] {{mvar|F}} に対して、
|url=https://ncatlab.org/nlab/show/Eilenberg-Watts+theorem |title=Eilenberg-Watts theorem |work=[[nLab]] |accessdate=2019-04-20 }}</ref>。同値は完全で直和と可換なことが必要なので、このことは {{mvar|R}} と {{mvar|S}} が森田同値である必要十分条件はある両側加群 {{math|''<sub>R</sub>M<sub>S</sub>''}} と {{math|''<sub>S</sub>N<sub>R</sub>''}} が存在して、 {{math|(''R'', ''R'')}} 両側加群としての同型 {{math|''M'' ⊗<sub>''S''</sub> ''N'' ≅ ''R''}} と {{math|(''S'', ''S'')}} 両側加群としての同型 {{math|''N'' ⊗<sub>''R''</sub> ''M'' ≅ ''S''}} が成り立つことを示している。さらに {{mvar|N}} と {{mvar|M}} は {{math|(''S'', ''R'')}} 両側加群としての同型 {{math|''N'' ≅ Hom(''M<sub>S</sub>'', ''S<sub>S</sub>'')}} によって関連づけられる。
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以下の性質は森田不変量である。
{{Div col|cols=2}}
* [[単純環|単純]]、[[半単純環|半単純]]<ref name="Cor 21.9">{{harvnb|Anderson|Fuller|1992|loc=Corollary 21.9.}}</ref>
* [[フォン・ノイマン正則環|フォン・ノイマン正則性]]<ref name="Ex 21.12">{{harvnb|Anderson|Fuller|1992|loc=Exercise 21.12.}}</ref>
* 左（あるいは右）[[ネーター環|ネーター性]]、左（あるいは右）[[アルティン環|アルティン性]]<ref name="Cor 21.9" />
* 左（あるいは右）[[入射加群#自己移入環|自己入射的]]<ref name="Ex 21.12" />
* [[準フロベニウス環|準フロベニウス的]]
* [[素環|素]]、左（あるいは右）[[原始環|原始的]]<ref name="Cor 21.9" />、[[半素環|半素]]、[[半原始環|半原始的]]
* 左（あるいは右）[[遺伝環|遺伝的]]<ref name="Ex 21.12" />
* 左（あるいは右）[[非特異環|非特異]]
* 左（あるいは右）[[連接環|連接]]
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==References==
-->
== 脚注 ==
{{reflist|2}}▼
== 参考文献 ==
* {{cite journal | last=Morita | first=Kiiti | authorlink=森田紀一 | title=Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum condition | journal=Science reports of the Tokyo Kyoiku Daigaku. Section A | year=1958 | volume=6 | issue=150 | pages=83–142 | zbl=0080.25702 | issn=0371-3539 | ref=harv }}▼
▲{{reflist}}
▲* {{cite journal | last=Morita | first=Kiiti | authorlink=森田紀一 | title=Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum condition | journal=Science reports of the Tokyo Kyoiku Daigaku. Section A | year=1958 | volume=6 | issue=150 | pages=83–142 | zbl=0080.25702 | issn=0371-3539 }}
* {{cite book | last1=DeMeyer | first1=F. | last2=Ingraham | first2=E. | title=Separable algebras over commutative rings | series=Lecture Notes in Mathematics | volume=181 | location=Berlin-Heidelberg-New York | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1971 | isbn=978-3-540-05371-2 | zbl=0215.36602 }}
* {{cite book | first1=F.W. | last1=Anderson | first2=K.R. | last2=Fuller | title=Rings and Categories of Modules | url={{google books|MALaBwAAQBAJ|Rings and Categories of Modules|plainurl=yes}} | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | volume=13 | edition=2nd | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=New York | year=1992 | isbn=0-387-97845-3 | zbl=0765.16001 | ref=harv }}
* {{cite book | last=Lam | first=T.Y. | title=A first course in noncommutative rings | url={{google books|2T5DAAAAQBAJ|A first course in noncommutative rings|plainurl=yes}} | edition=2nd | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | volume=131 | location=New York, NY | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2001 | isbn=0-387-95183-0 | at=Chapters 17-18-19 | zbl=0980.16001 }}
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[[Category:表現論]]
[[Category:加群論]]
[[Category:同値 (数学)]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]
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