Unione (insiemistica)

In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, esiste un'operazione detta unione (simbolo $\cup$) di insiemi. Il simbolo $\cup$ deriva da U, l'iniziale della parola "unione". Dati due insiemi $A$ e $B$, la loro unione è un insieme formato da tutti e soli gli elementi che appartengono:

• al solo insieme $A$,
• al solo insieme $B$,
• a entrambi.

L'unione è un'operazione binaria. Nell'algebra booleana corrisponde all'operatore OR; in logica, corrisponde alla disgiunzione inclusiva.

Definizione

L'unione di due insiemi $A$ e $B$ si denota comunemente con $A\cup B$. Si ha che $x$ è un elemento di $A\cup B$ se e solo se $x$ è un elemento di almeno uno degli insiemi $A$ e $B$, in simboli:

$(x\in A\cup B)\Leftrightarrow (x\in A\vee x\in B).$

L'unione di due o più insiemi è detta disgiunta se gli insiemi, presi a due a due, hanno intersezione vuota. In generale, data un'arbitraria famiglia $\{A_{\alpha },\,\alpha \in {\mathcal {I}}\}$ di insiemi, l'unione è definita come l'insieme $\displaystyle \bigcup _{\alpha \in {\mathcal {I}}}A_{\alpha }$ a cui un elemento $x$ appartiene se e solo se appartiene ad almeno uno degli $A_{\alpha }$.

Esempi

Ad esempio si possono considerare due insiemi finiti, un insieme con un numero finito di elementi: $A=\{1,2,3\}$ e $B=\{2,3,4\}$. In questo caso si ottiene l'unione prendendo gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi:

$A\cup B=\{1,2,3,4\}.$

Un altro esempio è dato da due insiemi definiti mediante una proprietà dei loro elementi: Siano:

• $A$ l'insieme dei numeri interi divisibili per $4$,
• $B$ l'insieme dei numeri interi divisibili per $6$.

$A\cup B$ è l'insieme dei numeri interi divisibili per $4$ e/o per $6$.

Proprietà

L'unione di due insiemi

Unione di una sfera e un cubo parzialmente sovrapposti

L'unione è un'operazione commutativa, in simboli:

$A\cup B=B\cup A.$

Infatti

$x\in A\cup B\Leftrightarrow x\in A\vee x\in B\Leftrightarrow x\in B\vee x\in A\Leftrightarrow x\in B\cup A.$

L'unione è un'operazione associativa:

$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C).$

Infatti

$x\in (A\cup B)\cup C\Leftrightarrow x\in A\cup B\vee x\in C\Leftrightarrow x\in A\vee x\in B\vee x\in C\Leftrightarrow x\in A\vee x\in B\cup C\Leftrightarrow x\in A\cup (B\cup C).$

Per questo si può rinunciare alle parentesi quando si considera l'unione di più di due insiemi, scrivendo $A\cup B\cup C.$

Storia

Il simbolo ∪, così come ad esempio anche i simboli ∈, ∩, ⊂, venne introdotto per la prima volta da Giuseppe Peano nel Formulario mathematico, opera pubblicata nel 1895.

Voci correlate

• Intersezione
• Insieme complemento
• Teoria degli insiemi

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) union, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Unione, su MathWorld, Wolfram Research.