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La funzione rampa è una funzione reale elementare , facilmente calcolabile come la media aritmetica della variabile indipendente e del suo valore assoluto .
Questa funzione è utilizzata nel campo dell'ingegneria (ad esempio, nella teoria del DSP ). Il nome funzione rampa deriva dalla forma del suo grafico.
Definizioni
Grafico della funzione rampaLa funzione rampa
R
(
x
)
:
R
→
R
{\displaystyle R(x):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
R
(
x
)
:=
{
x
,
x
≥
0
;
0
,
x
<
0.
{\displaystyle R(x):={\begin{cases}x,&x\geq 0;\\0,&x<0.\end{cases}}}
La media tra una linea retta con pendenza unitaria e il suo modulo:
R
(
x
)
:=
x
+
|
x
|
2
,
{\displaystyle R(x):={\frac {x+|x|}{2}},}
ciò può essere ottenuto notando la definizione seguente:
max
(
a
,
b
)
=
a
+
b
+
|
a
−
b
|
2
{\displaystyle \max(a,b)={\frac {a+b+|a-b|}{2}}}
a
=
x
{\displaystyle a=x}
b
=
0.
{\displaystyle b=0.}
R
(
x
)
:=
x
H
(
x
)
.
{\displaystyle R\left(x\right):=xH\left(x\right).}
R
(
x
)
:=
H
(
x
)
∗
H
(
x
)
.
{\displaystyle R\left(x\right):=H\left(x\right)*H\left(x\right).}
L'integrale della funzione gradino:
R
(
x
)
:=
∫
−
∞
x
H
(
ξ
)
d
ξ
.
{\displaystyle R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\mathrm {d} \xi .}
In tutto il dominio la funzione è non negativa
R
(
x
)
⩾
0
{\displaystyle R(x)\geqslant 0}
x
∈
R
.
{\displaystyle x\in \mathbb {R} .}
|
R
(
x
)
|
=
R
(
x
)
.
{\displaystyle \left|R\left(x\right)\right|=R\left(x\right).}
Derivata
La sua derivata è la funzione gradino :
R
′
(
x
)
=
H
(
x
)
s
e
x
≠
0.
{\displaystyle R'(x)=H(x)\ \mathrm {se} \ x\neq 0.}
Segue dalla quinta definizione.
La trasformata di Fourier di
R
(
x
)
{\displaystyle R(x)}
F
{
R
(
x
)
}
(
f
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{R(x)\right\}(f)}
=
{\displaystyle =}
∫
−
∞
+
∞
R
(
x
)
e
−
2
π
i
f
x
d
x
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }R(x)e^{-2\pi ifx}dx}
=
{\displaystyle =}
i
δ
′
(
f
)
4
π
−
1
4
π
2
f
2
,
{\displaystyle {\frac {i\delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}},}
dove
δ
(
x
)
{\displaystyle \delta (x)}
delta di Dirac .
La trasformata di Laplace di
R
(
x
)
{\displaystyle R(x)}
L
{
R
(
x
)
}
(
s
)
=
∫
0
+
∞
e
−
s
x
R
(
x
)
d
x
=
1
s
2
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{R\left(x\right)\right\}(s)=\int _{0}^{+\infty }e^{-sx}R(x)dx={\frac {1}{s^{2}}}.}
Invarianza alle iterazioni
Ogni funzione iterata della rampa è uguale a sé stessa, cioè
R
(
R
(
x
)
)
=
R
(
x
)
.
{\displaystyle R\left(R\left(x\right)\right)=R\left(x\right).}
Dimostrazione:
R
(
R
(
x
)
)
=
R
(
x
)
+
|
R
(
x
)
|
2
=
R
(
x
)
+
R
(
x
)
2
=
2
R
(
x
)
2
=
R
(
x
)
.
{\displaystyle R(R(x))={\frac {R(x)+|R(x)|}{2}}={\frac {R(x)+R(x)}{2}}={\frac {2R(x)}{2}}=R(x).}
Collegamenti esterni
