Minore (algebra lineare)

In algebra lineare, un minore di una matrice $A$ è il determinante di una matrice quadrata ottenibile da $A$ eliminando alcune righe e/o colonne di $A$.

I minori sono uno strumento utile per calcolare il rango di una matrice, e quindi per risolvere i sistemi lineari.

Definizioni

Sottomatrici e minori

Una sottomatrice di una matrice $A_{n\times m}$ è una matrice $B_{r\times s}$ ottenuta da $A$ rimuovendo $n-r$ righe e $m-s$ colonne. Un minore è una sottomatrice quadrata, cioè con $r=s$. Il numero $r$ è definito ordine del minore.

Un minore complementare è un suo minore ottenuto togliendo una sola riga e una sola colonna. Il minore ottenuto togliendo l'$i$-esima riga e la $j$-esima colonna si indica a volte con $A(i,j)$, mentre un minore principale (dominante) è un minore ottenuto togliendo le ultime $n-r$ righe e colonne o equivalentemente prendendo l'intersezione delle prime $r$ righe e $r$ colonne.

Alcuni autori chiamano sottomatrice quadrata un minore e minore il suo determinante. Tale notazione rimane compatibile con l'uso del termine in altre lingue, quali l'inglese.

Esempio

Consideriamo la matrice $A_{3\times 4}$:

$A_{3\times 4}={\begin{bmatrix}2&-1&5&9\\-12&3&2&0\\1&-1&9&8\end{bmatrix}}$

Allora alcune delle sue sottomatrici sono:

$B_{1\times 1}={\begin{bmatrix}-12\end{bmatrix}}$

$C_{2\times 3}={\begin{bmatrix}2&-1&9\\-12&3&0\end{bmatrix}}$

$D_{3\times 2}={\begin{bmatrix}-1&9\\3&0\\-1&8\end{bmatrix}}$

$E_{3\times 1}={\begin{bmatrix}5\\2\\9\end{bmatrix}}$

$F_{1\times 4}={\begin{bmatrix}-12&3&2&0\end{bmatrix}}$

I minori di ordine $r=3$ sono:

${\begin{bmatrix}2&-1&5\\-12&3&2\\1&-1&9\end{bmatrix}}$, ${\begin{bmatrix}2&-1&9\\-12&3&0\\1&-1&8\end{bmatrix}}$, ${\begin{bmatrix}2&5&9\\-12&2&0\\1&9&8\end{bmatrix}}$, ${\begin{bmatrix}-1&5&9\\3&2&0\\-1&9&8\end{bmatrix}}$

Alcuni dei minori di ordine $r=2$ sono:

${\begin{bmatrix}2&-1\\-12&3\end{bmatrix}}$, ${\begin{bmatrix}2&5\\-12&2\end{bmatrix}}$, ${\begin{bmatrix}-12&3\\1&-1\end{bmatrix}}$, ${\begin{bmatrix}3&0\\-1&8\end{bmatrix}}$ ...

Infine vi sono i minori di ordine $r=1$:

${\begin{bmatrix}2\end{bmatrix}}$, ${\begin{bmatrix}-1\end{bmatrix}}$, ${\begin{bmatrix}5\end{bmatrix}}$ , ${\begin{bmatrix}9\end{bmatrix}}$, ${\begin{bmatrix}-12\end{bmatrix}}$, ${\begin{bmatrix}3\end{bmatrix}}$, ${\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}}$, ${\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}$, ${\begin{bmatrix}8\end{bmatrix}}$

Proprietà

Il seguente risultato fornisce uno strumento utile al calcolo del rango di una matrice:

Il rango di una matrice $A_{m\times n}$ è pari al massimo ordine di un minore invertibile di $A_{m\times n}.$

La matrice dei cofattori è un'importante matrice associata ad una matrice quadrata, definita a partire dai determinanti dei suoi minori complementari.

Voci correlate

• Rango
• Determinante
• Equazione lineare
• Matrice dei cofattori
• Criterio di Jacobi