Commutatività: differenze tra le versioni

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Video esempio della proprietà commutativa di una moltiplicazione, cambiando le posizioni di 34 e di 2 il risultato resta 68.

In matematica, un'operazione binaria $*$ definita su un insieme $S$ è commutativa se e solo se

x*y=y*x\quad \forall x,y\in S.

Se questa proprietà non è valida per ogni coppia di elementi, l'operazione $*$ è quindi detta non commutativa.

In particolare, se è vera la proprietà

$x*y=-y*x\quad \forall x,y\in S.$

l'operazione $*$ è detta anticommutativa.

Due elementi $x$ e $y$ commutano se $x*y=y*x$ . Quindi l'operazione $*$ è commutativa se e solo se due elementi di $S$ commutano sempre.

Esempi

Operazioni commutative

I più comuni esempi di operazioni binarie commutative sono l'addizione ( $a+b$ ) e la moltiplicazione ( $a\times b$ ), considerate sull'insieme di tutti i numeri reali, o solo sui numeri positivi, naturali o razionali, oppure estese ai numeri complessi; per esempio:

4+5=5+4

(poiché entrambe le espressioni sono uguali a 9)

2\times 3=3\times 2

(poiché entrambe le espressioni valgono 6)

Altre operazioni binarie commutative sono:

minimo comune multiplo e massimo comun divisore applicati a coppie di interi positivi;
minimo e massimo applicati a coppie di numeri reali o in generale a coppie di elementi di insiemi parzialmente ordinati;
addizione di vettori;
intersezione e unione di insiemi;
congiunzione logica e disgiunzione inclusiva;
composizioni di traslazioni nel piano, nello spazio tridimensionale o in un qualsiasi spazio vettoriale;
composizioni di rotazioni intorno ad un dato punto nel piano.

Operazioni non commutative

Tra le operazioni binarie non commutative tra numeri vi sono la sottrazione ( $a-b$ ), la divisione ( $a/b$ ) e l'elevamento a potenza ( $a^{b}$ ), definite su insiemi opportuni di numeri reali.

Anche la composizione di funzioni ( $f(g(x))$ ) in molti contesti non è commutativa: ad esempio le funzioni reali $f(x)=x+3$ e $g(y)=y^{2}$ non commutano, in quanto

g(f(x))=x^{2}+6x+9,

f(g(x))=x^{2}+3.

Un'altra importante operazione non commutativa è la moltiplicazione fra matrici quadrate. Ad esempio,

{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}

Il prodotto vettoriale, invece, rappresenta un esempio di operazione anticommutativa. Siano $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}$ . Si ha:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =-\mathbf {b} \times \mathbf {a}$

Strutture algebriche con operazioni commutative

Un gruppo è abeliano, o anche commutativo, se l'operazione che vi è definita è commutativa.

Un anello ha definite due operazioni, chiamate generalmente "somma" e "prodotto" in analogia con i numeri interi. L'operazione di "somma" è sempre commutativa, ma l'operazione "prodotto" no. Un anello è chiamato abeliano o commutativo se anche la moltiplicazione è commutativa.

Generalmente, le strutture algebriche abeliane sono molto più semplici delle analoghe non abeliane.

Tavola di composizione

Un'operazione è commutativa se e solo se la sua tavola di composizione è simmetrica. Per esempio le tavole di composizione delle operazioni minimo comune multiplo e massimo comun divisore per l'insieme dei numeri interi da 1 a 6 sono

${\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6\\2&2&6&4&10&6\\3&6&3&12&15&6\\4&4&12&4&20&12\\5&10&15&20&5&30\\6&6&6&12&30&6\\\end{bmatrix}}$ e ${\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1\\1&2&1&2&1&2\\1&1&3&1&1&3\\1&2&1&4&1&2\\1&1&1&1&5&1\\1&2&3&2&1&6\\\end{bmatrix}}$

Voci correlate

Altri progetti

Wikizionario contiene il lemma di dizionario «commutatività»
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla commutatività

Collegamenti esterni

commutatività, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
commutatività, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
(EN) Eric W. Weisstein, Commutatività, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Commutatività, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

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+{{F|matematica|febbraio 2012}}
-In [[matematica]], un'[[operazione binaria]] <math> * </math> definita su un [[insieme]] <math> S </math> è '''commutativa''' se
+[[File:Proprietà Commutativa-Esempio.webm|miniatura|300x300px|Video esempio della proprietà commutativa di una moltiplicazione, cambiando le posizioni di 34 e di 2 il risultato resta 68.]]
-:<math> x * y = y * x \qquad\mbox{per ogni }x,y\in S.</math>
-per ogni coppia di elementi <math> x </math> e <math> y </math> in <math> S </math>. Se questa proprietà non è valida per ogni coppia di elementi, l'operazione è quindi detta '''non commutativa'''.
+In [[matematica]], un'[[operazione binaria]] <math> * </math> definita su un [[insieme]] <math> S </math> è '''commutativa''' se e solo se
+:<math> x * y = y * x \quad \forall x,y\in S.</math>
+Se questa proprietà non è valida per ogni coppia di elementi, l'operazione <math> * </math> è quindi detta '''non commutativa'''.
+In particolare, se è vera la proprietà
+<math> x * y = - y * x \quad \forall x,y\in S.</math>
+l'operazione <math> * </math> è detta '''anticommutativa'''.
 Due elementi <math> x </math> e <math> y </math> '''commutano''' se <math> x * y = y *x </math>. Quindi l'operazione <math> * </math> è commutativa se e solo se due elementi di <math> S </math> commutano sempre.
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 == Esempi ==
 === Operazioni commutative ===
+[[File:Commutative Addition.svg|miniatura|300x300px|Commutatività dell'[[addizione]] rappresentata mediante delle mele]]
+[[File:Vector Addition.svg|miniatura|Esempio di addizione di vettori. L'operazione è commutativa perché <math>\vec a+\vec b=\vec b+ \vec a</math>]]
 I più comuni esempi di operazioni binarie commutative sono l'[[addizione]] (<math> a+b </math>) e la [[moltiplicazione]] (<math> a \times b </math>), considerate sull'insieme di tutti i [[numero reale|numeri reali]], o solo sui [[numero positivo|numeri positivi]], [[numero naturale|naturali]] o [[numero razionale|razionali]], oppure estese ai [[numero complesso|numeri complessi]]; per esempio:
-:<math> 4 + 5 = 5 + 4 </math> (poiché entrambe le [[espressione (matematica)|espressioni]] sono uguali a 9)
+:<math> 4 + 5 = 5 + 4 </math> (poiché entrambe le [[espressione aritmetica|espressioni]] sono uguali a 9)
 :<math> 2 \times 3 = 3 \times 2 </math> (poiché entrambe le espressioni valgono 6)
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 * minimo e massimo applicati a coppie di numeri reali o in generale a coppie di elementi di insiemi parzialmente ordinati;
 * addizione di [[vettore (matematica)|vettori]];
-* [[intersezione (insiemistica)|intersezione]] e [[unione (insiemistica)|unione]] di [[insieme|insiemi]].
+* [[intersezione (insiemistica)|intersezione]] e [[unione (insiemistica)|unione]] di [[insieme|insiemi]];
-* [[congiunzione logica]] e [[disgiunzione inclusiva]].
+* [[congiunzione logica]] e [[disgiunzione inclusiva]];
-* [[funzione composta|composizioni]] di [[traslazione|traslazioni]] nel piano, nello spazio tridimensionale o in un qualsiasi [[spazio vettoriale]];
+* [[funzione composta|composizioni]] di [[traslazione (geometria)|traslazioni]] nel piano, nello spazio tridimensionale o in un qualsiasi [[spazio vettoriale]];
 * composizioni di [[rotazione (matematica)|rotazioni]] intorno ad un dato punto nel piano.
 === Operazioni non commutative ===
-Tra le operazioni binarie non commutative tra numeri vi sono la [[sottrazione]] (<math> a-b </math>), la [[Divisione (matematica)|divisione]] (<math> a/b </math>) e l'[[esponenziazione]] (<math> a^b </math>), definite su insiemi opportuni di numeri reali.
+Tra le operazioni binarie non commutative tra numeri vi sono la [[sottrazione]] (<math> a-b </math>), la [[Divisione (matematica)|divisione]] (<math> a/b </math>) e l'[[elevamento a potenza]] (<math> a^b </math>), definite su insiemi opportuni di numeri reali.
 Anche la [[composizione di funzioni]] (<math> f(g(x)) </math>) in molti contesti non è commutativa: ad esempio le funzioni reali <math> f(x) = x+3 </math> e <math> g(y) = y^2 </math> non commutano, in quanto
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 \begin{bmatrix} 0 & 0 \\
 & 1 \end{bmatrix}
 </math>
+Il [[prodotto vettoriale]], invece, rappresenta un esempio di operazione anticommutativa. Siano <math>\mathbf{a},\mathbf{b}\in\R^3</math>. Si ha:
+<math>\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-\mathbf{b}\times\mathbf{a}</math>
 == Strutture algebriche con operazioni commutative ==
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 == Tavola di composizione ==
-Un'operazione è commutativa [[se e solo se]] la sua tavola di composizione è simmetrica. Per esempio le tavole di composizione delle operazioni minimo comune multiplo e massimo comun divisore per l'insieme dei numeri interi da 1 a 6 sono
+Un'operazione è commutativa [[se e solo se]] la sua [[tavola di composizione]] è simmetrica. Per esempio le tavole di composizione delle operazioni minimo comune multiplo e massimo comun divisore per l'insieme dei numeri interi da 1 a 6 sono
 <math>
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 == Voci correlate ==
-*[[Associatività]]
+* [[Associatività]]
-*[[Distributività]]
+* [[Distributività]]
+* [[Commutatore (matematica)]]
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