Accelerazione angolare

L'accelerazione angolare è una grandezza vettoriale che rappresenta la variazione della velocità angolare al variare del tempo. Essa è quindi definita analiticamente come:

${\vec {\dot {\omega }}}={\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}$

dove ${\vec {\omega }}$ è la velocità angolare. Generalmente l'accelerazione angolare si esprime con la notazione di posizionare un punto sopra il simbolo della velocità angolare che rappresenta la derivata temporale, così si può scrivere anche ${\ddot {\theta }}$ per indicare la derivata seconda rispetto al tempo dell'angolo $\theta$. Altre volte è uso utilizzare il simbolo ${\vec {\alpha }}$, ma con l'inconveniente di potersi confondere con un angolo.

Poiché la velocità angolare è un vettore ortogonale al piano di variazione dell'angolo corrispondente $d\theta$, l'accelerazione angolare ha direzione coincidente con quella della velocità angolare. Nel SI la sua unità di misura è il $[rad/s^{2}]$.

L'accelerazione angolare si incontra nei moti rotazionali in generale e nel generico moto circolare. Nel caso l'accelerazione angolare di un sistema sia costante, si parla in generale di moto rotazionale uniformemente accelerato.

Esempi

In particolare nel moto circolare non uniforme cioè il moto intorno ad una circonferenza o parte di circonferenza nella quale la velocità angolare ${\vec {\omega }}$ varia in modulo e questa variazione è quantificata dall'accelerazione angolare ${\vec {\alpha }}$.

Nel caso di moto circolare non uniforme dunque vi è un legame tra l'accelerazione tangenziale (cioè tangente alla traiettoria) e quella angolare, essendo l'accelerazione tangenziale data da:

${\vec {a}}_{t}={\vec {\ddot {\theta }}}\times {\vec {R}}={\vec {\dot {\omega }}}\times {\vec {R}}={\vec {\alpha }}\times {\vec {R}}$

dove ${\vec {R}}$ è il raggio vettore della circonferenza.

Nel caso di un moto di rotazione attorno ad un asse a direzione invariabile, rappresenta pur sempre la velocità di variazione nell'unità di tempo della velocità angolare, però può essere trattata come una grandezza scalare.

Una ruota girevole intorno ad un asse, sollecitata a mettersi in moto da un momento M di una forza F rispetto all'asse, si muove di moto rotazionale uniformemente accelerato. Individuato un qualsiasi raggio della ruota, l'esperienza mostra che l'angolo descritto da tale raggio cresce col tempo impiegato a descriverlo secondo:

$\theta ={\frac {1}{2}}\cdot \alpha \cdot t^{2}$

$\omega ={d \over dt}{{\frac {1}{2}}\cdot \alpha \cdot t^{2}}=\alpha \cdot t$

$\alpha ={d \over dt}(\alpha \cdot t)=\alpha$

Cioè l'angolo $\theta$ cresce proporzionalmente al quadrato del tempo e la velocità angolare $\omega$, all'istante t, è quindi proporzionale al tempo t contato dall'inizio del moto.

La ruota si muove quindi di moto circolare uniformemente accelerato, ed $\alpha$ è l'accelerazione angolare costante rispetto al tempo.

Voci correlate

• giroscopio
• Moto circolare
• Velocità angolare