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LIn [[cinematica]], l''''accelerazione angolare''' è una [[grandezza vettoriale]] che rappresenta la variazione della [[velocità angolare]] alin variarefunzione del [[tempo]]. Essa è quindi definita analiticamente come la [[derivata]] prima rispetto al tempo della velocità angolare:<ref>{{Cita|McGraw-Hill Concise Encyclopedia of Science and Technology}}.</ref>
:<math>\dotboldsymbol\alpha = \frac{\vecmathrm d\boldsymbol\omega}{\mathrm dt} = \frac{d \vecmathrm d^2\omegaboldsymbol\theta}{\mathrm dt^2}</math>
dove <math>\vec boldsymbol\omega</math> è la velocità angolare. Generalmente l'accelerazione angolare si esprime con la notazione di posizionare un punto sopra il simbolo della velocità angolare che rappresenta la derivata temporale, così si può scrivere anchee <math>\ddot boldsymbol\theta</math> per indicare la [[derivata]]posizione seconda rispetto al tempo dell'angolo <math>\theta</math>angolare. AltreGeneralmente volte è usosi utilizzareusa il simbolo <math>\vec boldsymbol\alpha</math>, mache contalvolta presenta l'inconveniente di potersi confondere con un angolo., {{Citazione necessaria|per questa ragione in alcuni testi è indicata con
<math>\boldsymbol\varpi</math>.}}
Poiché la velocità angolare è un vettore ortogonale al piano di variazione dell'angolo corrispondente <math>d\theta</math>, l'accelerazione angolare ha direzione coincidente con quella della velocità angolare. Nel [[Sistema internazionale di unità di misura|SI]] la sua unità di misura è il <math>[rad/s^2]</math>.
Poiché la velocità angolare è un vettore ortogonale al piano di variazione dell'angolo corrispondente <math>d\boldsymbol\theta</math>, l'accelerazione angolare ha direzione coincidente con quella della velocità angolare, pertanto risulta parallela all'[[accelerazione areolare]].
L'accelerazione angolare si incontra nei moti rotazionali in generale e nel generico [[moto circolare]]. Nel caso l'accelerazione angolare di un sistema sia costante, si parla in generale di moto rotazionale uniformemente accelerato. ▼
▲L'accelerazione angolare , insieme all'accelerazione areolare, si incontra nei moti rotazionali in generale e nel generico [[moto circolare]]. Nel caso l'accelerazionein angolarecui diin un sistema siatali accelerazioni sono costantecostanti, si parla in generale di moto rotazionale uniformemente accelerato.
== Esempi ==
{{Vedi anche|Moto circolare}}
In particolare nel moto circolare non uniforme cioè il moto intorno ad una [[circonferenza]] o parte di circonferenza nella quale la velocità angolare <math>\vecboldsymbol\omega</math> varia in modulo e questa variazione è quantificata dall'accelerazione angolare <math>\vecboldsymbol\alpha</math>.
Nel caso di moto circolare non uniforme dunque vi è un legame tra l'[[accelerazione tangenziale]] (cioè tangente alla traiettoria) e quella angolare, essendo l'accelerazione tangenziale data da:
::::<math>\vec a_t = \vec \ddotmathbf a_\theta \times \vec R = \vec \dot \omega \times \vec R = \vec boldsymbol\alpha \times \vecmathbf Rr </math>
dove <math>\vecmathbf Rr</math> è il [[Posizione|raggio vettore]] della circonferenza.
Nel caso di un moto di rotazione attorno ad un asse a direzione invariabile, rappresenta pur sempre la velocità di variazione nell'unità di tempo della velocità angolare, però può essere trattata come una grandezza scalare.
Una ruota girevole intorno ad un asse, sollecitata a mettersi in moto da un [[momento meccanico assiale]] '''M'''<math>\mathbf M_{\hat z}</math>, si muove di moto rotazionale uniformemente accelerato. Individuato un qualsiasi raggio della ruota, l'esperienza mostra che l'angolo descritto da tale raggio cresce col tempo impiegato a descriverlo secondo:
:<math>\begin{align}
::::<math>& \boldsymbol\theta = \frac{1}{2}\cdot boldsymbol\alpha\cdot t^2</math>\\
& \dot\boldsymbol\theta = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{1}{2}\boldsymbol\alpha t^2 = \boldsymbol\alpha t = \boldsymbol\omega\\
& \ddot\boldsymbol\theta = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\boldsymbol\alpha t = \boldsymbol\alpha\\
\end{align}</math>
Cioè l'angolo <math>\theta</math> cresce proporzionalmente al quadrato del tempo e la velocità angolare '''<math> \boldsymbol\omega</math>''', all'istante '''<math>t '''</math>, è quindi proporzionale al tempo '''<math>t '''</math> contato dall'inizio del moto. ▼::::<math>\omega={d\over dt}{\frac{1}{2}\cdot\alpha\cdot t^2}=\alpha\cdot t</math>
La ruota si muove quindi di [[moto circolare]] uniformemente accelerato, ed '''<math> \boldsymbol\alpha</math>''' è l'accelerazione angolare costante rispetto al tempo. ▼::::<math>\alpha={d\over dt}( \alpha\cdot t)=\alpha</math>
▲Cioè l'angolo <math>\theta</math> cresce proporzionalmente al quadrato del tempo e la velocità angolare '''<math>\omega</math>''', all'istante '''t''', è quindi proporzionale al tempo '''t''' contato dall'inizio del moto.
▲La ruota si muove quindi di [[moto circolare]] uniformemente accelerato, ed '''<math>\alpha</math>''' è l'accelerazione angolare costante rispetto al tempo.
== Note ==
== Bibliografia ==
* {{cita libro | cognome= | nome= | titolo= McGraw-Hill Concise Encyclopedia of Science and Technology - "Acceleration" | editore= McGraw-Hill | città= New York | ed= | anno= 2006 | lingua= inglese | id= | cid= McGraw-Hill Concise Encyclopedia of Science and Technology | url= http://www.credoreference.com/entry/conscitech/acceleration}}
== Voci correlate ==
* [[Velocità angolare]]
== Altri progetti ==
{{Interprogetto|wikt=accelerazione angolare}}
== Collegamenti esterni ==
[[Categoria:Cinematica]]
* {{Collegamenti esterni}}
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[[ko:각가속도]]
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[[sk:Uhlové zrýchlenie]]
[[sl:Kotni pospešek]]
[[sv:Vinkelacceleration]]
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