Pertidaksamaan Jensen: Perbedaan antara revisi
Tampilan
Konten dihapus Konten ditambahkan
k +{{Authority control}} |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Tidak ada ringkasan suntingan |
||
Baris 1: | Baris 1: | ||
'''Pertidaksamaan Jensen''' adalah sebuah temuan [[matematika]] awal abad 19 yang masih dipakai sampai sekarang, termasuk di algoritma EM. Algoritma EM itu sendiri banyak dipakai untuk memecahkan persoalan di model rumit yang melibatkan variabel laten (tersembunyi) seperti LDA, atau Gaussian Mixture Model yang lainnya. Intinya, pertidaksamaan Jensen menyatakan bahwa garis [[sekan]] dari sebuah fungsi konveks senantiasa terletak di atas grafik fungsi tersebut. Dengan jabaran lebih presisinya (dalam setting probabilistik) adalah sebagai berikut: |
[[Berkas:Grafik Pertidaksamaan Jensen .png|jmpl|al=|300px]]'''Pertidaksamaan Jensen''' adalah sebuah temuan [[matematika]] awal abad 19 yang masih dipakai sampai sekarang, termasuk di algoritma EM. Algoritma EM itu sendiri banyak dipakai untuk memecahkan persoalan di model rumit yang melibatkan variabel laten (tersembunyi) seperti LDA, atau Gaussian Mixture Model yang lainnya. Intinya, pertidaksamaan Jensen menyatakan bahwa garis [[sekan]] dari sebuah fungsi konveks senantiasa terletak di atas grafik fungsi tersebut. Dengan jabaran lebih presisinya (dalam setting probabilistik) adalah sebagai berikut: |
||
<math> |
:<math> |
||
E[f(x)] |
E[f(x)] \ge f(E[x]) |
||
</math> |
</math> |
||
Secara analitis, dapat juga dimodelkan sebagai berikut: |
Secara analitis, dapat juga dimodelkan sebagai berikut: |
||
<math display="inline"> |
:<math display="inline"> |
||
tf(x_1) + (1-t)f(x_2) >= f(tx_1+(1-t)x_2) |
tf(x_1) + (1-t)f(x_2) >= f(tx_1+(1-t)x_2) |
||
</math> |
</math> |
||
Dalam gambar, garis sekan ( |
Dalam gambar, garis sekan (tali busur) merah yang dimodelkan dengan persamaan: |
||
<math display="inline"> |
:<math display="inline"> |
||
(x,y) = \Bigl(tx_1+(1-t)x_2,tf(x_1) + (1-t)f(x_2)\Bigr) |
(x,y) = \Bigl(tx_1+(1-t)x_2,tf(x_1) + (1-t)f(x_2)\Bigr) |
||
</math> |
</math> |
||
Senantiasa y dari garis tersebut berada di atas y dari kurva: |
Senantiasa <math>y</math> dari garis tersebut berada di atas <math>y</math> dari kurva: |
||
<math display="inline"> |
:<math display="inline"> |
||
(x,y) = \Bigl(tx_1+(1-t)x_2,f(tx_1+(1-t)x_2)\Bigr) |
(x,y) = \Bigl(tx_1+(1-t)x_2,f(tx_1+(1-t)x_2)\Bigr) |
||
</math> |
</math> |
||
[[Berkas:Grafik Pertidaksamaan Jensen .png|jmpl|al=|kiri|300px]] |
|||
{{clear}} |
{{clear}} |
||
== Bacaan lanjut == |
== Bacaan lanjut == |
Revisi per 1 November 2021 11.45
Pertidaksamaan Jensen adalah sebuah temuan matematika awal abad 19 yang masih dipakai sampai sekarang, termasuk di algoritma EM. Algoritma EM itu sendiri banyak dipakai untuk memecahkan persoalan di model rumit yang melibatkan variabel laten (tersembunyi) seperti LDA, atau Gaussian Mixture Model yang lainnya. Intinya, pertidaksamaan Jensen menyatakan bahwa garis sekan dari sebuah fungsi konveks senantiasa terletak di atas grafik fungsi tersebut. Dengan jabaran lebih presisinya (dalam setting probabilistik) adalah sebagai berikut:
Secara analitis, dapat juga dimodelkan sebagai berikut:
Dalam gambar, garis sekan (tali busur) merah yang dimodelkan dengan persamaan:
Senantiasa dari garis tersebut berada di atas dari kurva:
Bacaan lanjut
- David Chandler (1987). Introduction to Modern Statistical Mechanics. Oxford. ISBN 0-19-504277-8.
- Tristan Needham (1993) "A Visual Explanation of Jensen's Inequality", American Mathematical Monthly 100(8):768–71.
- Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone (1996). Analisi Matematica Due. Liguori. ISBN 978-88-207-2675-1.
- Walter Rudin (1987). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054234-1.