Feuerbach-kör
A geometriában a Feuerbach-kör vagy „a kilenc pont köre” egy nevezetes kör, amely bármely háromszöghöz megszerkeszthető. Kilenc nevezetes ponton megy át, melyek közül hat a háromszög oldalain található, ha a háromszög nem tompaszögű.
A Feuerbach-kört nevezik még Euler-körnek (nem összetévesztendő a gráfelméletben ismeretes Euler-körrel), Terquem-körnek, a hatpontú körnek, a tizenkétpontú körnek vagy n-pontú körnek is.
A Feuerbach-kör tehát azonos a felezésponti háromszög körülírható körével, a talpponti háromszög körülírható körével és azzal a körrel, melyet a körülírható körből a magasságpontra, mint középpontra vonatkozó 1/2 arányú kicsinyítéssel kapunk.
Tétel
[szerkesztés]A Feuerbach-kör átmegy a következő pontokon:
- a háromszög oldalfelező pontjai,
- a háromszög magasságainak talppontjai,
- a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjai.[* 1]
Bizonyítás vektorokkal
[szerkesztés]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/16/Feuerbach1.png/250px-Feuerbach1.png)
A három csúcs szerepének egyenrangúsága miatt elég, ha a tételben említett háromfajta pont közül egy-egyre bizonyítjuk. Kell, hogy , , az szakasz felezőpontjától távolságra vannak, ahol a körülírt kör sugarát jelenti.
; ; , azaz .
szakasz felezőpontjának helyvektora .
Kell, hogy , szakasz a körül sugárral írt kör átmérője, hiszen és csak előjelben különbözik. A Thalész-tétel miatt a -ből húzott magasság talppontja is ugyanazon a körön van, hiszen e pontból () az szakasz derékszög alatt látszik.
Bizonyítás négyszögekkel
[szerkesztés]Az ábra jelöléseivel az FbM1M2Fa négyszög téglalap. Az FbM1 szakasz a pontok definíciója alapján az AMC háromszög középvonala, azaz párhuzamos a CM szakasszal. Ugyanezért FaM2 szakasz is párhuzamos vele, tehát egymással is párhuzamosak.[* 2]
Az AMB háromszög középvonala M1M2, az ACB háromszögé FaFb, és mindkettő az AB oldallal párhuzamos, tehát párhuzamosak és egyenlő hosszúak. Továbbá CM merőleges mindkettőre, mivel az ACB egyik magasságvonala.
A téglalap húrnégyszög, a köré írható kör Q középpontja az átlók felezőpontja:
Hasonlóan vezethető le, hogy M3M2FcFb négyszög is téglalap. A két téglalap egy átlója közös, tehát a köréjük írható körök egybeesnek. A középháromszög csúcsai és az oldalfelező pontok tehát egy körön vannak.
Az M3Fc a kör átmérője, M3Tc pedig merőleges AB-re, így TcFc-re is. A Thalész-tétel alapján tehát Tc is ezen a körön van, valamint hasonló okokból Ta és Tb is. QED
Nevezetes pontok
[szerkesztés]A bizonyításhoz készült ábra az ABC háromszög Feuerbach-körének kilenc nevezetes pontját mutatja, ezeket piros színnel jelöltük. A Feuerbach-kör középpontja az M magasságpont és az O körülírható kör középpontját összekötő szakasz felezéspontja (K), az MO szakasz pedig az Euler-egyenesbe esik. A kör ívén elhelyezkedő kilenc nevezetes pont: Fa, Fb és Fc a háromszög oldalainak felezéspontjai, Ta, Tb és Tc a háromszög magasságvonalainak talppontjai, M1, M2 és M3 pedig a rendre a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezéspontjai, azaz a középponti háromszög csúcsai.
Az ábrából kiolvasható, hogy ha a háromszög egyenlő szárú, akkor a Feuerbach-körnek a háromszög alapja az érintője. Ennek következtében a szabályos háromszög esetén a Feuerbach-kör és a beírt kör megegyezik.
Érintő körök
[szerkesztés]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/9pcircle.svg/250px-9pcircle.svg.png)
1822-ben Karl Feuerbach felfedezte, hogy bármely háromszög kilenc pont köre kívülről érinti a háromszög hozzáírt köreit és a beírt kört is érinti, ezt szokták Feuerbach-tételnek nevezni. Azt állította:
„ | …a kör, ami keresztülmegy a háromszög magasságainak talppontjain, érinti mind a négy kört, amik a háromszög oldalait érintik… | ” |
A pontot, ahol a beírt kör és a kilenc pont köre érintkeznek, Feuerbach-pontnak is szokás hívni. Ez a pont szabályos háromszögben definiálatlan, hiszen ekkor az előző szakaszban említettek okán e két kör egybeesik.
A Feuerbach-kör tulajdonságai
[szerkesztés]A Feuerbach-körrel kapcsolatban több érdekes állítás is tehető. Ezek közül néhány ismertebbet sorolunk fel.
Tétel
[szerkesztés]A Feuerbach-kör sugara feleakkora, mint a háromszög körülírt körének sugara.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/9pcircle03.svg/250px-9pcircle03.svg.png)
Bizonyítás
[szerkesztés]A Feuerbach-kör átmegy a középponti háromszög csúcsain. Ez a háromszög az eredeti háromszög 1:2 arányú kicsinyített képe, így a köré írható körök sugara is ugyanígy aránylik egymáshoz. QED
Tétel
[szerkesztés]A Feuerbach-kör középpontja rajta van a háromszög Euler-egyenesén, és éppen felezi a háromszög magasságpontja és a körülírt kör középpontja közötti szakaszt.
Bizonyítás
[szerkesztés]A talpponti és a középponti háromszög csúcsai rajta vannak Feuerbach-körön. A két háromszög egybevágó, egymásból egy 180°-os elforgatással származtathatóak. A két háromszög magasságpontja az eredeti háromszög magasságpontja, illetve a köré írható kör középpontja. Ezeket a forgatás egymásba viszi át, a forgatási középpont pedig a Feuerbach-kör középpontja,ebből már adódik az állítás.[1] QED
Tétel
[szerkesztés]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/29/9pcircle_04.png/250px-9pcircle_04.png)
A háromszög körülírt körének bármely pontját a magasságponttal összekötő szakasz felezőpontja rajta van a Feuerbach-körön.
Bizonyítás
[szerkesztés]Legyen a Feuerbach kör középpontja F, a köré írható köré O, a háromszög magasságpontja pedig M. A köré írható körön vegyünk fel egy P pontot! A PM szakasz felezőpontja legyen Q!
A PMO és a QMF háromszögek hasonlóak, mivel QF előbbinek a középvonala. Továbbá 2·QF=PO ugyanezen okból. Mivel PO a köréírható kör sugara, ennek fele pedig a Feuerbach-köré, ezért ez utóbbi éppen QF-fel egyenlő. Ez azt jelenti, hogy Q a Feuerbach-kör egyik pontja.[* 3] QED
Bizonyítás II.
[szerkesztés]Mivel az MO szakasz felezőpontja F, ezért az M pont lehet egy λ=2 arányú hasonlóság középpontja is. Ekkor a Feuerbach-kör képe a háromszög köré írható kör lesz. QED
Tétel
[szerkesztés]Ha a háromszög derékszögű, akkor az átfogóhoz tartozó súlyvonal a Feuerbach-kör egyik átmérője.
Bizonyítás
[szerkesztés]A Feuerbach-kör középpontja felezi a magasságpont és a köréírható kör középpontja közötti szakaszt. Derékszögű háromszög esetén előbbi a derékszögű csúcs, utóbbi az átfogó felezőpontja, a kettő közötti szakasz tehát az átfogóhoz tartozó súlyvonal. QED
A Feuerbach-kör az ortocentrikus pontnégyesekkel is szoros kapcsolatban van. Ezt az alábbi két állítás mutatja meg.
Tétel
[szerkesztés]Egy ortocentrikus pontnégyesből megalkotható mind a négy háromszögnek ugyanaz a Feuerbach-köre.
Bizonyítás
[szerkesztés]Tétel
[szerkesztés]A beírt kör és a hozzáírt körök középpontjai ortocentrikus pontnégyest alkotnak. A pontnégyeshez tartozó Feuerbach-kör éppen az eredeti háromszög körülírt köre. Az ortocentrikus pontnégyes által meghatározott háromszög magasságtalppontjai éppen az eredeti háromszög csúcspontjai.
Bizonyítás
[szerkesztés]Felfedezése
[szerkesztés]Bár Karl Wilhelm Feuerbachnak tulajdonítják a felfedezését, valójában még csak nem is ő fedezte fel a maga teljességében a kilenc pont körét. Feuerbach megtalálta a hat pont körét, felismerte a háromszög oldalfelező pontjainak és a magasságok talppontjainak a jelentőségét (az első ábrán az Fa, Fb, Fc, Ta, Tb és Tc pontok.) (Valamivel korábban Charles Brianchon és Jean-Victor Poncelet kimondta és bebizonyította ugyanazt a tételt.) Nem sokkal Feuerbach után, Olry Terquem bizonyította a kör létezését. Ő volt az első, aki felismerte a jelentőségét a másik három pontnak, azaz a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjainak. (az első ábrán az M1, M2 és M3 pontok.) Így Terquem volt az, aki a kilenc pont köre kifejezést először használta.
Megjegyzések
[szerkesztés]- ↑ Ezt nevezzük középponti háromszögnek is
- ↑ Ez a párhuzamosság tranzitivitásának a következménye.
- ↑ Ebben a bizonyításban a QF⊆PM eset nincsen külön kezelve, az egy elfajult háromszöget eredményez ugyanis.
Jegyzetek
[szerkesztés]- ↑ H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer. Az újra felfedezett geometria. Gondolat, 44. o. (1977). ISBN 963 280 512 7
Források
[szerkesztés]- Dr. Pelle Béla. Geometria. Tankönyvkiadó (1974). ISBN 963 17 0746 6
- H. S. M. Coxeter. A geometriák alapjai. Műszaki könyvkiadó (1987). ISBN 963 10 6843 9
Külső hivatkozások
[szerkesztés]- KöMaL: A Feuerbach-kör érinti az érintő köröket Archiválva 2006. július 21-i dátummal a Wayback Machine-ben
- Nine Point Center by Antonio Gutiérrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
- History about the nine-point circle based on J.S. MacCay's article from 1892: History of the Nine Point Circle
- Nine Point Circle in Java at cut-the-knot
- Feuerbach's Theorem: a Proof at cut-the-knot
- Special lines and circles in a triangle (requires Java)