פוטנציאל וקטורי מגנטי

ערך זה עוסק במושג באלקטרודינמיקה. אם התכוונתם למושג כללי באנליזה וקטורית, ראו פוטנציאל וקטורי (מתמטיקה).

בפיזיקה, פוטנציאל וקטורי מגנטי הוא שדה וקטורי, המסומן לרוב ב־ ${\vec {A}}$ , ממנו ניתן לקבל את השדה המגנטי ${\vec {B}}$ על ידי פעולת הרוטור:

${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}$

באנליזה וקטורית, כל שדה וקטורי ${\vec {U}}$ , ממנו נגזר שדה וקטורי אחר ${\vec {V}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {U}}$ , מכונה פוטנציאל וקטורי.

מוטיבציה

הפוטנציאל הווקטורי המגנטי דומה בתפקידו לפוטנציאל החשמלי (הקרוי גם פוטנציאל סקלרי) $\ \phi$ (באלקטרוסטטיקה), ממנו ניתן לקבל את השדה החשמלי ${\vec {E}}$ על ידי פעולת הגרדיאנט: ${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi$ . קיום הפוטנציאל החשמלי נובע מכך שהשדה החשמלי האלקטרוסטטי הוא שדה משמר, כלומר הרוטור שלו מתאפס: ${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=0$ .

לעומת זאת, השדה המגנטי אינו מקיים באופן כללי ${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=0$ (אינו שדה משמר) ולכן לא ניתן להגדיר עבורו פוטנציאל סקלרי. כלומר עבור שדה מגנטי כללי, לא קיים שדה סקלרי $\ \phi$ כך ש- ${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\phi$ .

מאידך גיסא, השדה המגנטי הוא חסר מקורות ומקיים ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$ ומכאן שניתן למצוא שדה וקטורי ${\vec {A}}$ כך ש ${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}$ . שדה זה הוא הפוטנציאל הווקטורי המגנטי.

הפוטנציאל הווקטורי המגנטי, בדומה לפוטנציאל סקלרי, מפשט חישובים רבים הנוגעים לשדה המגנטי.

במקרה של שדות חשמליים ומגנטיים התלויים בזמן, הפוטנציאל הווקטורי המגנטי קובע לא רק את השדה המגנטי, אלא גם את השדה החשמלי לפי חוק פאראדיי, ומתקיים (ביחידות cgs):^[1] ${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}$ .

חופש כיול

הפוטנציאל הווקטורי המגנטי של שדה מגנטי נתון אינו נקבע באופן יחיד. אם ${\vec {A}}$ הוא פוטנציאל וקטורי מגנטי לשדה ${\vec {B}}$ אזי גם ${\vec {A}}'={\vec {A}}+{\vec {\nabla }}\psi$ (עבור כל שדה סקלרי $\ \psi$ ) הוא פוטנציאל וקטורי מגנטי הקובע את אותו השדה ${\vec {B}}$ (כיוון ש ${\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\psi =0$ ). תכונה זו קרויה חופש כיול. חופש הכיול מאפשר לבחור את הפוטנציאל הווקטורי המגנטי באופן בו יהיה נוח להשתמש בו.

לדוגמה, כל אחד מבין השדות הווקטורים הבאים הוא פוטנציאל וקטורי מגנטי לשדה המגנטי ${\vec {B}}=(0,0,B_{0})$ (שדה אחיד בכיוון ציר z):

${\vec {A}}=(0,B_{0}x,0)$
${\vec {A}}=(-B_{0}y,0,0)$
${\vec {A}}={\frac {1}{2}}(-B_{0}y,B_{0}x,0)$

קיימות מספר בחירות מקובלות לכיול הפוטנציאל הווקטורי המגנטי, ביניהן:

כיול קולון – כיול זה שימושי במגנטוסטטיקה (שדות וזרמים שאינם תלויים בזמן). בכיול זה בוחרים את ${\vec {A}}$ כך שיקיים ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}=0$ . במקרה זה הפוטנציאל הווקטורי המגנטי מקיים את משוואת פואסון $\nabla ^{2}{\vec {A}}=-{\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}$ (כאשר ${\vec {J}}$ צפיפות הזרם), שפתרונה:

${\vec {A}}={\frac {1}{c}}\int {\frac {{\vec {J}}({\vec {r}}')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}d^{3}r'$

כיול לורנץ – כיול זה שימושי בבעיות דינמיות. בכיול זה בוחרים את הפוטנציאלים הווקטורי והסקלרי כך שיתקיים ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0$ . בכיול זה הפוטנציאל הווקטורי המגנטי מקיים משוואת גלים מן הצורה: