פונקציה גזירה

גרף של פולינום (ממעלה 4) הגזיר בכל נקודה

גרף של פונקציית ויירשטראס שהיא רציפה בכל נקודה אך אינה גזירה באף נקודה

בחשבון אינפיניטסימלי, פונקציה גזירה היא פונקציה ממשית שיש לה נגזרת בכל תחומה. לגרף של פונקציה גזירה יש משיק בכל נקודה והוא נראה "חלק" יחסית, ללא קווים שבורים ו"השתוללויות". תכונה חשובה של פונקציה גזירה, שגם שקולה לגזירותה, היא האפשרות לקרב אותה ליניארית.

הגדרות

פונקציה $\ f$ גזירה בנקודה $\ x$ אם קיים הגבול:

\ \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

תוצאת הגבול נקראת "הנגזרת של $\ f$ בנקודה $\ x$ " ומסומנת $\ f'(x)$ .

פונקציה $\ f$ גזירה בקבוצה $\ D$ אם לכל $\ x$ ב- $\ D$ מתקיים ש- $\ f$ גזירה ב- $\ x$ . פונקציה $\ f$ גזירה אם היא גזירה בתחום שלה.

על פונקציה שהנגזרת שלה רציפה נאמר כי היא גזירה ברציפות. אם הנגזרת של פונקציה גזירה בעצמה, נאמר כי הפונקציה "גזירה פעמיים", ובאופן כללי אם לפונקציה יש נגזרת n-ית נאמר כי היא גזירה n-פעמים או גזירה מסדר n. פונקציה שהיא גזירה n-פעמים לכל n היא פונקציה גזירה אינסוף פעמים, או פשוט פונקציה חלקה.

קבוצת הפונקציות שגזירות n-פעמים ברציפות מסומנת $\ C^{n}$ , כאשר $\ C^{0}$ היא קבוצת הפונקציות הרציפות ו- $\ C^{\infty }$ היא קבוצת הפונקציות החלקות. לכל n,‏ $\ C^{n}$ מכילה את $\ C^{m}$ כאשר $\ m>n$ וכולן מכילות את $\ C^{\infty }$ .

פונקציה $\ f$ היא גזירה למקוטעין בקטע אם קיים אוסף בן מנייה (ואולי אף סופי) של נקודות $\ P=\lbrace p_{0}<p_{1}<\ldots <p_{n}<\ldots \rbrace$ עבורו לכל $\ x$ בקטע פתוח $\ x\in (p_{i},p_{i+1})$ $\$ מתקיים כי $\ f$ גזירה ב- $\ x$ .

פונקציה היא גזירה מימין או גזירה משמאל כאשר הגבול המגדיר את הנגזרת קיים מימין או משמאל בהתאמה.

כאשר דנים בפונקציות בכמה משתנים, אז פונקציה גזירה חלקית לפי x אם קיימת לה נגזרת חלקית לפי המשתנה x. תנאי חזק שמכליל גזירות בכמה משתנים הוא דיפרנציאביליות. פונקציה דיפרנציאבילית היא פונקציה שניתן לקרב ליניארית, ובפרט היא גזירה חלקית לפי כל משתנה. במשתנה אחד המונחים פונקציה דיפרנציאבילית ופונקציה גזירה מתלכדים.

רציפות

כל פונקציה גזירה היא בהכרח רציפה (ולכן גם אינטגרבילית). ניתן להוכיח זאת ישירות מהגדרת הנגזרת. אם $\ f$ אינה רציפה ב- $\ x$ אז $\ \lim _{h\to 0}f(x+h)-f(x)\neq 0$ ולכן הגבול המגדיר נגזרת אינו קיים (הוא ביטוי מהצורה " $\ {\tfrac {a}{0}}$ " כאשר a שונה מאפס). ההפך אינו נכון - לא כל פונקציה רציפה היא גם גזירה. למשל פונקציית הערך המוחלט רציפה בנקודה x=0 אך אינה גזירה שם, כי הנגזרת מימין והנגזרת משמאל שונות זו מזו. רוב הפונקציות הרציפות השימושיות גזירות כמעט בכל נקודה. אולם ב-1872 מצא קארל ויירשטראס דוגמה ראשונה לפונקציה רציפה שאינה גזירה באף נקודה: פונקציית ויירשטראס. לפי משפט הקטגוריה של בייר כמעט כל הפונקציות הרציפות אינן גזירות באף נקודה.

גזירות מרוכבת

גזירות של פונקציה מרוכבת היא תנאי חזק בהרבה מגזירות של פונקציה ממשית. פונקציה גזירה במובן המרוכב נקראת פונקציה הולומורפית.

[מידות-1] ¹ ² על מנת לראות במרחב המדות במידות כמרחב פונצקציות יש לבחור מידה על האוביקט הגאומטרי.

[2] ובאופן כללי יותר האובייקט הגיאמטרי יכול להיות: מרחב טופולוגי, יריעה חלקה, יריעה אנליטית (ממשית או מרוכבת), יריעה אלגברית, מרחב אוקלידי, מרחב l, מרחב מידה ועוד. חלק מהמרחבים מוגדרים רק עבור חלק מהאובייקטים הגאומטריים. רוב המרחבים דורשים לפחות מבנה של יריעה חלקה על האובייקט הגאומטרי.

[3] המקומיות היא על פי הטופולוגיה על האובייקט הגאומטרי המתאים. לדוגמה, פונקציות שוורץ מוגדרות על יריעות אלגבריות ממשיות (או באופן כללי יותר יריעות נאש), לכן המקומיות היא על פי הטופולוגיה של זריצקי (או הטופולוגה המוגבלת על יריעות נאש).

[4] השיכון מוגדר רק כאשר שני המרחבים מוגדרים. לדוגמה מרחב הפולינומים מוגדר עבור יריעה אלגברית ומרחב הפונקציות החלקות מוגדר עבור יריעה חלקה. מרחב הפולינומים מהווה תת-מרחב במרחב הפונקציות החלקות אם עבור יריעה אלגברית ממשית חלקה.

[פור-5] ¹ ² רלוונטי רק כאשר האובייקט הגאומטרי הוא חבורה אבלית (בדרך כלל כאשר הוא מרחב אוקלידי)

[נגזרות-6] ¹ ² ניתן להגדיר מרחב זה עבור $t$ ממשי כלשהו, אולם אם $t$ אינו מספר טבעי אז ההגדרה מורכבת מעט יותר.

[לוקלי_קומפקטי-7] ¹ ² המרחבים ${\mathfrak {X}}_{loc}$ ו - ${\mathfrak {X}}_{c}$ יכולים להית מוגדרים גם על אובייקטים שעליהם ${\mathfrak {X}}$ לא מוגדר. די בכך שהאובייקטים יראו באופן מקומי כמו אלה שעליהם ${\mathfrak {X}}$ מוגדר. לדוגמה $L_{c}^{r,t}$ מוגדר עבור כל יריעה חלקה.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]