Función de Weierstrass

O gráfico da función de Weierstrass é un fractal

En matemática, a función de Weierstrass é un importante contra-exemplo mostrando a existencia dunha función continua en toda a recta real que non posúe derivada en ningún punto do dominio. Recibe o nome en honra ao seu descubridor o matemático Karl Weierstrass. A función de Weierstrass é primeira función publicada a presentar tal patoloxía.

Aínda que sexa considerada por moitos como un caso patolóxico, pódese afirmar que, en certo sentido, o comportamento da función de Weierstrass é o caso máis común. Sendo o conxunto das funcións diferenciábeis en polo menos un punto un conxunto magro dentro do espazo de Banach das funcións continuas coa norma do supremo.

Definición

A función de Weierstrass é definida pola seguinte serie de Fourier:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x)\,$

onde $a\in (0,1)\,$ e $b\,$ é un enteiro positivo impar tal que:

$ab>1+{\frac {3}{2}}\pi \,$