Méthode de Darwin-Fowler
En mécanique statistique, la méthode de Darwin-Fowler est utilisée pour obtenir les fonctions de distribution avec une probabilité moyenne. Il a été développé par Charles Galton Darwin et Ralph H. Fowler en 1922-1923[1],[2].
Les fonctions de distribution sont utilisées en physique statistique pour estimer le nombre moyen de particules occupant un niveau d'énergie (également appelés nombres d'occupation). Ces distributions sont principalement obtenues pour un système considéré dans un état de probabilité maximale dont les nombres d'occupation moyens sont connus. Ces occupations moyennes peuvent être obtenues par la méthode de Darwin-Fowler. Pour des systèmes à la limite thermodynamique (grand nombre de particules), comme en mécanique statistique, les résultats sont identiques à ceux obtenus par une méthode de maximisation.
Méthode de Darwin-Fowler
[modifier | modifier le code]Dans la plupart des ouvrages de mécanique statistique, les fonctions de distribution statistique dans les statistiques de Maxwell-Boltzmann, les statistiques de Bose-Einstein, les statistiques de Fermi-Dirac, sont obtenues en déterminant celles pour lesquelles le système est dans un état de probabilité maximale. Mais il est parfois préférable d'obtenir celles qui ont simplement une probabilité moyenne de se réaliser, bien que les résultats soient généralement identiques pour des systèmes qui disposent d'un grand nombre d'éléments, comme c'est le cas en mécanique statistique. La méthode pour obtenir les fonctions de distribution avec probabilité moyenne a été développée par CG Darwin et Fowler[2] et est donc connue sous le nom de méthode de Darwin-Fowler. C'est la procédure générale la plus fiable pour obtenir des fonctions de distribution statistiques. Étant donné que la méthode utilise une variable de sélection (un facteur introduit pour chaque élément permettant une procédure de dénombrement), la méthode est également connue sous le nom de méthode de Darwin-Fowler des variables de sélection. On rappellera qu'une fonction de distribution de probabilité n'est pas la même chose que la probabilité elle-même- cf. Distribution de Maxwell–Boltzmann, Distribution de Bose–Einstein, Distribution de Fermi–Dirac. On notera également que la fonction de distribution qui est une mesure de la fraction d'états qui sont effectivement occupés, est donnée par ou , où est la dégénérescence du niveau d'énergie d'énergie et est le nombre d'états occupant ce niveau (par exemple dans les statistiques de Fermi-Dirac 0 ou 1). L'énergie totale est et le nombre total d'éléments sont donnés par et .
La méthode de Darwin–Fowler est présentée dans les textes de E. Schrödinger[3], Fowler[4] et Fowler et EA Guggenheim[5], de K. Huang[6], et de HJW Müller–Kirsten[7]. La méthode est également discutée et utilisée pour la dérivation de la condensation de Bose-Einstein dans le livre de RB Dingle[8].
Statistiques classiques
[modifier | modifier le code]Pour éléments indépendants avec au niveau de l'énergie et pour un système canonique dans un bain de chaleur avec température nous fixons
La moyenne sur toutes les combinaisons est le nombre moyen d'occupations
Insérons une variable de sélection en réglant
Dans les statistiques classiques, les éléments sont (a) distinguables et peuvent être arrangés par paquets de éléments au niveau dont le numéro est
de sorte que dans ce cas
En tenant compte de (b) la dégénérescence de niveau , cette expression devient
La variable de sélection permet de choisir le coefficient de lequel est . Ainsi
et donc
Ce résultat concorde avec la valeur la plus probable obtenue par maximisation et ne comporte aucune approximation et s'avère donc exact. Il démontre ainsi la puissance de cette méthode de Darwin-Fowler.
Statistiques quantiques
[modifier | modifier le code]Nous avons comme ci-dessus
où est le nombre d'éléments dans le niveau d'énergie . Étant donné que dans les statistiques quantiques, les éléments sont indiscernables, aucun calcul préliminaire du nombre de façons de diviser les éléments en paquets est requis. Donc la somme se réfère uniquement à la somme des valeurs possibles de .
Dans le cas des statistiques de Fermi-Dirac, nous avons
- ou
par état. Il y a états pour le niveau d'énergie . Par conséquent nous avons
Dans le cas des statistiques de Bose-Einstein, nous avons
Par la même procédure que précédemment on obtient
Mais
Donc
Résumant les deux cas et rappelant la définition de , on a que est le coefficient de dans
où les signes + s'appliquent aux statistiques de Fermi-Dirac et les signes - aux statistiques de Bose-Einstein.
Ensuite, nous devons évaluer le coefficient de dans Dans le cas d'une fonction qui peut être étendu comme
le coefficient de est obtenu à l'aide du théorème des résidus de Cauchy ,
On note que le coefficient dans ce qui précède peut être obtenu comme
où
En différenciant on obtient
et
On évalue maintenant les dérivées première et seconde de au point fixe auquel . Cette méthode d'évaluation de autour du point de selle est connue comme la méthode de descente la plus raide. On obtient alors
Nous avons et donc
(le +1 étant négligeable puisque est large). Nous verrons dans un instant que cette dernière relation est simplement la formule
On obtient le nombre moyen d'occupation en calculant
Cette expression donne le nombre moyen de éléments dans le volume qui occupent à température le niveau à une particule avec dégénérescence (voir par exemple probabilité a priori ). Pour que la relation soit fiable, il faut vérifier que les contributions d'ordre supérieur diminuent initialement en amplitude de sorte que l'expansion autour du point de selle donne effectivement une expansion asymptotique.
Notes et références
[modifier | modifier le code]- (en) « Darwin–Fowler method », Encyclopedia of Mathematics (consulté le )
- Darwin et Fowler, « On the partition of energy », Phil. Mag., vol. 44, , p. 450–479, 823–842 (DOI 10.1080/14786440908565189)
- E. Schrödinger, Statistical Thermodynamics, Cambridge University Press,
- R. H. Fowler, Statistical Mechanics, Cambridge University Press,
- R. H. Fowler et E. Guggenheim, Statistical Thermodynamics, Cambridge University Press,
- K. Huang, Statistical Mechanics, Wiley,
- H. J. W. Müller–Kirsten, Basics of Statistical Physics, World Scientific, (ISBN 978-981-4449-53-3)
- R. B. Dingle, Asymptotic Expansions: Their Derivation and Interpretation, Academic Press, , 267–271 p. (ISBN 0-12-216550-0)
Bibliographie
[modifier | modifier le code]- (en) Jagdish Mehra et Helmut Rechenberg, The Historical Development of Quantum Theory, Springer Science & Business Media, (ISBN 9780387951805, lire en ligne)