Discussion:Nombre premier

Période de 1/p

Soit un nombre premier p, et d, le nombre de chiffres de la période de 1/p.

Un petit calcul montre que d est toujours un diviseur de p-1. Cela n'est vrai que pour un nombre premier. On m'a dit que cela avait été démontré par Euler. Un mathématicien peut confirmer ?

cf. tableau "Les 25 premiers nombres premiers"

ex:

1/41 = 0.024390243902439024939 ... ; période = 02439 ; d = 5 ; (41-1)/5 = 8

1/13 = 0.076923076923076927... ; période = 076923 ; d= 6 ; (13-1)/6 = 2

Yann 20 jun 2003 ・19:10 (CEST)

A vue de nez, je dirais: d est toujours un diviseur de p-1 sûrement oui, Cela n'est vrai que pour un nombre premier probablement non, a confirmer. (Cf petit théorème de Fermat - le petit, pas le grand.) FvdP 23 jun 2003 ・19:07 (CEST)

Si (2) est faux ça devrait être faux avec p=561=55*11 (y'a pas de ickse sur ce **** clavier!) (1) est vrai car p divise 10^(p-1)-1 quand p est premier p<>2 p<>5 (voir petit thm de fermat). 561 devrait avoir la propriété aussi, pour la même raison, si je n'ai pas fait d'erreur stupide. FvdP 23 jun 2003 ・19:10 (CEST)

Si on prend l'inverse d'un entier, disons n>2, son écriture décimale est périodique, disons de période d; alors 10^d fois 1/n est de la forme un entier (dont les chiffres sont ceux qui forment une période du développement de 1/n), plus 1/n (on a simplement décalé la virgule d'une période vers la droite!), donc n divise 10^d-1.

Le coup de $d|(n-1)$ pour tout $n$... Je ne sais pas prouver que $d|(p-1)$ (et je n'ai pas envie d'y réfléchir), mais je pense que c'est plutôt $\phi (n)$ qui intervient... (l'indicatrice d'Euler).

Snark 23 jun 2003 ・20:32 (CEST)

Je n'ai pas la démonstration sous les yeux mais si pgcd(n, 10)=1 alors la période d divise phi(n), et en particulier si n est premier alors phi(n)=n-1 donc d divise n-1. donc vrai pour n premier n>5. Je pense que ce résultat on peut le mettre. (par contre la réciproque est fausse). Je n'ai pas réussi à trouver pour l'auteur (Euler ?) mais il paraît qu'il y a un livre assez complet de l'histoire de la théorie des nombres en anglais : Ore Colette 24 jun 2003 à 10:40 (CEST)

«La période de 1/p divise n» signifie que p divise (10^n)-1 (dans un sens au moins c'est pas compliqué: calculer 1/(10^n-1)). Il suffit donc que 10^n soit congru à 1 modulo p. Il s'agit donc connaitre l'ordre de 10 dans le groupe des inversibles modulo p (à partir de quelle puissance d a-t-on que 10^d vaut 1 modulo p?). On sait que cet ordre divise p-1 si p est premier et que 10 est non nul modulo p (c'est à dire que 10 est premier à p, autrement dit p différent de 2 et de 5). Il s'agit essentiellement du petit théorème de Fermat.

L'ordre de 10 peut être plus petit que p-1, auquel cas la période de 1/p sera strictement plus petite que p-1, si, par exemple, 10 est congru à un carré modulo p (par exemple 10=1 mod 3, et la période de 1/3 est 1, soit un peu moins que 3-1, 10=36 mod 13 et la période de 1/13 n'est pas 12, mais 6), ou plus généralement si 10 est dejà congru à une puissance l-ème modulo p, où l est un diviseur de p-1. Par exemple 10 est congru à la puissance 3me de 6 modulo 103 (216=10+2*103) et 3 divise (103-1), ce qui fait que la période de 1/103 va diviser 34=(103-1)/3; comme ce n'est pas 2 et que 10 n'est pas un carré modulo 103 (au pire: calculer 1^2,...,102^2 modulo 103), ce sera 34.

Plus généralement, pour p non premier, l'ordre d'un entier premier à p divise la caractéristique d'Euler de p (c'est à dire le nombre d'entiers compris entre 1 et p qui sont premier à p: pour 4, ça donne 2 (1 et 3), pour 9, c'est 6 (1,2,4,5,7,8), pour 12, c'est 4 (1,5,7,11). Si on veut que 1/n soit de période exactement d, il va falloir que d divise phi(n), mais aussi que 10 soit congru à une puissance (phi(n)/d)-ème modulo n.

Comme phi(n)=n-1 si et seulement si n est premier (d'après le petit théorème de Fermat pour faire vite), et est strictement plus petit sinon, n-1 ne divisera pas phi(n) dès que n n'est pas premier. Donc la période de 1/n ne sera exactement n-1 que si n est premier. Mais il se peut que cette période divise strictement n-1 lorsque n est premier (n=3, n=13, n=103 ci-dessus) mais aussi lorsque n n'est pas premier (voir ci-dessous).

Par exemple, pour n=9, prenons d=1: 10 vaut 1 modulo n, et c'est bien une puissance (phi(n)/d)-ème (celle de 1) modulo n. Dès lors la période de 1/9 est 1: en effet 1/9=0,1111... 1/99 est quant à lui de période 2, qui divise bien 98. Plus généralement 1/(10^k-1) est de période k, et k divise 10^k-2 si et seulement si 2 égale 10^k modulo k. c'est vrai pour k=1 (n=9), k=2 (n=99), mais aussi k=14 (n=99999999999999).

Rude Wolf 27 janvier 2007 à 07:22 (CET)

Démonstration "d'Euclide"

>> Supposons que l'ensemble E de nombres premiers soit fini. <<

Comme on peut douter que la théorie des ensembles ait existé à son époque, la formulation de cette démonstration n'est pas celle d'Euclide. Et je suis certain que la sienne utilisait un langage autrement plus quotidien et plus clair, vu sa simplicité.

Quelqu'un pourrait-il la citer telle quelle ? 81.64.199.51 16 jun 2005 à 01:07 (CEST)

Effectivement :

i) Euclide énonce seulement que les nombres premiers sont en plus grande quantité que toute quantité proposée de nombres premiers. Ce qui signifie, selon notre vision moderne, que les nombres premiers sont une infinité

ii) Mais surtout, Euclide n'a pas tenu de raisonnement par l'absurde pour sa démonstration.

Je me propose donc de modifier légèrement l'article sur ce point. Theon 12 janvier 2006 à 18:02 (CET)

Erreur ?

1111111111111111111/11 fait 101010101010101010, non ?

Absolument pas, celà fait à peu près : 101010101010101010,09090909090909

Je confirme. Si le nombre de 1 est impair alors la partie décimale est 090909... Si le nombre de 1 est pair alors la partie décimale est nulle.

Lien externe mort

Bonjour,

Pendant plusieurs vérifications automatiques, un lien était indisponible. Merci de vérifier si il est bien indisponible et de le remplacer par une version archivée par Internet Archive si c'est le cas. Vous pouvez avoir plus d'informations sur la manière de faire ceci ici. Merci également de vérifier que d'autres liens de l'article ne sont pas morts. Les erreurs rapportées sont :

• http://www.cse.iitk.ac.in/news/primality.html
  • Dans Décomposition en produit de facteurs premiers, le Sun Jan 22 14:49:23 2006, 404 Not Found
  • Dans Nombre premier, le Sun Jan 22 21:24:01 2006, 404 Not Found

▪ Eskimbot ☼ 23 janvier 2006 à 00:04 (CET)

Fait. Zubro 23 janvier 2006 à 12:24 (CET)

Remise à jour

J'ai remis à jour la version du 24 mars 2006 avant les modifications verbeuses de 83.154.6.219. Si ce dernier estime ses propos du plus haut intérêt, je l'invite à créer un article ad hoc dans l'encyclopédie, mais à ne pas dénaturer l'article nombre premier qui est un article d'ordre mathématique. Theon 29 mars 2006 à 16:28 (CEST)

Un autre polynome, à 10 variables ?

MathWorld mentionne l'existence d'un polynome, à 10 variables, présentant les mêmes caractéristiques que le polynôme à 26 variables bien connu présenté ici. Il serait mentionné dans l'ouvrage de Paulo Ribenboim Little Book of Big Primes. Je n'en trouve nulle autre trace par Google - si quelqu'un pouvait confirmer cette affirmation, une modification de l'article s'imposerait (de préférence, avec le polynôme en question ;).

Je confirme (Little Book of Big Primes, p.116, ou New Book of Prime Number Records, p.192). J'ai donc complété l'article.Theon 18 avril 2006 à 09:32 (CEST)

Le curieux polynôme f(n) = n² − n + 41

---

Pourquoi ne pas mentionner que le discriminant de ce binôme est -163 ===[1-4*41]=== et renvoyer aux nombres de Bernouilli ?

Yves

Mais si on n'explique pas pourquoi ne n'est pas une coïncidence, ce n'est pas très intéressant :-) Pierre

Alors pourquoi ne pas donner une petite explication ? En plus j'apprendrai quelque chose...

Us.

La curieuse suite f(n) = 2 + (2(n!) mod (n+1))

Bonjour, j'ai beaucoup de mal à croire que pour tout n de N, 2 + (2(n!) mod (n+1)) soit premier, et aussi que tous les nombres premiers puissent êter écrits de cette manière ...

Et pourtant ! Plus précisément, si n est premier, alors f(n-1) = n, et si n n'est pas premier, f(n-1) = 2. Ne mettez pas de limite arbitraire dans l'article si vous ne maitrisez pas la question : avez-vous vérifié le résultat de f(40) pour dire que 41 n'était jamais donné par cette fonction ? Gentil ♡ 19 octobre 2006 à 01:17 (CEST)

Formule bizarre : on fait un calcul dans Z/(n+1)Z, puis on ajoute à un élément de cet anneau un élément d'un autre anneau (aie!), puis on se retrouverait ensuite avec un entier ? Si celui qui a écrit ça pense vraiment que cela a un sens, ce serait bien de préciser quel il est.Salle 19 octobre 2006 à 15:37 (CEST)

Je cette formule très intéressante : c'est dommage de la supprimer comme tu l'as fait, Salle. La vraie question est : est-elle vraie ou fausse (i.e, il y a-t-il un f(n) non premier, ou un premier N qui ne correspond à aucun f(n)). Un simple contre-exemple suffit. Le sens mathématique est une autre question (intéressante aussi). Une référence vers un papier ou une démonstration serait nécessaire. --Jean-Christophe BENOIST 19 octobre 2006 à 15:58 (CEST)

Je lui reproche surtout de n'avoir pas de sens. Peut-être est-il possible de lui en donner un, mais j'ai l'impression, peut-être erronée, qu'on arrivera à la fin à un truc trivial. En attendant que l'auteur vienne expliquer ce qu'il voulait dire, je pense que la suppression comme mesure conservatoire de quelque chose qui en l'état ne veut rien dire, est raisonnable.Salle 19 octobre 2006 à 16:07 (CEST)

Tout de même, le fait d'être vrai ou faux prévaut le fait "d'avoir un sens", qui est un peu subjectif. Par exemple, je ne suis pas sur que "on fait un calcul dans Z/(n+1)Z". Pour moi, le calcul est fait dans Z, et on utilise la fonction "modulo" comme on utiliserait une autre fonction de Z => Z. D'ailleurs, le modulo ne s'applique que sur le second terme de la fonction, pas sur la fonction entière. Si le calcul était vraiment fait dans Z/(n+1)Z, on ne ferait pas apparaître le modulo, qui est implicite dans ce cas ! --Jean-Christophe BENOIST 19 octobre 2006 à 16:19 (CEST)

Sur le principe, je ne pense pas que quelque chose puisse être juste ou faux si ça n'a pas de sens. Sur le fond du problème qui nous occupe, je vois ce que tu veux dire : modulo n+1 est vu ici comme une fonction qui à un entier associe son reste compris entre 0 et n dans la division euclidienne par n+1. C'aurait été bien de le dire comme ça, mais, effectivement, vu comme ça, la définition de la fonction a un sens. On peut alors la définir comme suit : à un entier n, j'associe n+1 s'il est premier, et 2 sinon, puis dire que grâce à la formule de Wilson, le calcul de nombres premiers via cette fonction ne nécessite que des multiplications (n!) modulaires, et donc des divisions euclidiennes. On peut ensuite vérifier a posteriori si un nombre choisi au hasard est premier ou non. Mais, du fait de la factorielle, le calcul n'est pas vraiment effectif - probablement pas meilleur que le crible d'Eratosthène, que ce soit pour les tests de primalité, ou la génération de nombres premiers. Et des fonctions qui font ce genre de chose, en théorie, mais butent sur la complexité des calculs en pratique, il y en a des masses.

Alors effectivement, les mêmes questions se posent pour les autres fonctions données dans l'article (je ne connais pas la réponse, c'est pour ça que je ne fais rien). C'est bien gentil de donner plein de fonctions qui génèrent les nombres premiers, mais il faudrait à chaque fois dire, si cela permet des calculs effectifs, la complexité des calculs, et si cela échoue à des calculs effectifs, pourquoi la question de trouver de telles fonctions se pose. Typiquement, pour les formes polynômiales, ça a l'air d'être lié aux questions des méthodes de crible, ce qui est un sujet vaste et actif, donc je suis prêt à l'admettre. La formule donnant le n-ème nombre premier a un intérêt pour le postulat de Bertrand, je crois ; personnellement, je ne la graderais pas là. Quant à la fonction de Ruiz, je ne sais absolument pas à quoi ça peut se rattacher. Je supprimerais aussi, toujours dans l'optique qu'une fonction donnée sèchement sans dire à quelle classe de méthode et à quel domaine de recherche elle se rattache n'a pas grand intérêt.

Moralité, pour moi : une formule commentée, et mise en perspective très bien ; une formule sèche, c'est de la numérologie.Salle 19 octobre 2006 à 17:26 (CEST)

Je vois ce que tu veux dire, et je suis d'accord avec ta conclusion. Cela dit, même si une formule est peu efficace pour calculer les nombres premiers, elle peut être "intéressante", ne serait-ce que pour apprendre à se méfier (Delahaye fournit un certain nombre d'exemples de telles formules dans son livre, et c'est passionnant). J'ai recherché des références pour cette formule sur le Net, pour justement la commenter : rien trouvé. Rien non plus dans le livre de Delahaye. Est-ce que l'auteur originel peut donner une ou deux références ? --Jean-Christophe BENOIST 19 octobre 2006 à 22:02 (CEST)

Euh, pourquoi tant de discours sur une formule qui se demontre en deux lignes ? Ektoplastor, le 19 octobre 2006, 23:20 CEST.

Tout à fait. J'ai heureusement remis la formule. La démonstration est dans l'article Théorème de Wilson. Gentil ♡ 19 octobre 2006 à 23:37 (CEST)

ceci dit Salle avait raison de soulever quelques questions, sur l'opérateur mod, et sur le "sens" de la formule. De nombreuses personnes sont susceptibles de lire l'article "nombres premiers" en ayant très peu de bases de maths, il faut bien les éclairer sur le caractère magique ou non, exploitable ou non des formules, faire un peu de mise en perspective. Peps 20 octobre 2006 à 09:18 (CEST)

Définition

"Un nombre premier est un entier naturel strictement supérieur à 1, n'admettant que deux entiers naturels diviseurs distincts : 1 et lui-même. "

Je me demande dans quelle mesure ces deux parties de la définition ne font pas redondance : si les deux diviseurs doivent être distincts, alors 1 est exclu de facto. Est-ce une manière d'écarter 0 ? Hautevienne87 17 février 2007 à 19:52 (CET)

Pertinente remarque. Après réflexion, je pense que le mot distincts est en trop. De plus la forme négative « n’admettant » est un peu bancal. Je propose la modification de la définition avec "Un nombre premier est un entier naturel strictement supérieur à 1, admettant que deux entiers naturels diviseurs : 1 et lui-même." Us

Il faut se rappeler que certains considèrent 1 comme nombre premier. Cela ferait l'objet d'une autre école de pensée. Pour réajuster les formules, "le modèle de la brebis de l'autre pâturage" élaboré par le mathématicien chercheur Lainé Jean Lhermite Junior pourrait vous être utile.

En 1994, il essaya d'exposer en 5 minutes ses formules relatives aux nombres premiers à la Faculté des Sciences de l'Université d'État d'Haïti... En 1994, une partie de son travail est envoyé en Europe .. En 1994, il contacte le Rectorat de l'Université Quisqueya ... En 1994, l'USIS le félicite et souhaite que les recherches soient couronnées de Succès ... En 1996, utilise une partie de ses recherches comme devoir relatif à un module ayant trait à l'initiation aux investigations scientifiques ... En 2000, il soumet de nouveau ses travaux à la FDS, en particulier aux professeurs ... Ils étaient 4 à honorer la presentation de leur présence... En 2006, eurent lieu deux presentations, l'une aux Institutions CLÉ (16 juillet 2006), l'autre à la FDS, l'auditorium de la FDS était rempli comme le signale le Journaliste Thomas Lalime du Journal Le Matin ...

- 1? -

Effectivement j'aimerais bien qu'on m'explique pourquoi 1 n'est pas prime. Il m' "apparait" bon premier, 1^er premier... On dirait que la définition a l'arbitraire de lui en vouloir... Sérieusement, oui, pourquoi cette définition spécifiquement? En tous cas, il n'est pas composé. Éventuellement ca devrait peut-être être mentionné dans l'article. Merci. ... Vajrallan 27 mars 2007 à 17:24 (CEST) ...(-et qu'est-ce c'est que c'est toute cette histoire juste là-haut? à propos de Jr.)

- 1? n'est pas Premier car...

Je pense que la définition est assez clair maintenant. Je cite : "Un nombre premier est un entier naturel, admettant exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même." C'est une définition, qui exclut 1. En effet, "admettant exactement deux diviseurs distincts" rend impossible d'admettre 1, car 1=1x1, donc les divisieurs ne sont pas distincts ! et donc 1 est un nombre composé (d'après la définition). Bon, voilà... Certes, si on veut inclure 1, il suffit de modifier légérement la définition, en retirant le mot "distincts". Mais tout ceci n'explique pas exactement pourquoi mathématiquement on exclut 1, mais seulement que la définition est assez précise pour l'exclure... La problématique vient de la dualité ambigüe pour 1, car il représente l'élément neutre pour la multiplication, propriété qu'il est le seul à partager, (donc il n'est pas partageur, et donc 1 n'a rien à faire dans Wikipédia, un ?). Plus sérieurement, c'est qu'un choix ! mais qui a l'avantage d'éviter d'inclure 1 dans pour la quasi-totalité des formules "donnant" ou "menant" aux nombres premiers, qui en général, ne le donnent pas.

Amicalement,--Us 27 mars 2007 à 18:11 (CEST)

1 n'est pas premier car sinon, il n'y aurait plus d'unicité de la décomposition en nombres premiers, vu qu'on pourrait ajouter autant de "fois 1" qu'on veut. Je pense que c'est uniquement pour des questions pratiques qu'on est arrangé pour que la définition le mette à part. Wku2m5rr 27 mars 2007 à 19:23 (CEST)

Il y a un autre problème avec 1 : d'une part on dit que tous les nombres non premiers sont composés et d'autres part on dit que tout nombre composé est un produit de nombres premiers; j'aimerais qu'on m'explique de quels nombres premiers 1 est le produit. pour moi 1 n'est ni premier ni composé ... auquel cas il est faux de dire que tout nombre qui n'est pas premier est composé. Dans tous les cas il faut reprendre la définition. De plus il est à mon avis obligatoire d'aborder le problème du 1 dans l'article : c'est totalement éludé et la définition est totalement artificielle (on voit bien qu'elle a été construite pour exclure 1 ... mais on ne dit pas pourquoi) --baldodo 17 janvier 2008

En fait, tout nombre, premier ou non, est produit de nombres premiers. Un nombre premier est produit avec un seul facteur. Un nombre composé supérieur à 1 est produit d'au moins deux facteurs. 1 est un produit vide de nombres premiers, au même titre que la factorielle de 0 est le produit vide de 0 facteurs successifs.Theon (d) 17 janvier 2008 à 07:52 (CET)

A propos de "Certes, si on veut inclure 1, il suffit de modifier légérement la définition, en retirant le mot "distincts" : Même en retirant de la définition le mot "distincts" le 1 n'est de toutes façons pas divisible ni par 1 ni par lui-même car même en disant que 1=1x1 c'est à dire 1/1 = 1 on prouve que 1 n'a en fait pas été divisé puisqu'il reste égal à lui-même... (Par contre les nombres N supérieurs à 1 sont divisibles par 1 puisqu'ils contiennent N fois l'unité). Donc 1 n'étant pas divisible n'est pas premier. De même 0 le néant n'est ni divisible par 1 ni par un autre nombre puisque dans le néant il n'y a rien à diviser. Donc 0 n'est pas premier. Et diviser 0 par 0 signifie diviser le néant par néant, c'est doublement cocasse, car d'abord il n'y a rien à diviser, et ensuite diviser par néant c'est ne pas diviser. Donc 0 n'est pas premier.

Cordialement. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 82.67.36.31 (discuter), le 17 février 2012.

Bonjour,

Rappels :

- Nombre Premier = "Entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers positifs : Un et lui-même".

- Diviser = "Action de séparer, de partager en morceaux ou parties distinctes" (Sources : divers dictionnaires).

- Diviser = "Dans une première approche, on peut voir la quantité a divisée par b comme une séparation de la quantité a en b parts égales. ... cette approche est surtout adaptée à la division entre nombre entiers". (Source : Wikipédia).

- Diviser = "Chercher combien de fois une certaine quantité est contenue dans une autre, en effectuant une division" (Sources : divers dictionnaires).

Les deux premières définitions de "Diviser" sont fondées sur le bon sens qui veut qu'une division n'est réellement une division que s'il en résulte une séparation, un fractionnement ou un partage en une quantité de morceaux ou de parties distinctes (et pouvant être égales ou non).

La troisième définition, en s'achevant par "en effectuant une division" renvoie donc à l'application des deux premières.

Il en résulte donc, en toute logique :

- que le Un n'est pas un nombre premier car d'abord ce n'est pas un nombre, et de toutes façons même si 1 contient 1 une seule fois on constate que le résultat de la division n'a ni séparé, ni partagé le 1 en plusieurs parts puisque la "quantité" à diviser reste égale à elle-même,

- par contre un nombre premier P est bien divisible par Un car après division on obtient bien P parties égales à 1, donc à ce stade P serait bien premier,

- mais aucun nombre n'est divisible "par lui-même" car il reste égal à lui-même sans avoir été scindé ou partagé en parts par la "division", et donc d'après la définition des nombres premiers, aucun de ces nombres n'est premier car il n'est pas divisible "par lui-même"!!!

On constate donc que si la définition des nombres premiers est correcte pour exclure le Un des nombres premiers celle-ci est complètement bancale pour les nombres premiers qui sont l'objet même de la définition !!!

Cordialement. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 82.67.36.31 (discuter), le 28/11/14.

Bien sûr que si, ils sont divisibles par eux-mêmes : au lieu d'obtenir P parties égales à 1, on a une partie égale à P. La division reste donc cohérente avec les définitions que vous donnez. Kelam (mmh ? o_ô) 28 novembre 2014 à 14:22 (CET)

Oui, mais si on a une seule partie égale à P" alors le gâteau P n'a pas été divisé en morceaux (au pluriel) puisqu'il reste entier.

Cordialement

Et alors ? Vous partez du principe qu'une division dans les entiers doit nécessairement donner des parts plus petites. La division par 1 ou la division de 0 montrent bien que ce n'est pas toujours le cas, mais ce ne sont là que des cas particuliers. La définition originelle ne contredit en rien l'idée selon laquelle rien n'a été divisé parce que rien n'a été réduit. Kelam (mmh ? o_ô) 28 novembre 2014 à 15:10 (CET)

Bin oui je pars de ce principe car si je divise un gâteau pour le partager avec vous, la notion de partage inclue dans la définition de la division nécessite que je le coupe au moins en deux parties.

Et si je le divise par "lui=même" et que je garde la seule partie égale à lui-même, résultant de cette "non-division", pour moi, le partage est impossible vu qu'il n'a pas été divisé.

Puis à propos de la division de 0 : 0 c'est rien et comme il n'y a rien à diviser, impossible de diviser 0 par quoi que ce soit même si on dit à la hâte "rien divisé par X = rien"

Cordialement

Sens des algorithmes

Désolé, je ne suis pas du tout d'accord ! Une personne est intervenue pour inverser le sens de présentation des algorithmes de calculs pour les nombres premiers, en mettant la division avant le crible d'erathostène. IL requalifie également l'algorithme par division de naïf ! sauf que... le dévelopement auquel je mène le lecteur, n'est plus tout à fait naïf... contrairement au crible d'érathostène, qui lui est vraiment naïf ! puisqu'il demande aucune remarque pour l'exécuter ! De plus, l'inversion de la présentation remet en cause la limpidité de compréhension (je ne détaille pas plus, mais par exemple, j'utilisais en remarque dans l'algorithme de division la compréhension du crible d'érasthostène pour la généralisation de la multiplicité...). Qu'en pensez-vous ?

Pour ma part, je suis tenté de remettre les choses dans le même ordre qu'avant... (j'ai dû faire fort, pour arriver à faire comprendre si bien les choses, que la personne en question ait crût que cela était naïf...)

Je suis du même avis. Theon 1 avril 2007 à 19:54 (CEST)

Liens que je n'arrive pas à apprécier

Que pensez-vous de ceci qui apparait dans l'article : (je cite) "Il y a une approche encore plus simple qui orne de nombreuses formules élaborées par le mathématicien Jean Lhermite Junior Lainé. Visiter:http://www.cle.net.ht/opinion http://www.fleche.cle.net.ht Deux nouveaux liens qui font l'affaire! --Us 17 juin 2007 à 23:54 (CEST)

Aucune idée, le lien ne marche pas chez moi en ce moment. J'ai enlevé, mais on va ptet avoir le droit à des plaintes. ^^ Daïn, the Dwarf causer ^? 18 juin 2007 à 07:32 (CEST)

Le site en question n'apporte effectivement aucune garantie de sérieux et mélange des sujets de registre différents. DainDwarf a bien fait de supprimer le lien correspondant. Theon 18 juin 2007 à 07:59 (CEST)

Le lien fonctionne et l'on est en route vers une méthode d'élaboration de formules relatives à la suite des nombres premiers!

Il s'agit d'un lien qui fait référence à plusieurs formules relatives à la suite des nombres premiers. Si l'on arrive à placer ces formules dans le cadre de plusieurs modèles élaborés par l'auteur, chacun pourra élaborer ses propres formules. Avec ce travail de vulgarisation, la synthèse est ainsi approchée de manière objective!

[1]

Merci de ne pas intervertir les propos. Désolé pour l'auteur du site qui veut mettre son site sur Wiki, mais la philosophie de wiki n'est pas de faire de la pub, mais d'apporter des sources d'informations compréhensible et vérifiable, et admis par tous. IL ne s'agit donc pas de mettre un travail de recherche ! aussi louable soit-il. De plus, on parle de math ici, et on notera que de citer en début du site en question : "Toute suite croissante infinie d’entiers naturels non nuls peut s’exprimer selon le modèle des boules rouges et des boules bleues et elle peut aussi s’exprimer selon le modèle des flèches de Jonathan." et "Quelques formules élaborées par Lainé Jean Lhermite Junior dans le cadre du modèle des flèches de Jonathan ( 1Samuel 20 verset 20)" ou "Les Institutions CLÉ : “ une porte ouverte sur le CHRIST” " ; ... Désolé, mais ce n'est pas des maths, Donc la suppression est donc justifiée. C'est limite une secte ce truc ! --Us 4 août 2007 à 09:11 (CEST)

Modifions autant que possible cet article en contribuant d'une manière que nos apports puissent être analysés et vérifiés par tous ! Voilà la philosophie de Wiki !

Parlons des mathématiques :

Voici deux formules qui conduisent à la suite des nombres premiers sans utiliser le théorème de Wilson mais son pendant ...

$P_{n}=\sum _{i=1}^{1+n!}\left(\left\lfloor {\frac {1+\sum _{m=1}^{i}{\left(1-\left\lfloor {\frac {\left\lfloor {\frac {\left(m!\right)^{2}}{m^{3}}}\right\rfloor }{\frac {\left(m!\right)^{2}}{m^{3}}}}\right\rfloor \right)}}{n+1}}\right\rfloor \times {\left\lfloor {\frac {n+1}{1+\sum _{m=1}^{i}{\left(1-\left\lfloor {\frac {\left\lfloor {\frac {\left(m!\right)^{2}}{m^{3}}}\right\rfloor }{\frac {\left(m!\right)^{2}}{m^{3}}}}\right\rfloor \right)}}}\right\rfloor }\times {i}\times {\left({1-\left\lfloor {\frac {\left\lfloor ({\frac {\left(i!\right)^{2}}{i^{3}}}\right\rfloor }{\frac {\left(i!\right)^{2}}{i^{3}}}}\right\rfloor }\right)}\right)$

$P_{n}=\sum _{i=1}^{2^{n}}\left(\left\lfloor {\frac {1+\sum _{m=1}^{i}{\left(1-\left\lfloor {\frac {\left\lfloor {\frac {\left(m!\right)^{2}}{m^{3}}}\right\rfloor }{\frac {\left(m!\right)^{2}}{m^{3}}}}\right\rfloor \right)}}{n+1}}\right\rfloor \times {\left\lfloor {\frac {n+1}{1+\sum _{m=1}^{i}{\left(1-\left\lfloor {\frac {\left\lfloor {\frac {\left(m!\right)^{2}}{m^{3}}}\right\rfloor }{\frac {\left(m!\right)^{2}}{m^{3}}}}\right\rfloor \right)}}}\right\rfloor }\times {i}\times {\left({1-\left\lfloor {\frac {\left\lfloor ({\frac {\left(i!\right)^{2}}{i^{3}}}\right\rfloor }{\frac {\left(i!\right)^{2}}{i^{3}}}}\right\rfloor }\right)}\right)$

Les Wikipédiens sont invités à modifier autant que possible ces deux formules!

En fait, non, la philosophie de wiki ne se résume pas à ça. Notamment, ce qui est rapporté doit avoir été validé (tant du point de vue de la véracité, que de l'intérêt) auparavant par des experts, et il doit exister des sources fiables et disponibles pour s'en assurer. Il semble que ce point pêche ici, si ce n'est pas le cas, on remettra.Salle 17 août 2007 à 01:26 (CEST)

Au demeurant, je viens de regarder la formule. Est-ce qu'on y multiplie vraiment la partie entière d'un nombre par celle de son inverse ?Salle 17 août 2007 à 01:30 (CEST)

On peut également dire que si ces formules marchent, elles ne sont d'aucun intérêt autant du point de vue théorique que technique. En effet, dans l'article on présente déjà une formule qui repose sur le principe de la partie entière. Mais cette technique n'apporte aucun renseignement théorique sur les nb premiers. De plus, la formule de l'article a bien plus d'intérêt que celles proposées ici car le calcul est possible. Qu'alors n! ou 2ⁿ rend impossible le calcul pratique. Imaginer le nb d'opérations à effectuer juste pour n=100 ! Si l'auteur veut faire reconnaitre ses formules, qu'il s'adresse à une communauté de mathématicien au lieu de discuter de ces recherches sur Wiki. --Us 17 août 2007 à 22:49 (CEST)

Vous commencez ainsi à décoder ces formules. Un réel strictement positif et son inverse ont généralement le produit de leurs parties entières à être égal à zéro. L'exception survient seulement quand ce réel strictement positif est égal à 1. (J.L.J.L.)

En fait ces formules marchent effectivement (à condition de les reparenthéser correctement), en adoptant une notation plus simple on a  :

$P_{n}=\sum _{i=1}^{2^{n}}{\ \delta \left(n,\sum _{m=1}^{i}1-\delta \left(\left\lfloor {\frac {(m!)^{2}}{m^{3}}}\right\rfloor ,{\frac {(m!)^{2}}{m^{3}}}\right)\right)\times i\times {\left(1-\delta \left(\left\lfloor {\frac {(i!)^{2}}{i^{3}}}\right\rfloor ,{\frac {(i!)^{2}}{i^{3}}}\right)\right)}}$

On peut alors se convaincre, à l'aide du Théorème de Wilson, que :

$\forall m\in \mathbb {N} ^{+}\ \delta \left(\left\lfloor {\frac {(m!)^{2}}{m^{3}}}\right\rfloor ,{\frac {(m!)^{2}}{m^{3}}}\right)=\delta \left(\left\lfloor {\frac {(m-1)!}{m}}\right\rfloor ,{\frac {(m-1)!}{m}}\right)=\left\{{\begin{matrix}0\ {\mbox{si}}\ m\in \mathbb {P} \\1\ {\mbox{si}}\ m\notin \mathbb {P} \end{matrix}}\right.$ où $\mathbb {P}$ est l'ensemble des nombres premiers.

D'où : $P_{n}=\sum _{i\in \mathbb {P} \atop 1\leqslant i\leqslant 2^{n}}{\ \delta \left(n,\sum _{m\in \mathbb {P} \atop 1\leqslant m\leqslant i}{1}\right)\times i}=\sum _{i\in \mathbb {P} \vert \pi \left(i\right)=n \atop 1\leqslant i\leqslant 2^{n}}{i}$ ce qui est correct car $\forall n\in \mathbb {N} ^{+}\ \pi \left(n\right)\leqslant 2^{n}$ (par ailleurs $2^{n}\leqslant 1+n!$ donc l'autre écriture l'est aussi) vu le Postulat de Bertrand.

Cela ne change rien au fait que ces formules sont horribles et inutilisables par l'homme comme par la machine. Par ailleurs leur auteur a frapper sur la page des nombres premiers du wiki en créole haïtien, je ne sais pas trop quoi faire à ce niveau RaphaelBonaque (d) 31 juillet 2010 à 17:03 (CEST)

Liens mortibus ?

A commencer par les liens triviaux pour la rubrique "Liens externes" : http://www.nombres-premiers.fr/ http://fr.wikipedia.org/wiki/MacTutor

Est-ce que chez moi, mais je n'arrive pas à accédder certains liens cités : http://www.primepuzzles.net/ http://www.cse.iitk.ac.in/users/manindra/primality_v6.pdf http://crypto.cs.mcgill.ca/~stiglic/PRIMES_P_FAQ.html --Us 28 juillet 2007 à 16:05 (CEST)

Critique de la version du 17 juillet 2007

• Dans la définition du nombre premier, il faudrait préciser que c'est l'acceptation actuelle, et sourcer la définition.

En réalité, le débat (si on peut dire) c'est de savoir si on accepte 1. OR, on trouve très peu de mathématiciens qui voulaient qu'on prennent 1 comme nb premier. En fait, l'acceptation actuelle a toujours était celle-ci !... faut-il vraiment surchargée la définition. Ensuite, sourcer la définition ?? IL suffit d'ouvrir n'importe quel livre parlant du sujet... de plus, comme l'origine remonte à la nuit des temps... ben, on ne pourra jamais dire qui a eut le premier l'idée de cette définition...--Us 21 juillet 2007 à 23:31 (CEST)

Hem, "depuis la nuit des temps" me semble exagéré. Disons qu'on peut préciser quel est le premier document écrit donnant la définition de nombres premiers. Je vais me renseigner. Ekto - Plastor 22 juillet 2007 à 21:41 (CEST)

Hum... "depuis la nuit des temps" est bien sur une expression... Il me semble peu probable qu'on puisse retrouver l'origine exact, c'est ce que je voulais dire; par voie de conséquence, c'est impossible à sourcer...--Us 28 juillet 2007 à 15:19 (CEST)

• Première partie : il serait plus intéressant de donner des exemples de nombres premiers avec de nombreux chiffres, et de fusionner avec la partie 5.

Pas d'accord du tout. Pour moi, il est plus que légitime d'exposer les nb premiers par le début. Mets-toi à la place d'un débutant sur le sujet. Pour sa compréhension général du sujet, il faut bien que les choses restes au niveau de la base du raisonnement... De plus, si c'est un "gamin" qui lit l'article il pourra en rester là avec une petite explication pour les trouver. Mélanger et mettre tout de suite des grands nb premier, va devenir un vrai brouillon ! Certes, on m'aime bien l'adage : Pourquoi faire simple quand on on peut faire compliquer ?... mais c'est de l'humour -:); En fait tout dépend si on veut un article très spécialisé OU un article (comme actuellement) parlant de différents aspects avec une progression dans la lecture en renvoyant sur d'autres pages... --Us 21 juillet 2007 à 23:31 (CEST)

Troisième solution : l'écriture d'un article encyclopédique. Ekto - Plastor 22 juillet 2007 à 21:41 (CEST)

Why not. Mais cela demande vraiment beaucoup d'effort... M'enfin si il y a des volontaires...--Us 28 juillet 2007 à 15:19 (CEST)

• Nombres composés : le théorème de factorisation s'appuie sur un raisonnement par récurrence. Il serait intéressant de dire que le raisonnement de récurrence a été exposé seulement durant le deuxième millénaire (la date précise est sujette à discussion entre les historiens).

Le paragraphe renvoie à l'article théorème fondamental de l'arithmétique qui détaille des démonstrations. Je ne vois pas trop l'intérêt de parler de récurrence ici. A la rigueur, on pourrait évoquer la décomposition des nombres en facteurs premiers comme exemple dans l'article Raisonnement par récurrence, bien que les raisonnements usuels ne s'appuient pas directement sur la récurrence mais plutôt sur la descente infinie de Fermat ou l'existence d'un minimum pour toute partie non vide d'entiers, qui, eux, découlent du principe de récurrence. Theon 17 juillet 2007 à 18:19 (CEST)

Dans une perspective axiomatique de l'arithmétique, le raisonnement par récurrence est équivalent au principe de descente infinie de Fermat ou à l'existence d'un minimum pour toute partie non vide d'entiers.

Dans la théorie des ensembles, l'ensemble des entiers naturels est construit pour vérifier le principe de récurrence et donc le principe de descente infinie de Fermat ou l'existence d'un minimum pour toute partie non vide d'entiers.

Donc, les trois principes étant équivalents, si tu peux appuyer une démonstration sur l'un des trois principes, tu peux aussi appuyer la démonstration sur l'autre principe. Au choix. (Je pensais à la démonstration de la factorisation de n par récurrence forte sur n, on peut en effet proposer une démonstration par l'absurde en utilisant la propriété du bon ordre, ou encore une démonstration directe en utilisant Fermat.) Ekto - Plastor 17 juillet 2007 à 19:36 (CEST)

• Les propos sur l'os d'Ishango sont une interprétation discutable : il faut s'appuyer sur une source.

J'suis d'accord, c'est discutable... On peut néanmoins trouvé facilement qlq sources d'info, mais faut-il en dire plus ? c'est tellement marginal, qu'on pourrait supprimer cette référence, tout simplement, non ?--Us 21 juillet 2007 à 23:31 (CEST)

Non, c'est un point important : il ne faut pas négliger les aspects historiques. Mais toute référence historique doit être sourcée : je veux dire, selon tel mathématicien ou historien des mathématiques, on aurait ceci. Ekto - Plastor 22 juillet 2007 à 21:41 (CEST)

Je revendique ma position. L'os d'Ishango est marginale. Personne ne peut affirmer que les traits gravés sur l'os représentent rééllement une connaissance des nombres premiers. Peut-on parler même de mathématique ! J'en doute fort. IL n'existera pas de référence de mathématicien (assurément) sur ce point... Et encore moins d'historien des mathématiques... Le N'os N'os devrait être redonnait à un chien pour qu'il se fasse les cros ! De mon point de vue, on est en présence des mêmes histoires à dormir debout, que ceux qui voient le nombre d'or partout dans la construction des pyramides... C'est marginal et très peu crédible, et en tous cas invérifiable ! A ceux qui veut y voir une connaissance des nb premiers, il faudrait déjà qu'il me prouve que celui qui à graver l'os, connaissait la multiplication ! c'est déjà le point de départ. Or, la connaissance de la multiplication n'est déjà pas prouvée... Si l'os représente un témoignage de l'éveil mathématique, comme on l'admet, on peut tout de même fortment douter de la connaissance des nb premiers...--Us 28 juillet 2007 à 15:19 (CEST)

• Il faut sourcer aussi les informations concernant les Eléments d'Euclide et en particulier l'information selon laquelle les résultats présentés lui sont antérieurs.

• A proprement parler, Euclide n'a pas démontré l'infinité des nombres premiers. En effet, il a donné une méthode pour obtenir un nouveau nombre premier à partir d'une quantité donnée et finie de nombres premiers distincts (introduire un n formel est un contre-sens historique, les premières notations formelles sont dues à Diophante). Il a donc donné une méthode de construire une suite (par récurrence) de nombres premiers deux à deux distincts. Il manque une étape dans son raisonnement : appliquer le principe de récurrence pour affirmer que cette suite existe ! (Voir 4.2.3.)

Euclide ne peut parler d'infinité des nombres premiers, puisque la notion d'infini dans ce sens est rejetée jusqu'au XIXème. Il se borne à montrer que, si on se donne un nombre quelconque fini de nombres premiers, il en existe toujours un autre n'appartenant pas à cette famille. C'est exactement ce que dit l'article, qui donne ensuite l'interprétation moderne de l'infinité des nombres premiers. Affirmer que la démonstration d'Euclide est incomplète, c'est commettre un anachronisme. Theon 17 juillet 2007 à 18:19 (CEST)

La démonstration donnée dans l'article et attribuée à Euclide n'a pas été donnée par Euclide ! Pour commencer, Euclide démontre que trois nombres premiers distincts donnent un quatrième nombre premier. Il a conscience que la même preuve marche pour n'importe quelle quantité fixée de nombres premiers distincts. Le choix du mot quantité au lieu de n arbitraire est ici voulu, les notations formelles sont postérieures. Remplacer dans sa preuve 3 par une entier n arbitraire me semble être déjà un anachronisme en soi.

La démonstration de l'article n'est évidemment pas celle d'Euclide qui ignore les notations algébriques, mais la transposition algébrique moderne de la démonstration d'Euclide. Je ne pense pas qu'il faille donner la démonstration d'Euclide originale en grec ancien, quand même ? Theon 19 juillet 2007 à 16:30 (CEST)

Ah ? Dispose-t-on du texte original ? Je crois que non ; j'ai déjà entendu des historiens remettre en question la présence de certaines figures, qui n'auraient pas été présentes dans la version originale selon eux. Je ne demande pas le texte en grec évidemment ; je dis juste que réécrire une démonstration avec le langage actuel, c'est dénaturer l'apport de chaque (groupe de) mathématicien(s). Ekto - Plastor 22 juillet 2007 à 21:41 (CEST)

En reprenant la preuve d'Euclide, elle consiste à définir de proche en proche une séquence finie de nouveaux nombres premiers. De fait, il démontre qu'on peut construire autant de nombres premiers que souhaité a priori (ie avant de se lancer dans la preuve).

Il n'y a pas dans Euclide la donnée d'une suite de nombres premiers construite de proche en proche. Ce n'est pas parce qu'on a énoncé la manière d'obtenir le terme suivant à partir des termes précédents qu'on dispose d'une suite infinie (je veux dire : même si et a fortiori si on ne connait pas une notion d'infini). Tout au plus sait-on démontrer qu'il existe une séquence finie vérifiant la relation de récurrence pour toute longueur donnée a priori (ie avant d'en montrer l'existence). Je donnerai une référence où cette analyse des Eléments d'Euclide est développé.

Ekto - Plastor 17 juillet 2007 à 19:36 (CEST)

• Pour les parties 5 et 6, il est nécessaire de sourcer les informations. Toute information non sourcée devrait être supprimée. Une IP peut introduire une information douteuse, sans sources à l'appui, personne ne pourra le lui reprocher : pourquoi sourcer lorsque rien n'est sourcé ?~

En ce qui concerne le paragraphe 5, la source est donnée, il s'agit de GIMPS. N'importe qui peut aller vérifier. En ce qui concerne le paragraphe 6, faut-il sourcer toutes les démonstrations mathématiques qu'on trouve dans la littérature ? Theon 17 juillet 2007 à 18:19 (CEST)

Certes. Si tu regardes mes contributions, je n'ai pas en général l'habitude de sourcer les informations que j'ai introduites. Le principal reproche que font les contributeurs aux articles de Wikipédia sur les mathématiques est qu'il manque de sources. Sourcer l'information n'est pas une corvée. Cela permet d'enrichir sa culture personnelle en enrichissant ses connaissances sur l'histoire des mathématiques d'une part et d'autre part en précisant l'information qu'on pourrait soi-même introduire.

Je ne pense pas qu'un lien interne vers un article de Wikipédia qui pointe vers un site est une "source". Une source est soit un lien mis en référence où l'information est expliquée, soit un livre, en précisant les pages concernées.

Pour les démonstrations mathématiques, il n'est pas compliqué de donner un nombre fini de références complètes dans tels et tels domaines, et d'indiquer les pages où se trouvent les démonstrations. Il me semble inutile de multiplier les références pour une démonstration, à moins que différentes références donnent des démonstrations senseiblement différentes pour un même résultat. Ekto - Plastor 17 juillet 2007 à 19:36 (CEST)

• Il existe beaucoup d'algorithmes intéressants pour tester la primalité. Il existe test de primalité. La partie 6 pourrait donc être simplifié si un lien est inséré.

Pas tout à fait ! L'article que tu cites est bien moins complet. IL faudrait plutôt remettre à jour ce dernier avec la partie 6.--Us 21 juillet 2007 à 23:31 (CEST)

C'est exactement ce que je dis : lorsque je cite un article, je ne me parle que du contenu qu'il pourrait avoir. Ekto - Plastor 22 juillet 2007 à 21:41 (CEST)

Je ne l'avais pas interprêté comme cela. Alors nous sommes d'accord.--Us 28 juillet 2007 à 15:19 (CEST)

• Je trouve qu'on insiste trop sur le développement décimal de 1/p et pas assez sur les propriétés des nombres premiers, sur le théorème de Dirichlet notamment. On ne donne pas à chaque propriété l'importance qu'elle mérite.

Oui, mais en même temps (sauf erreur) tu ne trouveras nulle part ailleurs sur wiki ce sujet (1/p) traitée...

Certes, mais est-ce un sujet important et indispensable ? On n'écrit pas un traité de mathématiques ! Ekto - Plastor 22 juillet 2007 à 21:41 (CEST)

On écrit pas un traité, mais il faudrait une encyclopédie sur le sujet. Est-ce important ? mais on garde un vieux nosnos, comme un point historique... Stop ! Je ne veux pas sur-défendre cette partie, mais cela me semble plus important que les gravures sur l'os... Tout dépend (comme déjà dit) de la portée qu'on veut y mettre.--Us 28 juillet 2007 à 15:19 (CEST)

• Les relations d'ordre, les ordres de grandeur, et autres informations mériteraient d'être sourcées.

Les auteurs sont cités tout même. Si tu trouves un lien...

Non, pas un lien. Seulement en références des articles ou des livres avec les pages concernées (avec balises ref). Ekto - Plastor 22 juillet 2007 à 21:41 (CEST)

Pardonner mon ignonrance des balises "ref". Je vais essayer de retrouver les reférences (bien que c'est souvent plus des références de références, comme souvent, qu'on retrouve).--Us 28 juillet 2007 à 15:19 (CEST)

• Les questions ouvertes peuvent être données ailleurs dans l'article ; il ne me semble pas nécessaire d'y consacrer un paragraphe spécifique. Il y a trop de parties dans cet article. :)

C'est pourtant bien mieux avec des titres. Le sujet est vastes, les parties en sont le reflet.--Us 28 juillet 2007 à 15:19 (CEST)

• Le paragraphe Citations doit être sourcé.

Zou. C'est fait pour Euler. Theon 19 juillet 2007 à 14:39 (CEST)

Principal reproche sur cet article : le manque de sources !

Ekto - Plastor 17 juillet 2007 à 15:19 (CEST)

Anonymous user spamming

I suggest the rollback of the contributions of 67.142.130.46: his formula is a complicated formula provided without any explaination and without any reliable sources. The same anonymous has been spamming the same formula (with accompanying website) on it:Numero primo and en:Formula for primes (and maybe other projects as well). Salvatore Ingala 8 août 2007 à 13:04 (CEST)

merci - thanks - grazie Peps 8 août 2007 à 13:37 (CEST)

J'ai scanné un peu le "WIKI Mondial", et on trouve encore la formule dans http://af.wikipedia.org/wiki/Priemgetal http://et.wikipedia.org/wiki/Algarv http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo / IL serait peut-être bien de les prévenir aussi ?--Us 18 août 2007 à 12:08 (CEST)

Ces formules sont-elles effectivement compliquées ? Les preuves qui commencent à etre avancées ont l'air si simples ! Ne serait-ce pas un tas d'idées simples, aussi nombreuses qu'elles puissent etre ? Après tout l'humanité a soif de connaissance ...

Us a déjà répondu plus haut, et visiblement, son avis est totalement partagé par plusieurs intervenants qui interviennent régulièrement pour supprimer les dites formules : On peut également dire que si ces formules marchent, elles ne sont d'aucun intérêt autant du point de vue théorique que technique. En effet, dans l'article on présente déjà une formule qui repose sur le principe de la partie entière. Mais cette technique n'apporte aucun renseignement théorique sur les nb premiers. De plus, la formule de l'article a bien plus d'intérêt que celles proposées ici car le calcul est possible. Qu'alors n! ou 2ⁿ rend impossible le calcul pratique. Imaginer le nb d'opérations à effectuer juste pour n=100 ! Si l'auteur veut faire reconnaitre ses formules, qu'il s'adresse à une communauté de mathématicien au lieu de discuter de ces recherches sur Wiki.. Theon 21 septembre 2007 à 08:16 (CEST)

Refonte

Je suis en train de refondre l'article : voir ma page de brouillon. J'en suis à la section 6 dans ma numérotation. Il reste des trucs qu'on pourrait éventuellement virer : 4.4, 4.5, certainement des passages de 6.1 (que je n'ai pas encore examiné)., mais je ne l'ai pas fait pour le moment, le but étant d'abord juste d'organiser un minimum le matériel disponible actuellement. Cela dit, est-ce que ça va dans le bon sens ? Si pas d'objection, je ferai un remplacement d'ici quelques jours. Ĩl restera de toute manière beaucoup de boulot pour faire un truc correct.Salle 21 septembre 2007 à 15:13 (CEST)

• Désolé, mais je serais très critique sur ta version. Tu vire ce qui a le plus d'importance (à mes yeux) au profit de trucs anecdotiques. Je ne vais pas tout citer point par point, car tu en supprimes tellement... Mais quelques remarques d'ordre général : Celui qui lira ta version n'aura presque aucun outil pour le calcul des nb premier, mais surtout il restera avec une impression de mystère sur ces nb... C'est ce qui me gêne le plus... car de là on va voir des gourous réapliquer -:); (en filigramme, se pose la question aussi du niveau de lecture : A qui s'adresse l'article ?) --Us 22 septembre 2007 à 09:31 (CEST)

Pas de problème à ce que tu sois critique, tant que ça reste courtois : c'est bon pour le teint de se faire remonter les bretelles :). Par contre, je vais te demander d'être plus précis pour deux raisons : d'une part, je n'ai pas encore commencé à virer du contenu (mais j'ai effectivement l'intention de le faire, en transférant ce qui me semble anecdotique sur d'autres pages) ; d'autre part, le but de la refonte était justement que l'article soit suffisamment structuré pour qu'il y ait moins de prise pour le mysticisme. Quant au niveau de lecture, je me place volontairement à un niveau bas : la notion de nombre premier est une des plus célèbres en maths, il me semble donc qu'on doit écrire un article largement accessible. Salle 22 septembre 2007 à 09:47 (CEST)

* Euh... si ! tu as viré du contenu... (peut-être une mauvaise manip ?) Pour exemple : Formule implicite... sans compter la refonte totale de l'algo de division qui n'a plus rien de compréhensible fusionné dans le crible d'Erasthostène... Bon, sur ton initiative, je vais m'essayer à la même chose... Au final, on pourra voir pour garder la meilleure structure, et refusionner les meilleurs parties... T'en penses quoi ? Mais personnellement, structurellement je resterai assez proche de cette article... Sur ta version brouillon, je te ferais des remarques précises sur ta page un petit peu plus tard (le Week-End prochain). --Us 22 septembre 2007 à 11:26 (CEST)

En fait, formule implicite contenait le crible de Sundaram. Il est maintenant dans la section algo, dans une version plus ramassée. Et j'espérais (et honnêtement, je pense toujours) que mon écriture, plus ramassée, de l'algo de division le rendrait plus compréhensible.

Pour répondre à ta question sur ce que je pense, je pense surtout que l'article a besoin d'une refonte ; j'y travaille ; et c'est très bien que quelqu'un d'autre y travaille aussi. Après, je crains qu'on ait des goûts assez différents, donc la fusion demandera de la patience et de l'écoute ; voilà tout. Je vais continuer à écrire, et j'attendrai tes remarques le week-end prochain. Cordialement, Salle 22 septembre 2007 à 11:40 (CEST)

A Salle : Tout d'abord, bravo pour l'initiative ! Je comptais faire une refonte de l'article, mais je n'allais pas avoir le temps de la faire ces temps-ci. J'avais fait déjà des remarques plus haut, les as-tu lues ? Sur ton début d'article, j'aurais quelque avis à émettre :

• Partie 1 : Ne faudrait-il pas renommer en Emergence de la notion de nombres premiers, titre plus en rapport avec le contenu que tu proposes ? Il faudrait peut-être d'avantage développer : en quoi la connaissance des premiers nombres premiers est-elle nécessaire pour le calcul fractionnaire égyptien ?
• Partie 2 : Je te signale l'article Théorème d'Euclide sur les nombres premiers. Il serait intéressant de développer aussi cet article et de renvoyer le lecteur à ce dernier.
• Partie 3 : Des éléments d'histoire des mathématiques pourraient être introduits... Mais j'imagine que tu comptais le faire.
• Partie 4 : En la renommant en Algorithmes, on pourrait étendre son contenu.
• Partie 5 : J'aurais déplacé cette partie pour la traiter avec le théorème d'Euclide.

Je poste ce message pour que tu saches qu'il y a aussi des contributeurs qui partent d'un avis favorable sur ta proposition (bien qu'encore incomplète). Bonne continuation. Ekto - Plastor 24 septembre 2007 à 00:09 (CEST)

Ok, merci de ton avis. Pour la partie histoire, je n'avais pas l'intention de la traiter sérieusement ; plus généralement, je voulais juste améliorer l'article, pas tenter de livrer un produit fini. Mon goût me porte plus vers les remarques historiques au fil du texte, un peu comme dans la section répartition, dans laquelle effectivement j'étais tenté de fondre la section sur l'infinité des nombres premiers. Puisqu'on est au moins deux à le souhaiter, c'est ce que je vais faire sur mon brouillon. Pour la partie algorithmes ou calcul, c'est vrai qu'elle n'est pas très équilibrée : on privilégie les méthodes inefficaces. Mais, je ne connais pas AKS, ni les méthodes de crible (à part une implémentation une fois du crible quadratique à un seul polynôme, et ça n'avait pas été fructueux), donc, pour le moment, je ne suis guère en mesure d'être plus précis. A quels autres algorithmes tu pensais ? Et j'ai vu qu'il y avait eu une discussion ; au demeurant, à l'époque, j'espérais qu'elle aboutirait à un bel article, sans que j'ai besoin de m'en occuper. A partir du moment où j'ai décidé de m'y plonger, je n'ai pas lu en détail la page de discussion : je préfère travailler sur mon brouillon, et discuter sur un truc un peu concret, il me semble qu'on avancera plus vite. Salle 24 septembre 2007 à 10:03 (CEST)

=

Première chose, je suis critique mais pas nécessairement d’avis négatif ! Néanmoins, je n’ai pas le même point de vue (sur tout) que Salle. Il m’est difficile de critiquer point par point (à part quelques uns) sa première version, car de nombreuses informations sont imbriquées, et en défaire une, déséquilibrait un paragraphe entier, si une réécriture n’intervient pas.

La version brouillonne actuellement proposée ne remplie pas certains objectifs à mes yeux, qu’il me semble nécessaire. Quels sont-ils ? Ou plus précisément que doit retenir un lecteur de l’article ? Je vous propose un petit « checklist » d’ordre général :

0. Qu’est-ce un nb premier ?

1. Quand la notion de nb premier a été étudiée ?

2. Quel intérêt à ces nb ?

3. Comment les calcule-t-on ?

4. Quels sont les propriétés importantes?

5. Quelle perspective (ou recherche) mathématique actuelle avec ?

… et puis c’est tout !

A peu de chose près, il me semble qu’on veut tendre vers ces réponses, en évitant de développer trop certains aspects anecdotiques. (Les aspects anecdotiques sont évidemment discutables, mais bon… ne faisons pas de polémique, tout de suite… -) ; )

Ceci amène à définir un plan, dont les grandes lignes sont déjà connues :

A. Définition des nb premiers et petit tour d’horizon :

- Un nombre premier est un entier naturel…, (point n°0)

- On peut légitiment enchaîner sur une première petite liste (présentation des nb)

- Définir un procéder élémentaire d’obtention (point n°3)

- Intérêt arithmétique élémentaire (pour un premier niveau de lecture, point n°2)

- Intérêt général, au-delà de l’aspect purement math. (encore point n°2 et 5)

Ce Point A, est avant tout un petit tour d’horizon, un peu repris par nos versions respectives, mais pas complètement d’ailleurs ; dont le niveau de lecture doit rester élémentaire, je pense.

B. Point historique : (point n°1)

- « La première trace incontestable… Antiquité… »

- Quelques résultats importants au cours du temps, avec renvoi sur le nom du mathématiciens, (sans développer leurs travaux) : Une sorte de petite chronologie…

Dans ce point B, je vire l’os d’Ishango car en premier lieu c’est un aspect (nécessairement) anecdotique. IL est très facile de polémiquer sur cet os, tant que tout repose sur des interprétations sans fondement. Or, on veut que dans Wiki les sources soient vérifiables ! ( et qu’il existe déjà un article sur le sujet, suffit largement…) Je vire aussi, mathématiques égyptiennes bien que cela est plus discutable, mais il n’y a pas eu (à ma connaissance) d’étude véritablement des nb premiers par ces derniers, même s’ils devaient en avoir remarqués l’existence.

C. Calcul des nombres premiers : (point n°3)

- Infinité des nombres premiers : Démonstration d’Euclide (point n°1,3,4)

- Renvoi par lien sur les autres démos : démo par factorielle, d’Euler etc.

- Lister les nombres premiers : Crible d’Ératosthène, Crible de Sundaram

- La primalité d'un nombre : Déterminisme ou probabiliste

- Renvoi par lien sur l’Algo de la division.

- Les formules menant aux nombres premiers : Présentation des 3 aspects : (forme polynomiales, modulaire, partie entière)

Pour ce point C, il convient de voir quelles formules gardées, et quels renvois faire avec des liens. Le théorème de Wilson est important à garder car c’est une formule clé. La formule de Jones, Sato, Wada et Wiens est à virer sur une autre page. Elle est tout à fait anecdotique et n’apporte en réalité rien.

Les 3 rubriques : Lister, Primalité et Formules me semble très pratique et clarifie la présentation.

D. Les propriétés (point n°4)

- (ici voir ma page qui regroupe les propriétés citées dans l’article)

J’ai pas grand-chose à dire pour ce point D, mais je pense que faire de la littérature ne serait pas assez clair.

E. Recherches et perspectives (point n°5)

- Fonction de Reimann

- Questions ouvertes : (reprise de l’article)

Bien sur, rien de figé… mais voilà un peu près comment je vois les choses… Je ne détaille pas plus, c’est assez long comme ça…

=

Maintenant, critiquer la première version de Salle, c’est évidemment une gageure tant qu’on ne voit pas les choses de la même façon. Enfin, certains points mal conçu selon moi :

1. Presque toutes les algorithmes (formules) qui permettent un calcul des nb premiers ne sont plus présentés, sous une forme utilisable. (c’est dommage)

2. Algorithmes par essais de division : Dedans, il y a une vague référence à la division, couplé au crible d’Erathostène. Or ce dernier, ne met pas en jeu la division ! C’est justement ce qu’il évite… la notion évoquée par ce crible est la multiplicité, donc l’inverse de la divisibilité, tout comme la soustraction est l’inverse de l’addition.

Mes propos sont un peu catégorique pour éviter des longueurs (même si c'est le cas...) . J'espère qu'il ne seront pris avec agressivité. Je ne prétends rien, je tente juste d'améliorer l'article en exposant mon point de vue.

A+,--Us 30 septembre 2007 à 23:11 (CEST)

Déjà, je suis rassuré : j'avais peur que tu sois très partisans des formules de Jones, etc., et c'est ce qui me faisait craindre des difficultés. Puisque cela pourrait être un premier point d'accord, commençons par là.

• Il faut effectivement voir ce qu'on garde parmi ces formules qui me semblent ésotériques, parce que je ne connais pas. J'ai gardé tout ce qui concerne les polynômes et ensembles diophantiens, parce qu'il m'a semblé que cela avait constitué un axe de recherche important, en lien avec des questions plus générales ; quant aux autres formules que j'ai virées, c'est surtout parce qu'elles étaient isolées. Est-on d'accord sur le principe qu'une formule doit être évoquée si on peut la mettre en perspective, et sinon, on vire (je pense au truc de la partie entière, et à celui de Le Vavasseur, par exemple) ? Quant à la donner explicitement, si elle est évoquée, je suis d'accord que c'est superflu ici : il vaut mieux une page dédiée.
• Pour les algorithmes. La présentation de l'algo par essais de division me semble plus utilisable dans ma version (une variante parfois plus efficace consiste à ne tester la divisibilité de n que par des petits nombres premiers dans une liste fixée au préalable (par exemple 2, 3 et 5), puis par tous les nombres entiers inférieurs à la racine carrée de n qui ne sont divisibles par aucun des petits nombres premiers choisis) que dans la version actuelle : les mêmes choses sont dites, sous une forme plus ramassée. Un développement intéressant serait une comparaison de complexité entre Erat. et cet algo comme test de primalité. Mais c'est vrai que j'abuse en parlant de variante, et qu'Eratosthène n'est pas un algo par essai de divisions, il faut que je trouve un autre titre. Les tests probabilistes ne sont pas non plus présentés de manière utilisable dans la page nombre premier. Je ne suis pas partisan d'écrire des algorithmes en pseudo-code ici : quelqu'un intéressé par une présentation plus détaillée ira voir crible d'Ératosthène, ou test de primalité de Fermat. Qu'en penses-tu ?
• Je tiens beaucoup à avoir un paragraphe répartition des nombres premiers ; il me semble que c'est le lieu naturel où parler de l'infinité, et que ça permet d'aller d'Euclide à Green-Tao, d'une façon épistémologiquement juste.
• Pour la partie histoire, je ne m'en occupe pas.
• Et je suis d'accord avec ton idée de premier paragraphe. Il doit effectivement contenir une présentation élémentaire, puis des ouvertures, qu'on ne saurait pas forcément placer ailleurs, mais qui ne demandent pas trop de techniques mathématiques : essentiellement j'ai envie d'y mettre le matériau de mon paragraphe sur Structures algébriques, topologiques et nombres premiers. Ceci est lié à ce que je voudrais éviter de faire une partie Propriétés, qui revient, me semble-t-il, à dire : « ça, on ne savait pas où le mettre, donc on l'a mis là. » Salle 1 octobre 2007 à 12:01 (CEST)

Sans intervention d'ici la fin de la semaine, je procèderai au changement, sur la base de ce que je propose sur ma page de brouillon. Salle

Refonte effectuée

J'ai fait le remplacement comme discuté ci-dessus. J'ai commencé le travail de sourçage. Il y a sûrement des choses que j'ai virées et qui peuvent être réintroduites, mais ce serait bien de le faire en sourçant, mettant en perspective : l'article ne doit plus être une accumulation de faits disparates et sans lien. En tout état de cause, ce que je propose doit être vu comme une base de travil plus saine que ce qu'il y avait précédemment, en aucun cas comme quelque chose d'achevé. Salle 12 octobre 2007 à 14:58 (CEST)

Bonjour,

Au sujet de l'historique des nombres premiers vu sous un angle archéologique, comme l’os d’Ishango a été viré il serait possible de citer les dates ou au moins les époques où nos anciens nous ont laissé en héritage des écrits qui parlent explicitement de nombres Premiers en s'arrêtant à l'an 1742 ce qui couvre la période durant laquelle le UN était considéré être un Premiers vu que l'on sait que Goldbach et Euler avaient en 1742 conjecturé que tout nombre pair est somme de deux Premiers. A aller au delà de cette date cela nécessiterait d'écrire un roman-fleuve pour citer la pléthore de mathématiciens moins anciens qui ont planché sur les nombres Premiers. A mon avis un historique sur le plus grand nombre Premier connu à tel ou telle époque relève plutôt de l'archéologie des moyens techniques utilisés pour distinguer les Premiers des Composés. Par contre on pourrait au moins honorer les dates et les anciens qui depuis l'antiquité, le moyen-âge et au moins le 18ième siècle ont dû se débrouiller généralement avec une plume ou un crayon et du parchemin ou du papier. Il est certain que s'ils avaient eu à leur disposition toute la technologie numérique dont nous disposons actuellement l'univers des nombres Premiers aurait été grandement simplifié à leurs héritiers.

Cordialement. Gilbert GEYER (discuter) 21 mai 2023 à 14:00 (CEST)

log ou ln

L'usage veut que les fonctions classiques ne soient pas italisées. On écrira donc en latex \ln plutôt que ln seul qui donne une horrible formule. il en est de même pour de nombreuses fonctions classiques.Claudeh5 13 octobre 2007 à 18:37 (CEST)

attention à ne pas écrire n'importe quoi

la somme $\sum {\frac {1}{p}}$ n'existe pas. Il faut l'écrire avec une limite.Claudeh5 13 octobre 2007 à 18:42 (CEST)

En effet, dans Raisonnement divins de Aigner et Ziegler, ils précisent que $\prod _{p{\text{ premier, }}p\leq n}{\frac {1}{1-1/p}}=\sum {\frac {1}{m}}\geq \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}$ où m parcourt tous les entiers dont les diviseurs premiers sont inférieurs ou égaux à n. Le passage à la limite donne le même résultat mais, personnellement je trouve cette démonstration très lourde alors qu'il en existe tant d'autres plus jolies (Nombre de Fermat, infinité de nombres premiers dans toute suite arithmétique dont raison et premier terme sont premiers entre eux...). Enfin, le même livre attribue à Euler une autre propriété autrement plus intéressante : la série $\sum _{p{\text{ premier}}}{\frac {1}{p}}$ est divergente. HB 14 octobre 2007 à 16:58 (CEST)

C'est vrai que la démonstration est lourde mais c'est la seule correcte. on n'a donc pas le choix (sauf à démontrer le grand théorème des nombres premiers mais la démonstartion n'est pas moins lourde !)Claudeh5 14 octobre 2007 à 17:57 (CEST)

je ne comprends pas : la démonstration d'Euclide ne serait pas correcte ? HB 14 octobre 2007 à 18:06 (CEST)

Ce n'est pas celle d'Euler (je suppose qu'il s'agit d'une coquille) qui est fausse mais celle qu'on lui prête.on a $\sum _{p{\text{ premier}},p\leq x}{\frac {1}{p}}\approx \ln \ln x$Claudeh5 15 octobre 2007 à 17:35 (CEST)

Oui, j,ai repris ce qu,il y avait dans l,ancienne version sans verifier. Mea culpa. Salle 16 octobre 2007 à 08:32 (CEST)

Ok je crois bien qu'il s'agit d'un malentendu. je parle du chapitre 6.1. sur l'infinité des nombres premiers où, après une allusion à la démonstration d'Euclide on propose une autre démonstration (effectivement fausse à force dêtre imprécise) censée être celle d'Euler. Je ne vois pas l'utilité de celle-ci (pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ?). En revanche doit figurer le fait que non seulement les nombres premiers sont en nombre infini mais qu'en plus la série des inverses des nombres premiers est divergente. Ce que tu exprimes d'ailleurs en écrivant que $\sum _{p{\text{ premier}},p\leq x}{\frac {1}{p}}\approx \ln \ln x$. (Pour info, Erdös propose pour cette dernière propriété une démonstration d'une relative simplicité). HB 16 octobre 2007 à 10:06 (CEST)

Je ne vois pas trop où est le problème. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ est la limite quand N tend vers l'infini de $\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}$, et vaut $+\infty$. $\prod _{p{\text{ premier}}}{\frac {1}{1-1/p}}$ est la limite quand N tend vers l'infini de $\prod _{p{\text{ premier}},p\leq N}{\frac {1}{1-1/p}}$ et vaut également $+\infty$. Dans ce sens, on a bien égalité entre les deux quantités. Pour le montrer, Euler utilise les canons de son époque et il est anachronique de lui reprocher de ne pas utiliser des concepts développés un siècle plus tard. De toute façon, l'article ne détaille pas la façon dont Euler procède, et le résultat qu'il énonce est indubitablement vrai. Theon 16 octobre 2007 à 09:03 (CEST)

Dire que l'infini = l'infini peut être dit de nombreuses manières. Si l'on veut que l'indication soit éclairante il faut indiquer quelle somme finie est identifiée à quel produit fini. Mais comme j'explique plus haut, je ne vois pas l'utilité de cette preuve pour affirmer que l'ensemble des nombres premiers est infini. Euclide suffit. HB 16 octobre 2007 à 10:06 (CEST)

d'accord avec HB : Euler lui-même semble considérer ses résultats comme des propriétés de rareté (cf corollaires du theorema 7 dans le pdf en lien) ; je trouve que la présentation actuelle affadit cela Peps 16 octobre 2007 à 10:59 (CEST)

Il n'empêche que je remercie grandement Theon pour le lien vers le texte d'Euler qui m'a réjouie par son élégance et effrayée par son traitement de somme et produit infini (la dem en l'état ne serait probablement plus acceptée de nos jours ). HB 16 octobre 2007 à 11:46 (CEST)

en réponse à peps, on ne peut absolument pas écrire infini=infini comme ça.Cela ne viendrait à l'idée de personne (j'espère ...) d'écrire l'égalité $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {n}}}$ et pourtant les deux sont infinis. Il faut comprendre dans l'écriture $\sum _{n=1}^{\infty }$ une abréviation pour $\lim _{x\rightarrow \infty }\sum _{n=1}^{x}$. D'ailleurs le "etc" d'Euler n'a pas d'autre signification.Claudeh5 16 octobre 2007 à 12:28 (CEST)

en réponse à HB, le résultat d'Euler en dit beaucoup plus que la simple infinité des nombres premiers. Ils pourraient être en nombre infini et pourtant avoir une somme des inverses finies. L'exemple est le théorème de Brun qui démontra que la série des inverses des nombres premiers jumeaux est finie (bien que l'on conjecture qu'il en existe une infinité).Claudeh5 16 octobre 2007 à 12:51 (CEST)

C'est bien ce que j'ai dit " En revanche doit figurer le fait que non seulement les nombres premiers sont en nombre infini mais qu'en plus la série des inverses des nombres premiers est divergente." HB 16 octobre 2007 à 17:14 (CEST)

Pour répondre à HB, non, Euclide ne suffit pas. Car ce que fait Euler est beaucoup plus puissant qu'Euclide. Il introduit des méthodes d'analyse dans des questions arithmétiques, et cette introduction se révélera particulièrement fructueuse. D'ailleurs, dans le même texte mis en référence (th.8), Euler montre que $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{n}}}=\prod _{p{\text{ premier}}}{\frac {1}{1-1/p^{n}}}$. Bon, d'accord, il l'applique aussi au cas $n=1$... Theon 17 octobre 2007 à 15:48 (CEST)

il faut arrêter de rêver

On ne pourra pas reconstituer la pensée réelle des mathématiciens du 17e ou du 18e siècle concernant leurs façons de rédiger les preuves. Chaque siècle conteste les démonstrations des siècles précédents et le 21e siècle contestera à coup sûr les preuves des théorèmes du 20e siècle. On n'y peut rien: les connaissances mathématiques évoluent et la précision des démonstrations est en constante augmentation, rendant les raisonnements antérieurs tels qu'ils sont écrits ambigus au sens d'aujourd'hui. Ils ne le sont probablement pas en fait mais nous ne comprenons plus totalement le propos un peu ancien. Aussi est-il bon de reprendre les raisonnements anciens et de réécrire les preuves anciennes en termes d'aujourd'hui tout simplement pour qu'elles soient comprises, car ce qui compte ce n'est pas le texte ancien mais l'argument utilisé pour conclure. Et l'argument, lui, est permanent.Claudeh5 16 octobre 2007 à 13:05 (CEST)

18e siècle

Avant les apports du 19e siecle, il y a ceux du 18e !Claudeh5 13 octobre 2007 à 18:44 (CEST)

Succédé et non succédées

Succéder est un verbe intransitif. Il n'admet pas de complément d'objet direct. Le pronom réfléchi se est ici non pas complément d'objet direct de succéder, mais complément d'objet indirect. On ne succède pas qqc, on succède à qqc. Dans ce cas, il n'y a pas d'accord. Si le verbe avait été transitif, la règle aurait bien sûr été différente : elles se sont serré les mains. Elles se sont serrées l'une contre l'autre. Source : Bescherelle, grammaire pour tous, ou bien [2]. Merci donc de laisser elles se sont succédé. Theon 14 novembre 2007 à 18:05 (CET)

un verbe est dit intransitif s'il n'admet pas de complément d'objet. Or succéder, de par son sens même, appelle un complément d'objet indirect. Il n'est donc pas intransitif. "Un verbe intransitif est un verbe qui n'est pas accompagné d'un complément d'objet" http://www.synapse-fr.com/manuels/TRANSI.htm

Mais le complément d'objet n'est pas direct. Il ne peut donc pas y avoir d'accord.Theon 15 novembre 2007 à 07:59 (CET)

D'autre part, il s'agit manifestement d'une aberration orthographique: on ne succède généralement pas à soi-même (sauf dans le cas d'un mandat électif où c'est possible). Ici, la succession des civilisations suppose la mort de la précédente. Il ne s'agit donc pas non plus d'une forme pronominale ! Je suggère donc de mettre, pour clore la question, "Des tablettes d'argile séchées attribuées aux civilisations qui se succédèrent en Mésopotamie...".

Il n'y a pas d'aberration. On applique simplement la règle grammaticale relative à l'accord avec le COD.Theon 15 novembre 2007 à 07:59 (CET)

Enfin, une tablette ne peut raisonnablement pas être attribuée à plusieurs civilisations.

Déja que je conteste la présence de l'os d'Ishango dans l'article: ce n'est pas parce qu'on a trouvé 11 chaises dans une piece que les participants savaient faire des multiplications ou des divisions et connaissaient la définition des nombres premiers.Claudeh5 15 novembre 2007 à 06:47 (CET)

On peut trouver certaines règles grammaticales complètement stupides ; mais on se doit de les respecter, au moins dans la rédaction des articles de Wikipédia. Je mentionne au passage que la bonne orthographe me trouble ... mais c'est la bonne orthographe.

Par ailleurs, pour information, les tablettes babyloniennes ne se limitent pas à des multiplications ou à des divisions, mais présentent aussi des descriptions d'algorithmes permettant de résoudre des problèmes arithmétiques et géométriques... (Ce serait un test intéressant de demander à des lycéens de résoudre les problèmes en question.) Les tables présentant des valeurs numériques diverses (tables de logarithmes par exemple) ont pendant plusieurs millénaires été utilisées avant d'être remplacées par un ordinateur.

Merci, Claudeh5, de bien vouloir respecter la neutralité de point de vue, et de ne pas se fonder sur des a priori. Kelemvor 15 novembre 2007 à 13:08 (CET)

Bonsoir Theon. Désolé d'avoir (encore) essayé d'accorder ce "succédé"... J'avais un peu bataillé sur ça il y a quelques mois. Je n'avais pas vu ton explication, qui est tout à fait correcte en effet (c'est piège je trouve... mais effectivement, on succède A quelqu'un, compl obj indirect). Je n'essayerai donc plus de """corriger""" cette erreur d'accord qui n'en est PAS une ! Merci et bonne fin de soirée. Didier Misson (d) 14 janvier 2008 à 01:00 (CET)

Ishango et al

En parfait accord avec Claude h5 plus haut, je trouve que la référence à Ishango pour commencer est plus que douteuse (grand hit populaire, comme d'ahbitude parce qu'on en a parlé dans les journaux). Mais dans tous les cas, il faut donner une source pour cette interprétation, et de préférence, indiquer que c'est controversé. La date de naissance de l'écriture ne peut être qu'approximative et on a déjà des textes très élaborés en -3200. Certains auteurs reconstruisent vers -3500, d'autres un peu après, etc. --Cgolds (d) 9 mars 2008 à 18:35 (CET)

Plutôt d'accord avec Claude h5 moi aussi. Lerichard (d) 11 mars 2008 à 00:24 (CET)

Crible de Donné

on parle que très rarement du crible récent (qui peut être + qu'un crible...) de monsieur Jean-Luc Donné à savoir:

Il est "assez simple" de prouver que tous les nombres non-premiers peuvent s'écrire sous la forme de 5 équations, ces 5 équations les donnant tous. L'infinité restante des nombres non donnés par ces 5 équations étant tous les nombres premiers.

Ces 5 équations sont:

A=2M, B=3N, C=(6P-1)(6Q-1), D=(6R+1)(6S+1), E=(6T-1)(6U+1),

M,N,P,Q,R,S,T,U sont des entiers naturels tel que C, D et E soient aussi des entiers naturels.

je n'ai aucune source vérifiable, il n'est pas bien complexe de démontrer ce crible pour un mathématicien en herbe. merci. (ça change de celui d'Ératosthène que l'on donne toujours ;-) (avec l'autorisation de l'auteur du crible).

P.S. Ce crible fonctionne parfaitement, sauf une exception avec le 0, ne commencez surtout pas par l'exception pour le tester et dire qu'il ne fonctionne pas. merci. Quartzsion (d) 24 avril 2008 à 15:15 (CEST)

Euh... Franchement, c'est une blague... ces équations se résument à une multiplication sans les multiples de 2 et 3... Bref, aucun réel intérêt en clair...

Us. (Qui fait un court retour par hasard)

C'est un bien un crible ou il faut se méfier de l'apparente simplicité, nous pouvons faire des recherches par exemple en ceci: Si nous prouvons qu'un nombre entier N n'est pas solution d'aucune de ces équations alors il est nécessairement premier, cela demande effectivement une ouverture fondamentale, une découverte exceptionnelle en mathématiques...

Quartzsion (d) 7 août 2008 à 13:25 (CEST)Quartzsion (d)

Question ouverte résolue ?

Si on applique le résultat de Green-Tao pour k = b = 2, on prouve l'infinité des couples de nombres jumeaux, non ? Si j'ai loupé quelque chose, peut-on éclairer ma lanterne ?

Si je ne me trompe, le théorème affirme l'existence de a et b pour tout k, mais il n'affirme pas que k et b peuvent être choisis arbitrairement. Ambigraphe, le 3 juillet 2008 à 22:31 (CEST)

Mise à jour

petite remarque: je note que l intro a pris en compte les deux derniers résultats de GIMPS. or plus loin, dans la section dédiée à Mersenne, les résultats sont ceux de 2006 (pareil dans l article nombres parfait). je n ai pas osé faire la modification car je ne suis pas vraiment expert et que j ai l impression qu une reformulation serait peut etre bienvenue... sinon dans les questions ouvertes certains termes me sont étrangers et j aurais aimé en savoir plus (premier primorial? factoriel?)

Algorithmes par essais de division

Bonjour, j'avais vu lors de mon intervention en début de soirée qu'un algorithme en pseudocode augmenté d'un algo en C étaient proposés pour les essais de division. Si je me souviens bien, on préfère une description de lalgorithme - qui figure, sans trop de délayage il est vrai. Je suis donc Jean-Christophe Benoist et j'enlève. Des commentaires ?Salle (d) 26 janvier 2009 à 21:22 (CET)

ça commence à m'énerver. L'algo est mathématiquement un très mauvais exemple, puisque qu'il teste les multiples de 3 puis les multiples de 9... En plus c'est très mal programmé en C. Blocage en vue AMO. --Jean-Christophe BENOIST (d) 27 janvier 2009 à 01:04 (CET)

+1 pour ne pas accepter ce type d'algorithme. HB (d) 27 janvier 2009 à 10:51 (CET)

0 et 1

Copié depuis la page de discussion de JLM :

(intervention d'IP) Bonjour, Pourquoi supprimer une explication - que je considère nécessaire - sur le fait que les nombres 0 et 1 ne sont pas premiers ? Une telle suppression sans explication dans le log me semble abusée, et apparemment vous n'en êtes pas à votre première élimination arbitraire. Merci de votre commentaire.

Un nombre premier a deux diviseurs exactement. Donc 0, qui a une infinité de diviseurs n'est pas premier, et 1 qui n'en a qu'un seul n'est pas non plus premier (on distinguait, jusqu'au 19e siècle, que 1 n'était pas un nombre ... il ne pouvait donc être premier). Par conséquent votre suppression n'est pas la bien venue.Claudeh5 (d) 29 janvier 2009 à 01:08 (CET)

Pour moi, la suppression était bienvenue : certes 1 et 0 ne sont pas des nombres premiers, mais il me semble très vain de vouloir argumenter dessus, et de faire ressortir deux fois ce qui n'est qu'une toute petite remarque. C'est déjà signalé en intro pour 1, on peut aussi le signaler pour 0, s'il le faut, et basta. D'autres avis ? Salle (d) 29 janvier 2009 à 20:34 (CET)

Suppression effectuée ce jour, en l'bsence d'opposition. Salle (d) 4 février 2009 à 18:51 (CET)

Je venais juste, ce même jour, d'améliorer ce point (il me semblait, du moins). ---- El Caro ^bla 4 février 2009 à 19:02 (CET)

Faut voir ; je voulais juste inciter au passage en pdd, pour qu'on se mette d'accord ; et être sûr que mes arguments soient entendus. Il ne me semble pas très opportun de vouloir développer des arguments sur les raisons qui font que 0 et 1 ne sont pas premiers. Ama, c'est le genre de remarque qu'on peut se faire quand on découvre le sujet ; éventuellement qu'un enseignant peut formuler pour aider un élève. Mais je ne crois pas que ce soit quelque chose de profond sur lequel il faille attirer l'attention. Maintenant, si je ne convainc vraiment pas, puisque Claudeh5 semblait aussi d'accord, je te laisse rétablir le paragraphe tel que tu l'avais amendé. Merci de ton attention. Salle (d) 4 février 2009 à 19:52 (CET)

Pour zéro pas d'argumentation nécessaire mais pour 1 il me semble assez justifiée d'introduire une explication succinte. Plus de gens qu'on ne croit pense que 1 est premier. D'ailleurs quand je dis que 1 n'est pas premier devant quelques personnes c'est moi qui suis discrédité ! Nico92 (d) 5 février 2009 à 10:02 (CET)

D'accord avec Nico92. L'idée des nombres premiers pourrait être "les nombres qui ne sont pas composés". Or, 1 n'est pas composé, ni premier. Pourquoi ? Ce n'est pas évident pour un lecteur qui viendrait sur cet article par curiosité. On pourrait dire que 1 est exclu des nombres premiers car il ne vérifie pas beaucoup de leurs propriétés. Notamment, si on accepte 1 comme nombre premier, il n'y a plus unicité de la décomposition, le crible d'Ératosthène ne fonctionne plus (si on barre tous les multiples de 1), etc. La convention la plus "pratique" est donc d'exclure 1 des nombres premiers. À comparer avec d'autres conventions comme 0!=1, par exemple : on choisit celle qui est la plus "pratique" ou cohérente avec les reste des maths.

<hors sujet>D'ailleurs, un article Convention en mathématiques n'aurait-il pas sa place sur WP ?</hors sujet> ---- El Caro ^bla 6 février 2009 à 12:13 (CET)

OK, je suis nettement minoritaire donc je m'incline ; et j'admets que cette position se tient. Je vous laisse donc procéder - vous le ferez sûrement mieux que moi - et je vous remercie d'avoir pris le temps de répondre. Salle (d) 6 février 2009 à 18:46 (CET)

Trop tard ils ne l'ont pas fait à temps et je viens au secours de Salle : c'est trop anecdotique (et accessoirement difficile à sourcer). Et de deux qui pensent ça, hop pas grand chose de plus à dire que de venir faire nombre. Touriste ✉ 12 février 2009 à 17:36 (CET)

Preuve d'Euler

Je suis allé vérifier la source, la preuve que j'ai modifiée ne me semblait pas être celle d'Euler. Celui-ci écrit la formule du produit eulérien (th. 8) et en déduit des trucs comme la valeur de $\zeta (2)$, mais pour le théorème final, il se repose sur le théorème 7 qui est la formule du produit eulérien pour $x=1$. Utiliser une variable auxiliaire puis la faire tendre vers 1 c'est incontournable pour des résultats plus compliqués (la preuve du théorème de Dirichlet si je l'ai bien comprise) mais c'est un marteau-pilon pour écraser une mouche s'il s'agit simplement de prouver la divergence de $\sum {1 \over p}$. Contrôlez si je n'ai pas bavuré, mais il me semble que la version que j'ai modifiée était en désaccord avec la source fournie. Cela étant, une source plus moderne faciliterait la vérification par le prochain lecteur qui aura une fringale de vérification... Tiens je vais ajouter les numéros de théorème ça l'aidera ! Touriste ✉ 12 février 2009 à 20:57 (CET)

Du Sautoy et les nombres premiers

Le merveilleux livre de du Sautoy, ne peut hélas pas servir de référence dans un article de cette qualité. C'est un peu comme choisir un peplum pour comme référence historique.

Pour preuve on peut prendre, p 48 le fait qu'il indique que l'on trouve le nombre d'or dans les coquillages (on parle en général du Nautilus). En fait, le Nautilus présente une spirale logarithmique, mais il n'existe pas plus de nombre d'or que de beurre en broche, comme le montre les études des vrais spécialistes. Page 75, il indique qu'Euler utilise de nouvelles méthodes pour montrer que le cinquième nombre de Fermat n'est pas premier. Du Sautoy n'a pas lu la lettre de 1732 qu'il cite, où Euler s'étonne de l'erreur de Fermat, car il reprend exactement le même raisonnement que Fermat avait utilisé pour montrer à Mersenne qu'un de ses nombres n'étaient pas premier.

L'os Ishango est souvent considéré comme aussi probant que le temple d'Andros, un caillou vaguement rectangulaire de la mer des Caraïbe. Certains y voient la preuve incontournable de l'existence de l'Atlantide, et comme, avec un peu d'adresse on peut trouver des dimensions qui laissent penser que le rectangle est d'or (un peu d'adresse et beaucoup de bonne volonté) certains en déduisent que cette civilisation disposait d'un haut degré de culture mathématiques. A l'image de Touriste, je pense que ce n'est pas l'élément le plus essentiel dans l'histoire des nombres premiers et pas non plus le moins polémique.

Attention à Du Sautoy, c'est un fondu de l'hypothèse de Riemann, en conséquence son livre néglige scandaleusement l'importance algébrique des nombres premiers. Jean-Luc W (d) 13 février 2009 à 10:16 (CET)

BA ?

L'article a été refusé à ce label, à mon avis avec raison. Il y a de très nombreux manques et des expositions qui n'ont pas leur place dans un article encyclopédique de taille raisonnable (donc assez limitée). Enfin, mais je l'avais déjà dit en 2007, il reste des écrits qui ne sont pas mathématiquement acceptables (par exemple l'égalité entre la série harmonique jusqu'à l'inifini et le produit eulérien).Claudeh5 (d) 19 mars 2009 à 20:36 (CET)

Franchement plus que d'accord. Us.

diviser par 24 c'est multiplier par 2.60 + 30 ?!

Il est dit dans le paragraphe « Eléments historiques » que diviser par 24, c'est multiplier par 2.60 + 30 et décaler de deux places le rang ?! Bien que ma calculette soit infiniement plus perfectionnée que les tablettes d'argiles des anciens, je ne vois pas comment ils faisaient. Qu'est ce « 2.60 » ? Le chiffre 2 en base 60 (c'est idiot...), 2,60 (pas convaincu que ça rende plus simple la division par 24)... Je pense qu'il faut reformuler cette phrase pour lever les ambiguités. Platypus (d) 23 février 2009 à 09:06 (CET)

ambiguïté ? Oui, je suis d'accord... Mais surtout... en relisant le passage sur les babyloniens, l'auteur du passage défend l'argument qu'ils savaient (à l'époque) calculer les fractions, donc savaient multiplier... et laisse supposer qu'ils connaissaient alors les nombres premiers ! Fallacieux ! Rien ne prouve ce point ! d'ailleurs, il prends soin de ne le pas le dire explicitement... En effet, si la connaissance de la multiplication est nécessairement un préalable à l'existence de la définition des nombres premiers, comme je le soulignais y'a qlq années pour ce fameux "nonosse" d'Histango - belle référence pour wikipedia ! le supprimer, il revient au galop... - il ne prouve pas la connaissance explicite des nombres premiers. La "connaissance explicite des nombres premiers" c'est la "conscience" que tout nombre peut être décomposé en une combinaison unique (à l'ordre près) de nombres particuliers ! Vu que des Babyloniens on en a que des témoignages de calculs précis, ou que des explications pour effectuer des calculs précis (d'ailleurs sans référence au nb premiers) de fractions, mais jamais la trace qu'ils avaient de cette connaissance. Pas de preuve ! donc... et donc en écrire 2 paragraphes dans Wikipedia, c'est beaucoup pour rien ! - mais le réduire à une juste proportion, et cela revient au galop comme un Os ! - Us.

Je ne remets pas en question les critiques de Us. Les éventuelles connaissances babyloniennes sur les nombres premiers, si elles existent, doivent être étayées par des sources.

Je tente seulement de répondre (tardivement) à Platybus. 24 est un diviseur d'une puissance de 60. En effet 24 × 150 = 60². Donc, diviser par 24 revient à multiplier par 150 et diviser par 60². En base 60, cela signifie que l'on multiplie par 2 × 60 + 30 (écriture sexagésimale de 150) et que l'on décale le nombre de 2 rangs sur la droite (division par 60²). Est-ce nécessaire de reformuler dans l'article ? HB (d) 16 août 2009 à 22:46 (CEST)

Pour préciser ce qu'a écrit HB : les Babyloniens ne faisaient pas la différence entre 60 et ses puissances : ils écrivaient des formules qui ressemblaient à 24 × 150 = 1 (pour les raisons expliquées par HB). L'article numération babylonienne est d'ailleurs à recycler : ils utilisaient simultanément plusieurs systèmes, le fameux système dont on parle ici ne servant que pour les calculs, et étant toujours transposé en autre chose lorsqu'il fallait écrire des quantités. d'après ce que j'en ai compris ---- El Caro ^bla 17 août 2009 à 09:14 (CEST)

Crible d'Ératosthène et algorithme par essais de division

tout d'abord : l'article est-t-il "mort" depuis le 17 août 2009 ; ou a-t-il atteint maintenant de summum de la perfection ?

maintenant, l'illustration "Le crible d'Ératosthène : nombres premiers inférieurs à 120." du paragraphe 4.1 Crible d'Ératosthène et algorithme par essais de division, est pour moi très interessant et ...illustratif, mais il ne s'animme que lorsque j'ouvre le lien. du coup il n'est pas très interessant dans le corp de l'article. est-ce corrigeable ? merci

Non, il n'est pas parfait, tout le monde peut l'améliorer ! . Pour l'image, j'ai sacrifié le paramètre thumb et ça a réglé le problème. MicroCitron ^{un souci ?} 14 août 2011 à 15:24 (CEST)

Demande d'avis sur un diff / une suite

Bonjour, pas sûr que ce diff reverté dise du faux (ça me semble ok au moins jusqu'à 113). Maintenant c'est p.-e. faux, trivial ou inédit donc 3 raisons pour ne pas être sur wp. Bon sur le fond quel est votre avis sur cette suite ? Je songe à la suite, un peu de même type et assez connue, u0 = 3, u1 = 0, u2 = 2 où 1/ u(n) divise n si n est premier et où 2/ la réciproque est quasi vraie (2 exceptions, pour 1<n< 1.000.0000) (très mal dit voir plus bas), ce qui m'invite à la prudence avant de juger qu'une suite est inintéressante (je suis surpris de ne pas voir cette rec aussi simple chez Sloane) --Epsilon0 ε₀ 23 septembre 2011 à 23:31 (CEST)

Puisque je suis celui qui a reverté, je vais développer mes raisons :

1. les "nombres de Zelkami" n'ont fait l'objet d'aucune publication universitaire (rien sur Google Scholar en tout cas). Jusqu'à preuve du contraire, c'est donc du travail inédit.
2. Certes, la suite contient les nombres premiers impairs supérieurs à 5... mais elle contient aussi des nombres impairs divisibles (U(7)=25) ! Dans ce cas, qu'est-ce qu'elle apporte de plus que la suite $u_{n}=2n+1,\,n\geqslant 2$ ? Rien, si ce n'est qu'elle compte quelques nombres divisibles en moins.

Cette suite aurait peut-être un intérêt encyclopédique si elle ne contenait que les nombres premiers impairs. Mais ce n'est pas le cas... Kelam (Qu'est-ce que c'est ?) 23 septembre 2011 à 23:49 (CEST)

Euh, c'est pas tout à fait le cas : cette suite donne (5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,...) ; bref, elle est arithmético-périodique. Bon, cela dit, elle manque d'intérêt quand même...--Dfeldmann (d) 24 septembre 2011 à 00:07 (CEST)

@Kelam Dans ce cas, qu'est-ce qu'elle apporte de plus que la suite u_n = 2n+1, \, n\geqslant 2 ? Rien, si ce n'est qu'elle compte quelques nombres divisibles en moins. perso c'est justement ce petit rien de plus qui m'impressionne / me titille. Note, si tu as un doute, que je ne conteste pas ton revert, sur un truc au "nom" en effet non notable, mon motif en initiant cette section est purement mathématique ;-)

@ Dfeldmann, elle manque d'intérêt : je n'ai pas ton niveau de connaissance en maths géné, est-ce trivial, peut-on pondre une gamme infinie de suites ayant cette même propriété ?

--Epsilon0 ε₀ 24 septembre 2011 à 00:27 (CEST)

Oui, on peut ; c'est à peu près trivial, mais faut quelques connaissances tout de même... Ce qui est trivial, c'est par exemple, que tout nombre premier supérieur à 5 est de la forme 30n+p, où p appartient à l'ensemble {1,7,11,13,17,19,23,29}. La suite u(n) des nombres de cette forme est arithmético-périodique, c'est-à-dire qu'elle vérifie u(n+8)=u(n)+30. Bon, il est un peu moins trivial d'en déduire une relation de récurrence du modèle proposé (ici, u(n+9)=u(n+8)+u(n+1)-u(n) convient (avec les 8 bonnes valeurs initiales), mais est-ce aussi "joli" que celle dont on discutait ?) En revanche, je vois pas trop à quelle suite (u(n) divise n...) tu faisais allusion.--Dfeldmann (d) 24 septembre 2011 à 07:53 (CEST)

Ok et finalement la suite qui a été mise dans l'article est une manière astucieuse/jolie de donner tous les entiers impairs non multiples de 3. Epsilon0 ε₀ 24 septembre 2011 à 15:18

Bonjour cette suite est la suite des 6x+1 et 6x-1; la suite des 6x+-1, contient tout les nombres premiers supérieurs à 3 et les nombres composés , qui sont le produit de la multiplication des 6x+-1 entre eux, les 6x+-1 sont de deux sortes les premiers et les composés, les premiers sont inconnus, mais les composé sont connus et calculables;

25 est le produit de 5x5; 5 est le premier 6x-1 35 est le produit de 5x7; 7 est le premier 6x+1 49 est le produit de 7x7 55 est le produit de 5x11; 11 est le deuxième 6x-1 65 est le produit de 5x13; 13 est le second 6x+1 77 est le produit de 7x11 85 est le produit de 5x17; 17 est le troisième 6x-1 etc....

Fonctionnement des 6x+-1

Règle 1 Il n'y a qu'un (6x)+-1, qui peut diviser un autre (6x)+-1 Règle 2 Lorsqu'il n'y a pas de diviseur de la forme (6x)+-1, pour un nombre de la forme (6x)+-1, alors ce nombre est premier. Règle 3 Tout les (6x)+-1, ne sont pas multiples de 2 ou de 3, à l'inverse, tout les nombres, qui ne sont pas de la forme (6x)+-1, sont divisibles, soit par 2 soit par 3 . Vous trouverez toutes les explication détaillés et les preuves mathématique de ces affirmations en suivant ce lien: https://sites.google.com/site/loqiquedespremiers/accueil Madgel 1/10/14 à 13h28‎

Déjà dit et exact (voir plutôt Suite récurrente linéaire + Congruence sur les entiers) donc cette suite contient bien tous les nombres premiers ≥ 5, propriété qui « manque d'intérêt » (cf. ci-dessus) donc svp Madgel, ne pas encombrer indument cette page de coordination de la rédaction de l'article. Anne (discuter) 1 octobre 2014 à 14:47 (CEST)

Sinon la suite que j'indiquais est :

• u0 = 3, u1 = 0, u2 = 2
• u(n+3) = u(n) + u(n+1) <-- je vois que j'avais oublié le pas de récurrence !

Soit (désolé pour ce tableau décalé) :

n : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

u(n) : 3 0 2 3 2 5 5 7 10 12 17 22 29 39 51 68 90 119 158 209 277

Et on a :

• n premier ==> u(n) est un multiple de n (<-- je crois que l'on n'a pas de contre exemple mais je ne sais si c'est démontré ou une conjecture)
• u(n) multiple de n ==> n premier dans la plupart des cas (2 contre-exemples avec 1 < n < 1.000.000)

--Epsilon0 ε₀ 24 septembre 2011 à 15:18 (CEST)

Grâce à l'OEIS, on apprend assez vite que c'est la suite des nombres de Perrin ; notre article n'est pas tout à fait clair, mais l'OEIS signale entre autres que la propriété 1 est toujours vraie (et démontrée), et qu'il y a une infinité de contre exemples à la réciproque.--Dfeldmann (d) 25 septembre 2011 à 01:25 (CEST)

Historique des records

Je ne suis pas du tout favorable à ~la présence de ces sections sur l'historique des records pour plusieurs raisons.

• La première est d'ordre éditorial : commencer l'article par deux tableaux de longueur rédhibitoire n'est pas une bonne idée: on vient pour lire du texte et pas pour se farcir des tableaux de nombres indigestes. Autant mettre un mur empêchant l'accès au reste des informations
• le seconde concerne la pertinence du contenu. Lire que les grecs découvrent 3 a de quoi surprendre. De plus la source donnée est le site de Gerard Villemin alors que celui-ci ne parle évidemment pas de record et signale seulement que les nombres premiers sont étudiés par les grec « Les mathématiciens grecs connaissaient bien les nombres premiers. ». Cela ne me semble pas sérieux du tout. Enfin le second « record » est annoncé comme venant de Ibn Fallus avec comme source utm2 alors que cette source commence son tableau en 1588 et ne cite nulle part ibn Fallus. Primes utm signale par ailleurs qu'avant 1588, il existe des records qu'il ne cite pas par manque d'évidence.

Je suis d'avis de supprimer cette section dans cet article à cause de ces deux points. Je suis d'autre part très réticente au retour de ces tableaux dans l'article indigeste liste de nombres premiers si cela doit être le lieu d'affirmations avec de fausses sources ou des sources peu fiables. Mais comme il y a là un gros travail fourni par BTH (d · c · b) cette suppression nécessite un large consensus. HB (d) 18 juillet 2012 à 14:19 (CEST)

Personnellement, ces tableaux ne me dérangent pas dans l'article, mais je ne suis pas contre leur suppression si on les retrouve ailleurs dans Wikipédia, car ces infos doivent être dans Wikipédia. Une mise en boite déroulante serait peut-être un bon compromis ? Quant à la pertinence de leur contenu, c'est un problème à part, à régler séparément, mais il ne me semble pas y avoir péril en la demeure, seules quelques entrées sont sujettes à caution. Ce genre de tableau est tout à fait sourçable, par exemple dans l'excellent livre de Jean-Paul Delahaye. --Jean-Christophe BENOIST (d) 18 juillet 2012 à 14:30 (CEST)

Bon j'ai de réels problèmes avec les sources mises que je liste ci dessous. Premier tableau record du plus grand nombre premier

• antiquité gv 1 n'en parle pas en ces termes
• Fallus utm 2 n'en parle pas
• tous les éléments datant d'avant 1996 sourcés par mer 2 qui ne parle que de ce qui se passe après 1996
• tous les éléments sourcés par mer 1 qui n'est qu'une page d'accueil

Second tableau ; nombre premier jusqu'au seul de s

• tous les records dont le seuil est inférieur à 10000 sont sourcés par gv 1 ou u 1 qui n'en parlent pas
• de plus gv 1 ne cite que 1746, 1797, 1811, 1863 sans parler de méthode employée et pas avec les seuils signalés
• utm 5 est un tableau qui ne parle pas de ce type de record

Je ne vois pas l'intérêt de mettre le rapport pi(s)/s sachant qu'on sait qu'il tend vers 0 et qu'aucune des sources ne le donne

Comme je n'ai pas Delahaye, il ne m'est pas possible de vérifier la véracité des affirmations mal sourcées et je compte les supprimer si aucun éclaircissement n'est fourni mais du coup le second tableau risque de se réduire à pas grand chose. HB (d) 20 juillet 2012 à 16:07 (CEST)

Selon Delahaye « il est impossible de dresser la table précise des records du "plus grand nombre premier connu" avant le XVIe siècle ... L'histoire du plus grand nombre premier commence donc en 1588 avec Cataldi ». La raison de ce diagnostic est que les calculs avant cette date manquent de justification et de rigueur. Donc entièrement d'accord pour supprimer tout ce qui est antérieur à cette date. Pour le reste du premier tableau, il me semble correct. Pour le second tableau, pour tout ce qui est moderne je ne vois pas de raison de remettre en cause les informations qui semblent correctes. Je vais néanmoins essayer de trouver de meilleures sources. --Jean-Christophe BENOIST (d) 20 juillet 2012 à 17:26 (CEST)

Pour Fermat, c'est douteux. Villemin ne dit ni explicitement ni clairement que Fermat a démontré la primalité du reste de la division par 223. Il a factorisé 2^37-1, et sans doute conjecturé (c'est un spécialiste de la chose ) que le reste est premier, mais aucune source ne dit qu'il l'a démontré. Je supprime. --Jean-Christophe BENOIST (d) 21 juillet 2012 à 01:43 (CEST)

de:Primzahl#Liste der Rekordprimzahlen nach Jahren contient une liste des records.

en:Great Internet Mersenne Prime Search#Primes found aussi,

Great Internet Mersenne Prime Search#Nombres premiers découverts aussi. --Neun-x (discuter) 22 janvier 2016 à 10:28 (CET)

Phrase optimiste

En ce qui concerne la phrase ambiguë sur les groupes abéliens finis :

Le théorème des restes chinois est un premier résultat dans l'étude des groupes abéliens finis. Il est en fait suffisant pour décrire entièrement la structure de ces groupes, qui est donc en partie liée à la décomposition en produit de facteurs premiers de leurs cardinaux.

elle ne devrait concerner que les groupes CYCLIQUES dont la cardinalité suffit en effet, mais dès qu'on a par exemple un Z/2Z x Z/2Z, les restes chinois n'y peuvent rien.Oisans (d)

Le contributeur était un optimiste . J'ai changé a minima, mais n'hésite pas à intervenir directement dans l'article quand tu vois ce genre de choses !-- Cgolds (d) 30 mai 2013 à 17:54 (CEST)

Ailleurs qu'en Occident ?

Il semble bien que les nombres premiers ne sont pas connus en Chine (ou au Japon) avant l'arrivée des missionnaires ; je viens d'ajouter une référence (un peu au hasard : la thèse de Kawai Lui) à ce sujet. Mais il faudrait peut-être rédiger un paragraphe ?--Dfeldmann (discuter) 2 août 2014 à 06:11 (CEST)

suite donnnant un nombre premier qqsoit n

La réponse est sans doute négative, mais je pose la question tout de même : connait-on une suite U(n) "classique", telle que U(n) soit un nombre premier qqsoit n ? "classique" au sens où elle n'est pas définie elle-même en fonction de la suite des nombres premiers, ni de congruences (donc sans la fonction "partie entière", ce qui exclut la suite de la constante de Mills) ?

J'en profite pour signaler que ces constante et suite de Mills ne sont pas évoquées dans l'article Nombre premier, ce qui est peut-être dommage.

--Tomates Mozzarella (discuter) 5 mai 2015 à 19:42 (CEST)

 Tomates Mozzarella : Je découvre ça bien tard, mais il y a Formules pour les nombres premiers qui le fait...--Dfeldmann (discuter) 22 janvier 2016 à 18:11 (CET)

Merci pour la réponse, tout à fait pertinente de surcroit ! --Tomates Mozzarella (discuter) 23 janvier 2016 à 11:31 (CET)

le plus grand nombre premier (2016)

http://www.nytimes.com/2016/01/22/science/new-biggest-prime-number-mersenne-primes.html?module=WatchingPortal&region=c-column-middle-span-region&pgType=Homepage&action=click&mediaId=thumb_square&state=standard&contentPlacement=5&version=internal&contentCollection=www.nytimes.com&contentId=https%3A%2F%2Frp.liu233w.com%3A443%2Fhttp%2Fwww.nytimes.com%2F2016%2F01%2F22%2Fscience%2Fnew-biggest-prime-number-mersenne-primes.html&eventName=Watching-article-click&_r=0

Infinité de NPdM ?

Comme les nombres premiers de Mersenne sont à l'honneur de l'actualité, je me posais une question, à laquelle il n'y a pas de réponse dans l'article : est-ce qu'il existe une infinité de nombre premiers de Mersenne ? Je crois qu'il n'y a pas de preuve, et ce serait intéressant de le signaler, dans la mesure où la recherche par ordinateur (qui est optimisée pour les NPdM) pourrait très bien s'arrêter un jour (contrairement à ce que l'on lit en ce moment dans certaines sources). --Jean-Christophe BENOIST (discuter) 22 janvier 2016 à 13:54 (CET)

Il y a une grosse différence entre ce qu'on sait prouver sur ce genre de questions (à peu près rien) et l'existence de conjectures quantitatives (remontant à Hardy et Littlewood, me semble-t-il) justifiées par des arguments heuristiques et très bien confirmées par les résultats expérimentaux. Dans le cas Mersenne, l'exposant de M(n+1) est à peu près 3/2 fois l'exposant de Mn (en moyenne, il y a de grandes irrégularités), si je me souviens bien, et donc la quête est non seulement sans fin, mais la loi de Moore garantit un intervalle à peu près constant entre chaque nouveau record.--Dfeldmann (discuter) 22 janvier 2016 à 15:03 (CET)

Éléments intéressants, qui auraient leur place dans l'article, je trouve. Merci ! --Jean-Christophe BENOIST (discuter) 22 janvier 2016 à 16:32 (CET)

Je ne peux qu'être d'accord! --Gaétan Lui Même (discuter) 13 avril 2017 à 03:26 (CEST)

Proposition d'un schéma de présentation « plus naturel pour les non mathématiciens »

Message transféré de ma pdd et réponse en suivant

Les deux premières phrases de l'article Nombre premier occultent le caractère conventionnel de l’élimination de 1 comme nombre premier. Je propose un schéma de présentation plus naturel pour les non mathématiciens, qui partirait d'une observation simple et présenterait la définition retenue comme une conséquence. Ce schéma est le suivant : si l’on considère la suite des entiers et qu’on examine le nombre de diviseurs positifs de chacun d’eux, on trouve facilement le résultat suivant :

• 0 a une infinité de diviseurs : 1, 2, 3, etc. ;
• 1 a un seul diviseur : lui-même ;
• n, nombre quelconque plus grand que 1, a au moins deux diviseurs : 1 et lui-même.

Les nombres n > 1 qui possèdent la caractéristique intéressante de posséder le nombre minimal de diviseurs, à savoir 2, sont appelés nombres premiers. C'est le cas des nombres 2, 3, 5, 7, etc. Une question se pose alors pour le nombre 1 : doit-on l'inclure dans la liste (en arguant du fait que 1 et lui-même le divisent !) ou l'en exclure (1 a strictement moins de 2 diviseurs). Des raisons pratiques ont conduit à choisir le deuxième cas, c’est-à-dire que le nombre 1 ne soit pas premier et à définir les nombres premiers comme les nombres positifs qui possèdent exactement deux diviseurs distincts. Fabrice Dury (discuter) 11 avril 2017 à 10:46

Bonjour, cette présentation est-elle sourçable ? et si oui, est-elle à mettre dès le RI ? (ça me semble long). Cordialement, Anne, 11/4/17, 11 h 50

Ça me paraît effectivement beaucoup trop long. Et de plus pas du tout conforme à la réalité (historique, entre autres: si 1 n'était pas considéré comme un nombre premier par Euclide, c'est parce qu'il n'était même pas considéré comme un nombre). Sapphorain (discuter) 11 avril 2017 à 12:16 (CEST)

En revanche, un petit paragraphe rappelant et expliquant cet historique semble manquer, non?--Dfeldmann (discuter) 11 avril 2017 à 12:36 (CEST)

« Des raisons pratiques ont conduit à choisir le deuxième cas, c’est-à-dire que le nombre 1 ne soit pas premier » : quelles sont ces raisons pratiques ? Je suppose que si les auteurs modernes ne considèrent pas 1 comme un nombre premier, c'est pour pouvoir dire que la décomposition en facteurs premiers est unique, pour pouvoir toujours parler de l'exposant auquel un nombre premier figure dans un entier naturel non nul, etc. Quant au fait qu'Euclide ne considérait pas 1 comme un nombre, il pourrait figurer, avec référence, dans l'article 1 (nombre). Marvoir (discuter) 11 avril 2017 à 17:54 (CEST)

En fait, c'est au départ vraiment une question de convention : voir (en anglais) cette discussion et plus précisément cet historique ou encore cette version plus récente. Reste à rédiger et à sourcer précisément...--Dfeldmann (discuter) 11 avril 2017 à 18:12 (CEST)

Je soumettais plutôt une idée que sa formulation. De plus, si la proposition est acceptée, sa place dans l’article pourra se discuter (pour suivre Dfeldmann) de façon que le RI soit bien un résumé, dont la source sera, comme il se doit, le texte de l’article. Deux citations peuvent répondre aux interrogations exprimées par Anne Bauval et Sapphorain :

• Première citation : « Par convention, on considère que les nombres 0 et 1 ne sont ni premiers ni composés. Le nombre 1 a parfois été considéré comme nombre premier, mais, aujourd'hui, les mathématiciens ont préféré l’exclure de la primarité. La convention suivant laquelle 1 n’est pas premier simplifie l’énoncé de nombreux résultats, par exemple l’affirmation que tout nombre entier supérieur à 1 s’écrit de façon unique comme un produit de facteurs premiers. » (Jean-Paul Delahaye, Merveilleux nombres premiers, Belin, 2000.) Cette citation expose le caractère conventionnel du choix.
• Deuxième citation : « Le nombre 1 n’a qu’un diviseur positif, à savoir 1 ; tout nombre a > 1 a au moins deux diviseurs positifs, à savoir 1 et a.
  Définition 3 : Un nombre a > 1 est dit premier si et seulement si il possède deux diviseurs à savoir 1 et a.
  Exemples : Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11. » (Edmund Landau, Elementare Zahlentheorie, 1927, reprint ed. Chelsea, 1945). La citation est la traduction des cinq premières lignes du chapitre 2 Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers du livre de Landau. On voit qu’ici la définition suit l’observation de l’allure de la fonction « Nombre de diviseurs » et du constat qu'elle a un minimum égal à 2. C’est ce constat qui fonde de la façon la plus naturelle, me semble-t-il, l’introduction du concept de nombre premier.
  Fabrice Dury (discuter) 11 avril 2017 à 18:16 (CEST)

Formulation proposée. Hors révision du résumé introductif, je propose d’introduire, dans la section Éléments historiques une première sous-section Introduction du concept, avec le texte suivant :

« Le concept de nombre premier est très ancien. Il provient du constat élémentaire que tout nombre (>1) admet au moins deux diviseurs positifs, à savoir 1 et lui-même et que, d’autre part, il existe des nombres qui en possèdent exactement deux : c'est ceux que l’on considère ici et que l’on appelle premiers : 2, 3, 5, 7, 11, …. Le cas de ceux qui possèdent plus de deux diviseurs est trivial : il suffit de considérer les nombres égaux au produit de plusieurs autres, appelés pour cette raison nombres composés. Des raisons pratiques ont conduit les mathématiciens à donner un statut également à 0 et à 1. Leur choix a fluctué au cours du temps. Mais, guidés par la simplicité des énoncés des théorèmes qui en résultent, ils ont fini par considérer conventionnellement que 0 et 1 ne sont ni premiers ni composés et par ajuster la définition précise de nombre premier en conséquence. » Sauf contre-indication, j’introduirai la modification. Fabrice Dury (discuter) 12 avril 2017 à 15:20 (CEST)

Quelles références comptez-vous donner ? Marvoir (discuter) 12 avril 2017 à 15:30 (CEST)

Par rapport à l'article actuel, la seule novation concerne le caractère conventionnel du classement de 0 et de 1. Pour cela, la référence à Jean-Paul Delahaye (voir ci-dessus) devrait convenir. Fabrice Dury (discuter) 12 avril 2017 à 15:46 (CEST)

Pour un passage destiné à faire partie d'une section « Elements historiques » , tout ceci me paraît extrêmement peu précis et flou historiquement. Des informations vagues comme « le concept est très ancien », « des raisons pratique ont conduit » (quand?), « leur choix a fluctué au cours du temps », « ils ont fini par considérer » (quand?), sont éminemment peu éclairants sur ce qui s’est réellement passé. Sapphorain (discuter) 12 avril 2017 à 15:58 (CEST)

Tout à fait d'accord ; je suggère vivement, avant toute intervention, la lecture de cette référence (en) (ce sont d'ailleurs eux qui ont rédigé la version actuelle sur WPen)...--Dfeldmann (discuter) 12 avril 2017 à 17:17 (CEST)

Dans son cours d’algèbre seconde édition page 9, Michel Demazure écrit :

«Rappelons qu’un entier n > 1 est dit composé s’il peut s’écrire comme produit de deux entiers > 1 et qu’il est dit premier s’il n’est pas composé.»

-- Actorstudio (discuter) 12 avril 2017 à 17:50 (CEST)

C'est bien conforme à l'usage qui est général actuellement : 1 n'est ni composé ni premier. Marvoir (discuter) 12 avril 2017 à 20:56 (CEST)

Le premier paragraphe d'introduction dans l'article me paraît parfaitement approprié, il est conforme aux conventions modernes, et je ne vois aucune raison de le modifier en quoi que ce soit (...si bien sûr: la mention de 0 n'a à mon avis rien à faire ici, je ne considère pas 0 comme un nombre naturel; mais cela est un autre débat…). Pour ce qui est de la partie historique, il y a clairement encore du travail à faire, le travail de Caldwell-Xiong que Dfeldmann cite ci-dessus et pour lequel il a mis un lien dans l'article est tout à fait intéressant (et devrait être utilisé par celui ou celle qui s'y collera…). Sapphorain (discuter) 12 avril 2017 à 22:26 (CEST)

Donc gardons le premier paragraphe, avec sa curieuse mise en exergue, dès la deuxième phrase, de la question du statut du nombre 1. Une présentation plus pédagogique (surtout pour une encyclopédie) pourrait s’inspirer de l'article anglais, où le choix du statut apparaît bien comme une question secondaire dans le résumé introductif et où un traitement explicatif figure dans une section dédiée. Bon courage pour la suite. Fabrice Dury (discuter) 13 avril 2017 à 00:41 (CEST)

Sur la base des commentaires reçus et en m’inspirant de la logique de présentation de l’article anglais, j'ai mené plus loin mon idée d’amélioration pédagogique du RI. En restant conforme au schéma envisagé, je soumets dans la section suivante un projet de modification. Comme il s’agit d’un article encyclopédique, j’ai cherché à privilégier la compréhension élémentaire avant l’aridité, sans sacrifier l’exactitude. L’avis de non-mathématiciens serait utile pour indiquer si ce but est atteint. Fabrice Dury (discuter) 28 avril 2017 à 12:33 (CEST)

(suite)

« La notion de nombre premier provient du constat que tout nombre, à partir de 2, admet deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Cela résulte de l’identité n=1.n. Ce constat conduit à distinguer les nombres selon le nombre de leurs diviseurs et à donner les définitions suivantes :

• tout nombre qui n’admet que ces deux diviseurs est appelé nombre premier. Par exemple, 2, 3, 5 et 7 sont premiers .
• tout nombre qui en admet davantage est appelé nombre composé. Par exemple, 4, 6, 8 et 9 sont composés ; en effet : 4 =2.2, 6 =2.3, 8 =2.4 et 9 =3.3.

Étendant ces notions à l’ensemble des entiers naturels, on considère conventionnellement que les nombres 0 et 1 ne sont ni premiers ni composés, et on adopte la définition suivante : un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs (qui sont alors 1 et lui-même).

Les vingt-cinq nombres premiers inférieurs à 100 sont : (suite inchangée) »

Fabrice Dury (discuter) 28 avril 2017

Message transféré de la pdd de Anne

Les deux premiers alinéas du RI posent un problème logique, qui mériterait d’être réglé, surtout dans un article de mathématiques et dans un article accessible en principe à des non-spécialistes. En effet le deuxième alinéa implique que l’on adopte, sans que cela soit dit, une autre définition de nombre premier que celle du premier alinéa. Cette absence met en évidence le caractère arbitraire (pratique !) du choix, que j’avais essayé de faire reconnaître, sans y parvenir. Je suggère, par exemple la modification suivante du deuxième alinéa :

• Rappel de la version actuelle : Les nombres 0 et 1 ne sont ni premiers ni composés. Certains mathématiciens considéraient autrefois (jusqu'au 19^e siècle) 1 comme un nombre premier, mais durant le début du 20e siècle, un consensus exclut définitivement sa primalité.
• Version proposée : Les nombres 0 et 1 ne sont ni premiers ni composés. Autrefois (jusqu'au 19^e siècle), certains mathématiciens, préférant considérer 1 comme nombre premier, adoptaient une définition légèrement différente. Mais au début du 20^e siècle, un consensus se fit pour adopter la définition indiquée ci-dessus, qui exclut 1 de la liste.

De plus, je serais d’avis, par définition de RI (= résumé), d’en supprimer les notes. Cela impliquerait naturellement que les informations du RI soient bien exposées ou développées dans la suite de l’article. Cordialement. Fabrice Dury (discuter) 13 décembre 2018 à 12:08 (CET)

Je ne vois pas de problème logique (ça me semble clair que c'est d'une définition incluant 1 dont on parle), ni qu'elle soit arbitraire (voir Idéal premier par exemple, et je vois d'ailleurs que la source indiquée dans le RI dit clairement que ça ne l'est pas en première page) ; la version proposée n'est pas meilleure, l'usage du mot liste n'est pas heureux. La question est plutôt de la définition adoptée, formellement correcte, mais peu explicite et que la suite vise à justifier. Il me semble beaucoup plus simple d'adopter une définition qui exclut d'emblée 1 : celle que l'on a sur la version en: mais surtout dans de nombreux livres (les 3 premiers que j'ouvre, Demazure idem que en:, Hardy and Wright et Apostol, >1 et pas d'autre diviseur que 1 et lui-même, ce qui est encore plus explicite, je n'ai pas cherché plus loin). Ça me paraît alors inutile de disserter sur la non primalité de 1 en résumé introductif (à traiter dans un paragraphe historique plus précis, la question ne se pose pas pendant longtemps par exemple, la source indiquée permet de le rédiger). Quant à la non primalité de 0 (à écarter d'emblée également bien-sûr), là c'est carrément très décalé... Proz (discuter) 13 décembre 2018 à 16:34 (CET)

Par curiosité j'ai cherché dans la bibliographie indiquée la formulation de la définition adoptée par l'article : pour le moment je ne l'ai lue que sur la page web www.math93.com (qui a pu inspirer l'article a ses début, Os d'Ishango en particulier), et encore comme définition alternative. Proz (discuter) 13 décembre 2018 à 17:27 (CET)

 Proz : Le problème logique est le suivant : une fois admis que 1 n’est pas premier (conséquence directe de la définition du premier alinéa, soulignée au début du deuxième), on ne peut pas dire (sans une légère précaution rédactionnelle) qu’on peut « considérer » qu'il le soit.

Sur le reste de vos remarques, je suis d’accord, notamment pour traiter les cas de 1 et 0 comme accessoires. C’était précisément l’objet de mon ancienne proposition (28 avril 2017) figurant au début de cette section « (suite) ». Elle n’avait pas été retenue. Fabrice Dury (discuter) 13 décembre 2018 à 17:59 (CET)

(conflit d'édit) Proz, pour la def actuelle, peut-être que tu ne cherches pas au bon endroit. La définition « Un entier naturel premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs 1 et lui-même » est la définition qui avait cours au lycée au moins de 1972 jusqu'en 2012. Ca fait beaucoup et je peux te fournir au moins une demi-douzaine de références (je n'ai pas gardé tous mes manuels). Maintenant est-elle pertinente ? Je ne sais plus (trop influencée sans doute par cette conférence dont Anne nous a gentiment donné le lien). HB (discuter) 13 décembre 2018 à 18:12 (CET)

Merci. Ceci dit j'ai juste indiqué que ce n'est pas celle des premiers manuels, universitaires effectivement, que j'avais sous la main (ce ne sont pas les moins connus, mais ça ne prétend pas à une valeur universelle), et que de plus on ne la trouvait pas ou pas facilement dans la bibliographie de l'article. Malgré l'usage au lycée, il me semble quand même que la définition la plus explicite est la plus directement compréhensible, et que ce devrait être celle du RI. Une section "Définition" pourrait faire remarquer, entre autres, que l'actuelle est équivalente. Proz (discuter) 13 décembre 2018 à 18:42 (CET)

Oups, désolée, je n'avais vu qu'il y avait une discussion ici. J'ai juste mis l'affaire 1 et 0 plus bas dans l'intro, parce qu'en première ligne, cela me semblait prêter complètement à confusion. On peut aussi ne parler que d'entiers naturels positifs, voire d'entiers supérieurs à 1, dès le début, dans la définition, et éventuellement mettre un aparté sur 0 (et sur 1) plus bas dans l'article. Amha, ce serait même mieux, comme dit ci-dessus aussi. Je n'ai pas osé enlever la partie historique, mais c'est assez absurde d'aller parler d'endroits où il n'y a pas de nombres premiers (Babylone, Egypte), au lieu de parler éventuellement, après Euclide, de la factorisation, des preuves d'unicité et de primalité, etc. Mais c'est peu important. Amicalement, -- Cgolds (discuter) 13 décembre 2018 à 20:05 (CET)

Je suis d'accord pour Babylone et l'Egypte, ça m'a surpris aussi tout à l'heure. En ce qui concerne l'os d'Ishango, je n'ai pas l'impression que l'interprétation "nombres premiers" est prise très au sérieux. Si l'avis de Keller et standard, ça devrait faire l'objet d'une note tout au plus. Proz (discuter) 13 décembre 2018 à 20:47 (CET)

Portail maths

On pourrait l'enlever : le portail arithmétique et théorie des nombres est plus précis et suffisant. Anne, 7/7/2018

Tout-à-fait --Dfeldmann (discuter) 7 juillet 2018 à 11:55 (CEST)

Proposition d'anecdote pour la page d'accueil

Une proposition d'anecdote pour la section « Le Saviez-vous ? » de la page d'accueil, et basée sur cet article, a été proposée sur la page dédiée.
N'hésitez pas à apporter votre contribution sur la rédaction de l'anecdote, l'ajout de source dans l'article ou votre avis sur la proposition. La discussion est accessible ici.
Une fois l'anecdote acceptée ou refusée pour publication, la discussion est ensuite archivée là.
(ceci est un message automatique du bot GhosterBot le 05 décembre 2018 à 17:15, sans bot flag)

Proposition d'anecdote pour la page d'accueil

Une proposition d'anecdote pour la section « Le Saviez-vous ? » de la page d'accueil, et basée sur cet article, a été proposée sur la page dédiée.
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RI. Présentation de la liste des 25 premiers nombres premiers.

Proposition d’une modification mineure pour le résumé introductif : remplacer la liste sur une ligne par un tableau de ce genre (ici avec bordure) :

Nombres premiers inférieurs à 100	$p$	2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97
Rang	$\pi (p)$	1er	2e	3e	4e	5e	6e	7e	8e	9e	10e	11e	12e	13e	14e	15e	16e	17e	18e	19e	20e	21e	22e	23e	24e	25e

Fabrice Dury (discuter) 17 janvier 2020 à 18:43 (CET)

Pas favorable. Accoler explicitement à chacun de ces nombres son rang dans la liste croissante n’est pas utile: il se voit facilement sans ça. De plus l’introduction de pi(x) sans définition n’est pas appropriée. Finalement les valeurs de pi(x) sont des nombres, et pas des adjectifs numéraux ordinaux. Sapphorain (discuter) 17 janvier 2020 à 19:10 (CET)

• pas favorable non plus, cela va alourdir le Ri sans un réel bénéfice. Le tableau donnerai un caractère très officiel à une liste qui, pour l'instant, a seulement une valeur d'exemple. Je préfère la présentation discrète actuelle. HB (discuter) 17 janvier 2020 à 19:22 (CET)

Partiellement d’accord avec les deux premiers avis, et donc pas avec le troisième: il faudrait donc changer les rangs en nombres. Je le ferai plus tard, si tout le monde est d’accord, et si personne ne le fait avant moi… Amicalement, -- GLM (On en parle?) 17 janvier 2020 à 19:17 (HNE)

Voici une version révisée qui tient compte de plusieurs avis : allègement de la présentation ; pas de bordures ; pas de gras ; pas d’ordinaux, mais différenciation des nombres des deux lignes par la taille des polices. Cette version garde $\pi (p)$, qui donne un nom de fonction au rang, sans prétendre ici développer la fonction $\pi (x)$, mais en introduisant simplement, par la notation, cette notion (pour $x=p$) auprès de lecteurs non-mathématiciens.

Les 25 nombres premiers inférieurs à 100	$p$ :		2,	3,	5,	7,	11,	13,	17,	19,	23,	29,	31,	37,	41,	43,	47,	53,	59,	61,	67,	71,	73,	79,	83,	89,	97.
Rang	$\pi (p)$ :		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25

Même ainsi je ne vois pas non plus l'utilité dans un résumé introductif. Peut-être dans le corps de l'article ? Mais on ne peut pas dire que ce soit très instructif. Dans l'article détaillé fonction de compte des nombres premiers ? Ca aurait un sens en début d'article , dans une petite section d'exemples. Proz (discuter) 18 janvier 2020 à 17:00 (CET)

Quant moi, c’est très bien. -- GLM (On en parle?) 18 janvier 2020 à 16:48 (HNE)

Synthèse : la liste des 25 nombres premiers inférieurs à 10 reste inchangée dans le RI et je crée une section Raréfaction des nombres premiers. Fabrice Dury (discuter) 21 janvier 2020 à 14:51 (CET)

Riemann

(déplacé de ma page personnelle en changeant le titre. Sapphorain (discuter) 4 février 2020 à 10:59 (CET))

Merci pour la correction de l’article Nombre premier. Concernant le résultat annoncé de Riemann, je m'appuyais sur l’article Les Nombres premiers de Pierre Colmez cité en bibliographie. On y lit page 10 : « L’étape suivante est due à Riemann (1858) qui a étendu le domaine de définition de ζ à tout le plan complexe, et prouvé que, sous l’hypothèse de Riemann selon laquelle ζ ne s’annule pas sur le demi-plan Re(s) > 1, l’on a π(x) = Li(x) + O(x^1/2 log x), ce qui renforce grandement le théorème des nombres premiers. » Si cette attribution directe à Riemann est erronée, il faudrait reformuler ça dans l’article, surtout l’attribution du théorème à Riemann et sa date (1858 ou 1859). Cordialement. Fabrice Dury (discuter) 4 février 2020 à 09:25 (CET)

Il faut lire le mémoire de Riemann (qui a paru en 1859, pas en 1858), pas faire confiance à quelqu’un qui est suffisamment imprécis pour écrire que Riemann a étendu le domaine de définition de zêta à tout le plan complexe. La formule qui livre le théorème est au bas de la page 142:[3]

Comme le précise d'autre part Landau, , « Riemann stellte nun ohne strengen Beweis für f(x) folgende identische Gleichung » (voir p. 36 du Handbuch [4]). Sapphorain (discuter) 4 février 2020 à 10:59 (CET)

D'autre part, Pierre Colmez (qui est quand même un des experts français de ces questions) mélange (probablement pour des raisons de vulgarisation) plusieurs résultats, dont le théorème des nombres premiers (qui demande seulement que zeta ne s'annule pas sur la droite Re(s)=1) ; sa phrase en devient peu claire (et sa remarque sur le prolongement à tout le plan complexe est du même tonneau), et je recommande plutôt, en effet, la lecture des textes originaux et de Landau, Tenenbaum, ou, de Colmez, son Éléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres).--Dfeldmann (discuter) 4 février 2020 à 12:00 (CET)

En effet, la question de la vulgarisation est essentielle, en tout cas sur wikipédia. D’un côté, les rédacteurs doivent satisfaire à une exigence d’exactitude, surtout en mathématiques, et je reconnais que le choix de Gomez n’était pas le meilleur (à cet endroit de l’article). Comme j'ai mis la traduction de l’article de Riemann sur Wikisource en 2012 et que j’ai complété l’article wikipédia sur Edmund Landau avec la liste de ses œuvres et quelques liens vers certaines d’entre elles, je suis en mesure de revenir facilement à ces sources primaires. J’ai utilisé aussi W&F Ellison, Gelfond/Linnik, J.-P. Delahaye, etc., suivant en cela les préconisation de l’encyclopédie en matière de sources secondaires. Mais, d’un autre côté, les exigences de vulgarisation impliquent parfois de légères simplifications : par exemple, le choix éditorial (à l’instar de Gomez) de ne pas mentionner le pôle 1 au moment où on évoque pour la première fois l’extension de ζ à tout le plan complexe pourrait être l’une d’elles. Fabrice Dury (discuter) 4 février 2020 à 12:35 (CET)

En principe, on ne doit pas vulgariser un sujet qu’on ne domine pas soi-même… (Et surtout pas utiliser pour cela un ouvrage de vulgarisation intermédiaire).

…A part ça, j’ai été un peu optimiste, et influencé par l’affirmation péremptoire de Colmez (qui n’a sans doute jamais lu l’article de Riemann). En fait il n’est pas du tout ni évident ni facile de déduire de la formule de Riemann le théorème qui lui est faussement attribué. Le théorème est en réalité dû à N. Helge von Koch (Acta Mathematica 24 (1901), 159-182) [5]. Helge von Koch obtient d’abord une erreur de taille x^{1/2+epsilon}, puis remarque dans la « Note additionnelle » , p.182 qu’on peut remplacer x^{epsilon} par log x.Sapphorain (discuter) 4 février 2020 à 12:48 (CET)

… Sur les compétences des vulgarisateurs, il ne faut pas mettre la barre trop haut. Admettons qu’ils ont un rôle prioritaire de passeur ou d’intermédiaire et un rôle secondaire de spécialiste aguerri des sujets. Ils peuvent améliorer l’agrément et la lisibilité des articles wikipédia, grâce à leur dialogue avec les spécialistes et à leur regard proche de celui des lecteurs. Je citerais l’abbé Moreux, Roger Caratini, Jamy Gourmaud, etc. Mais, comme spécialiste, vous êtes mieux placé pour proposer la correction que j’évoquais au début (« il faudrait reformuler ça dans l’article… ». Merci. Fabrice Dury (discuter) 4 février 2020 à 13:19 (CET)

"6 Répartition des nombres premiers"

Cette section gagnerait à être réécrite, en français, et clarifiée: notamment, les ensembles cités incluent-ils ou non 0 et les nombres négatifs; ce n’est pas toujours clair. Amicalement, -- GLM (On en parle?) 4 janvier 2021 à 22:15 (HNE)

Je ne vois vraiment pas ce que tu reproches à cette section (à part bien sûr la récente résurgence d'une vieille verrue, mais elle a été revertée à nouveau, et on peut se passer d'en rediscuter : cf. #Demande d'avis sur un diff / une suite). Anne, 5/1/2021

Merci Anne Bauval En 2011, j’ignorais l’existence de Wikipédis: je n’avais donc pas vu la "vieille verrue". Tout-à-fait d’accord, pas la peine d’en rediscuter! Amicalement, -- GLM (On en parle?) 5 janvier 2021 à 19:27 (HNE)

Fake ref pour le record de décembre 2021 ?

Même problème que dans Discussion:Méga-nombre premier : je ne trouve sur la page https://primes.utm.edu/primes/lists/short.txt aucune mention de l'affirmation qu'elle est censée sourcer : « En décembre 2021, 1 165 méga-nombres premiers étaient connus ». Anne, 7/12/2021

Pas vraiment une fake ref mais, à mon avis, affirmation TI. La ref citée est un tableau mis à jour en continu donnant une liste de grands nombres premiers, parmi lesquels il faut sélectionner ceux dont le nombre de digits est supérieur ou égale à 1 million. Une manip perso me fait aboutir à une liste de 1167 nombres (avec probablement quelques erreurs dues au formatage de liste dans le document .txt) Bref à mon avis, c'est typiquement le genre d'affirmation que l'on ne peut pas mettre sur WP car c'est sourcé à partir d'une liste brute que l'on est obligé de manipuler. De plus, c'est une information qui va passer son temps à changer et qui n'a donc guère de pertinence. HB (discuter) 7 décembre 2021 à 10:59 (CET)

premiers jumeaux consécutifs ?

A-t-on un nom pour des nombres premiers "jumeaux consécutifs" tels que 279, 281, 283 (trois impairs de suite) ou 287, 289, 291, 293 (quatre impairs de suite) ? Il est clair qu'on n'aura pas cinq impairs de suite premiers car on tomberait sur un multiple de cinq. (Cherchant à décomposer les millésimes des quelques années à venir, j'ai remarqué 2027 et 2029 premiers jumeaux). Francool50 (discuter) 2 janvier 2022 à 19:07 (CET)

Heu… sur trois nombres impairs consécutifs, il y en a toujours un qui est divisible par 3 (279 et 291 dans vos exemples)… En revanche, on connait plein d'exemples de la configuration 11,13,17,19 (deux paires de jumeaux séparées par un multiple de 5), appelés quadruplets premiers —Dfeldmann (discuter) 2 janvier 2022 à 19:34 (CET)

Effectivement. Merci. Francool50 (discuter) 2 janvier 2022 à 20:42 (CET)

voir aussi triplet premier. Proz (discuter) 2 janvier 2022 à 21:22 (CET)

Répartition selon le dernier chiffre.

Je sais qu'une page de discussion ne doit pas être un forum mais je me dis que, dans un domaine aussi étudié que celui des nombres premiers, une question que je me pose a déjà dû être étudiée par des personnes autrement plus savantes.

Sait-on s'il y a autant de nombres premiers se terminant par 3 que de nombres premiers se terminant par 7 ou que de nombres premiers se terminant par 9? Ou bien y a-t-il une prédominance d'une des trois formes?

Si quelqu'un a la réponse (équirépartition, prédominance ou question ouverte) ce serait bien de la faire figurer dans l'article. HB (discuter) 11 janvier 2022 à 08:37 (CET)

Bonjour HB Ben oui, et c'est une question plutôt célèbre, résolue par Dirichlet : les nombres premiers se terminant par 7, ce sont les nombres de la forme 10 n+7, donc ceux d'une suite arithmétique. La réponse est donc le Théorème de la progression arithmétique , qui précise qu'il y a équirépartition, et que le nombre de nombres premiers de la forme 10 k +7 inférieurs à N est équivalent à N/(4 ln N) (puisqu'il y a quatre classes : ne pas oublier ceux se terminant par 1) ; pour en savoir encore plus, voir l'article Biais de Tchebychev (où l'on explique plus précisément que les nombres de la forme 10k +1 ou 10 k + 9 sont plus nombreux que les autres (du moins, il me semble quec'est démontré dans ce cas là, mais le cas général n'est pas encore démontré sans l'hypothèse de Riemann). Ce n'est pas dans l'article ? Je le rajoute immédiatement.--Dfeldmann (discuter) 11 janvier 2022 à 09:49 (CET)

Ah si! C'est bien dans l'article (on le trouve avec le mot clé équirépartition) mais dans une section inattendue (que je n'avais fait que survoler : raréfaction des nombres premiers). Je te laisse décider si cela vaut le coup ou non de le déplacer de la section pour en faire une section à part (sous la section infinité des nombres premiers par ex.). HB (discuter) 11 janvier 2022 à 10:16 (CET)

Marcel Pagnol

Bonjour, un chapitre sur la conjecture de Marcel Pagnol (voir à cet article, à la fin), serait-il opportun, même si cette conjecture s'avère fausse ? Michel Michel Verjus (discuter) 12 avril 2022 à 07:21 (CEST)

Bonjour, vraiment pas : cette « conjecture » ne mérite même pas ce nom. Anne (discuter) 12 avril 2022 à 10:02 (CEST)

Oh, comme application de l’effet Dunning-Kruger, pourquoi pas ? Dfeldmann (discuter) 12 avril 2022 à 10:21 (CEST)

On peut facilement trouver une infinité de contre-exemples. Avec N=n+2, n + (n+2) + n(n+2) s’écrit N^2-2, qui est par exemple divisible par 7 chaque fois que N est congru à ±3 modulo 7. En général N^2-2 sera divisible infiniment souvent par chaque nombre premier p pour lequel 2 est un reste quadratique, c’est-à-dire exactement par chaque nombre premier p congru à ±1 modulo 8 (ainsi essentiellement un nombre premier sur deux divise une infinité des n + (n+2) + n(n+2)!) --Sapphorain (discuter) 12 avril 2022 à 13:39 (CEST)

Certes… Mais tout cela figure avec plein de détails supplémentaires dans divers articles de notre belle encyclopédie : Formules pour les nombres premiers pour des résultats généraux, Nombre chanceux d'Euler pour les polynômes de degré 2, etc. Et quoi qu’il en soit, c’est vraiment un bon exemple du danger qu’il y a pour les amateurs à s’attaquer à des problèmes qui résistent aux professionnels, sans même soupçonner que la bonne volonté est tout à fait hors-sujet dans ce cas. Dfeldmann (discuter) 12 avril 2022 à 15:29 (CEST)

Le danger Dunning-Kruger, d'accord, mais ne dissuadons pas des amateurs de se confronter à des problèmes, fussent-ils hors de leur portée. En maths comme dans n'importe quelle discipline d'ailleurs : l'amateurisme n'est pas mal en soi, et commettre une erreur est généralement sans gravité, c'est refuser de la reconnaître après explication qui peut devenir problématique. Grasyop ^✉ 12 avril 2022 à 15:52 (CEST)

Je ne suis absolument pas d'accord : personne ne songerait à expliquer à des amateurs que la voie appelée Silence a certes jusqu'à présent résisté aux meilleurs, mais pourquoi ne pas la tenter. Mais comme disait Coluche, paraphrasant Pascal : « L'intelligence, c'est la chose la mieux répartie chez les hommes parce que, de quelque quantité qu'ils en soient pourvus, ils ont toujours l'impression d'en avoir assez, vu que c'est avec ça qu'ils jugent. », et donc bien des gens se croient capables de critiquer les incohérences de la relativité ou de la physique quantique, ou de démontrer le grand théorème de Fermat... Bref, ne pas envoyer les novices au casse-pipe, et à tout le moins les avertir plutôt deux fois qu'une des pièges qu'ils vont rencontrer.--Dfeldmann (discuter) 12 avril 2022 à 16:31 (CEST)

On brode sur la publication d'un inédit des années après sa mort, rien n'indique qu'il aurait voulu que ce soit publié, ni même qu'il se soit illusionné longtemps. Mais peut-être avait-il fait des déclarations publiques ? Il faudrait au minimum en savoir un peu plus avant d'extrapoler (Dunning-Kruger). Proz (discuter) 12 avril 2022 à 17:02 (CEST)

Oui bien d'accord avec Grasyop - Michel. En créant ce chapitre sur Pagnol je ne pensais pas initier pareille discussion ! 78.122.110.187 (discuter) 6 mai 2022 à 07:45 (CEST)

Je reviens sur la question. C'est acquis, l'hypothèse de Pagnol est fausse. On peut cependant établir une sorte de parallèle entre :

les nombres de Mersenne, 2 puissance x - 1, DONT CERTAINS SONT PREMIERS ;

et les nombres de Pagnol, x + (x+2) + x(x+2), DONT CERTAINS SONT PREMIERS (x étant impair).

Les nombres de Pagnol, c'est facile à vérifier, sont en plus grande fréquence.

La question est de savoir si les nombres de Pagnol PREMIERS sont en nombre infini. Ça pourrait être une base intéressante pour déterminer des nombres premiers de plus en plus grands, comme on le fait actuellement avec les nombres de Mersenne.... Michel. 78.115.183.84 (discuter) 24 mai 2022 à 07:45 (CEST)

 Michel Verjus : Et lire les articles auxquels on renvoie, c’est interdit ? Je t’assure que Formules pour les nombres premiers contient plein de choses passionnantes (dont un petit passage sur les polynômes du second degré, comme celui-ci ; si tu veux vraiment en savoir plus long et plus précis, jette un œil sur l’article Conjecture de Bateman-Horn. Dfeldmann (discuter) 2 juillet 2022 à 10:53 (CEST)

Suite autre pour construire les nombres premiers

"1 1 1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 6 6 2 6 4"...
  "1 1 1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 6 6 2 6 4"...
    "1 1 1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 6 6 2 6 4"...
      "1 1 1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 6 6 2 6 4 2"
        "1 1 1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 6 6 2 6 4"

Somme

 1 2 3 5 7... N738139 (discuter) 1 juillet 2022 à 22:14 (CEST)

Quelqu'un connaît le nom de cette suite ? N738139 (discuter) 1 juillet 2022 à 22:16 (CEST)

Écart entre nombres premiers Anne (discuter) 1 juillet 2022 à 23:10 (CEST)

Et elle a une logique ? ~~ 178.197.209.12 (discuter) 1 juillet 2022 à 23:18 (CEST)

Non : Formules pour les nombres premiers Anne (discuter) 2 juillet 2022 à 10:00 (CEST)

La pousuite de cette suite sur tableur donne :1 1 1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 6 6 2 6 4 2 6 4 6 8 4 2 4 3 5 15 6 8 6 12 6 8 10 10 8 12

bref, il semble que sa construction ne suit pas de logique autre que celle de la différence entre les nombres premiers. En clair, il n'y a pas d'information ! IL me semble qu'il faut déjà connaître ces derniers pour former la suite. 2A01:CB00:81C1:8000:D13C:633E:3C64:C378 (discuter) 30 juin 2024 à 12:20 (CEST)

Désolé, une erreur c'est glissé :

1 1 1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 6 6 2 6 4 2 6 4 6 8 4 2 4 4 2 14 4 6 2 10 2 6 6 4 6 6 2 2A01:CB00:81C1:8000:D13C:633E:3C64:C378 (discuter) 30 juin 2024 à 12:32 (CEST)

Historique des nombres premiers tous connus ou dénombrés en dessous d'un seuil

Quid en 2022 ? Car le tableau s'arrête en 2010 :/ personne ne sait tout sauf wikipédia (discuter) 10 octobre 2022 à 23:00 (CEST)

Nombres cousins, etc.

Ne pourrait-on pas rajouter ici (dans 'nombres premiers particuliers') les nombres premiers cousins, dont la différence vaut 4 au lieu de 2 pour les nombres premiers jumeaux, et même les nombres premiers sexy, dont la différence vaut 6 ? Wikiabcdefghijklmnop (discuter) 4 septembre 2023 à 19:44 (CEST)

Le problème est "ou s'arrêter?" dans la présentation de ces nombres premiers particuliers (jumeau oui, cousin? sexy, triplet? quadruplet, ... bon, chanceux, fortuné? ...). Donner l'élément le plus connu de cette famille de paires de nombres premiers me semble suffisant. Surtout que ces nombres premiers particuliers sont déjà présents dans la palette Nombres premiers" en bas de l'article. HB (discuter) 4 septembre 2023 à 20:10 (CEST)