Alessandro Verre commence le cyclisme à onze ans au sein de la Società Grumeto Nova. Il combine le vélo avec des études en électronique à Potenza[1].
Au début de sa carrière, il court dans plusieurs disciplines. En 2014, il remporte le Giro d'Italia Ciclocross version esordienti (moins de 15 ans). En 2017, il est sacré champion d'Italie de VTT cross-country et de cyclo-cross, en catégorie allievi (moins de 17 ans)[2]. Parmi les juniors (moins de 19 ans), il confirme en 2019 avec douze victoires et dix podiums, dont deux dans des courses internationales sur route[3].
En 2020, il rejoint l'équipe continentale Casillo-Petroli Firenze-Hopplà, pour ses débuts espoirs (moins de 23 ans)[4].