Ulamin spiraali

Ulamin spiraali (toisinaan alkulukuspiraali) on matemaattinen kuvio, jonka löysi puolalaismatemaatikko Stanisław Marcin Ulam vuonna 1963. Ulamin spiraali kiertyy neliön ympärille alkulukujen muodostaessa vinoviivoja ja niiden taipumuksesta pakkautua tietyille viivoille. Tarpeeksi kaukana keskustasta myös vaaka- ja pystyviivat ovat näkyvissä. Ulamin spiraalista on tehty erilaisia variaatioita, kuten Sacksin spiraali.

Spiraalin kehitys

Spiraalin keskustassa on luku 1, jonka ympärille positiiviset luonnolliset luvut kiertyvät järjestyksessä:

Kun spiraalin alkuluvut jätetään paikalleen ja poistetaan muut luvut, huomataan että alkuluvut muodostavat vinoja suoria:

Alkuluvut ovat numeroa 2 lukuun ottamatta jaottomia, joten alkulukujen muodostamat suorat eivät ole yllätys, vuorottelevathan jaolliset ja jaottomat luvut Ulamin spiraalissa. Yllättävää sen sijaan on alkulukujen taipumus pakkautua joillekin suorille enemmän kuin toisille.

On huomattu, että alkuluvut muodostavat vinoviivoja silloinkin, kun keskustassa oleva luku ei ole 1. Tämä viittaa siihen, että kokonaislukujen vakioita a ja b on suuri määrä. Yhtälö

$4n^{2}+bn+c\,\!$

antaakin odottamattoman paljon alkulukuja sitä mukaa, kun n kasvaa.

Sacksin spiraali

Sacksin spiraali alkuluvut tummennettuina

Insinööri Robert Sacks teki Ulamin spiraalista variaation, joka eroaa Ulamin spiraalista kolmella tapaa:

1. Spiraalin keskustassa on 1:n sijaan nolla,
   
2. Sacksin kuvio perustuu Arkhimedeen spiraaliin, ei neliöön, ja
   
3. Täydelliset neliöjuuret (= luvun x neliö on positiivinen kokonaisluku, siis 1, 4, 9, 16, 25 jne.) muodostavat spiraalin

oikealle puolelle suoran rivin.

Mikäli spiraalia jatkaa pidemmälle (esimerkiksi kymmeniin tuhansiin) ja merkitsee alkuluvut muita lukuuja tummemmalla, kaukaa katsottua huomaa, että alkuluvuilla on taipumus kasautua muodostaen kaaret, joiden päät jatkavat spiraalin ulkopuolelle ylä- ja alavasemmalle, kuten viereisessä kuvassa. Esimerkiksi yksi näistä kaarista sisältää alkuluvut polynomista x² + n + 41, Leonhard Eulerin kehittämä kuuluisa, alkulukurikas polynomi.

Ulamin spiraali ja Arthur C. Clarke

Seitsemän vuotta ennen Ulamin löytöä, brittiläinen kirjailija Arthur C. Clarke hahmotteli alkulukuihin perustuvan kuvion romaanissaan Kadonnut menneisyys (The City and the Stars, 1956). Tämä kuvio tuli myöhemmin kantamaan nimeä Ulamin spiraali, sillä Clarke itse ei koskaan kokeillut ajatustaan käytännössä.

Aiheesta muualla

• Ulamin spiraalin epävirallinen kotisivu (englanniksi)
• Ulamin spiraali MathWorldissä (englanniksi)
• Robert Sacks - Ulamin spiraalin variaatio (englanniksi)
• Richard Buckminster Fuller - Ulamin spiraalin variaationa kolmio (englanniksi)
  
• Ulamin spiraalin kehitys YouTube-animaationa