Ero sivun ”Ulamin spiraali” versioiden välillä

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Selaa historiaa interaktiivisesti
[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
← Vanhempi muutosUudempi muutos →
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
VisuaalinenWikiteksti
<nowiki>eeeƒeeee</nowiki>Ēeeeee→Spiraalin kehitys: jiohggggggggggggpuig9z7eredeyeriu65eueueu5u658ue5⅞ue
p Käyttäjän 85.77.8.46 (keskustelu) muokkaukset kumottiin ja sivu palautettiin viimeisimpään käyttäjän ArthurBot tekemään versioon.
Rivi 1: Rivi 1:
'''Ulamin spiraali''' (toisinaan ''alkulukuspiraali'') on [[Matematiikka|matemaattinen]] kuvio, jonka löysi puolalaismatemaatikko [[Stanisław Marcin Ulam]] vuonna 1963. Ulamin [[spiraali]] kiertyy neliön ympärille [[alkuluku]]jen muodostaessa vinoviivoja ja niiden taipumuksesta pakkautua tietyille viivoille. Tarpeeksi kaukana keskustasta myös vaaka- ja pystyviivat ovat näkyvissä. Ulamin spiraalista on tehty erilaisia variaatioita, kuten Sacksin spiraali.
'''Ulamin spiraali''' (toisinaan ''alkulukuspiraali'') on [[Matematiikka|matemaattinen]] kuvio, jonka löysi puolalaismatemaatikko [[Stanisław Marcin Ulam]] vuonna 1963. Ulamin [[spiraali]] kiertyy neliön ympärille [[alkuluku]]jen muodostaessa vinoviivoja ja niiden taipumuksesta pakkautua tietyille viivoille. Tarpeeksi kaukana keskustasta myös vaaka- ja pystyviivat ovat näkyvissä. Ulamin spiraalista on tehty erilaisia variaatioita, kuten Sacksin spiraali.


== Spiraalin kehitys ==
== Spira5656ue5alin k56eeu5hieeeeeeeeetys ==
56u
⚫
Spiraalin keskusuuueu56e65e655utassa on 65e, jonka ympärille positiiviset [[luonn6u56olliset luvtuut]] kiertyvät järjestyksessä:<br>
u5u56u56u5e6u
[[6-Spi66ue5rale1.5|eeeeeeuue65eeeeeeeeeu5c6uente6u5eeeeeeeeeer|30u56eue56uue5e0pxeu56eu56u|]]
u
⚫
Kun spiraalin alkuluvut jätetään paikalleen ja po65u656u65estet56aan muut luvut, huomataan että alkuluvut muodostavat vinoja suoria:<br>
u65e
⚫
[[Tiedosto:Ulam-Spirale2.png|center|300px|]]eur
Al56eeu56u56ukuluvut ovat numeroa 2 lukuun otu5etamatu6uu5eu56uta parue5u5ueomia, jotre574ew4t3teen alkulukujen muodostamat suorat eivät65u6 ol5ue ylulätys, v556uoro67yiyeu56ttelu65uevathan 6enemmu65uän kuin tue5oisille.
56u
[[Tied56os5u56uu56uto:Ulam 1.png|i6i76ied67i6c56u56u5eue56enter|300px|]]
6u
⚫
On huomattu, että alkuluvut mu6e56u5uuodostavat vinoviivoja silloinkin, kun keskustassa oleva luku ei ole 1. Tämä viittaa siihen, että kokonaislukujen vakioita ''a'' ja ''b'' on suuri määrä. Yhtälö<br>


⚫
Spiraalin keskustassa on luku 1, jonka ympärille positiiviset [[luonnolliset luvut]] kiertyvät järjestyksessä:<br>
⚫
:<math>u65u56u56u56u4n^2+bn+c\,\!u6u56u65</math>

[[Tiedosto:Ulam-Spirale1.png|center|300px|]]

⚫
Kun spiraalin alkuluvut jätetään paikalleen ja poistetaan muut luvut, huomataan että alkuluvut muodostavat vinoja suoria:<br>

⚫
[[Tiedosto:Ulam-Spirale2.png|center|300px|]]

Alkuluvut ovat numeroa 2 lukuun ottamatta parittomia, joten alkulukujen muodostamat suorat eivät ole yllätys, vuorottelevathan jaolliset ja jaottomat luvut Ulamin spiraalissa. Yllättävää sen sijaan on alkulukujen taipumus pakkautua joillekin suorille enemmän kuin toisille.

[[Tiedosto:Ulam 1.png|center|300px|]]

⚫
On huomattu, että alkuluvut muodostavat vinoviivoja silloinkin, kun keskustassa oleva luku ei ole 1. Tämä viittaa siihen, että kokonaislukujen vakioita ''a'' ja ''b'' on suuri määrä. Yhtälö<br>

⚫
:<math>4n^2+bn+c\,\!</math>


antaakin odottamattoman paljon alkulukuja sitä mukaa, kun ''n'' kasvaa.<ref>{{Verkkoviite | Osoite = http://www.ulamspiral.com/ | Nimeke = The Ulam Spiral | Tekijä = | Tiedostomuoto = | Selite = | Julkaisu = | Ajankohta = | Julkaisupaikka = | Julkaisija = | Viitattu = 20.1.2009 | Kieli = {{en}} }}</ref><ref>{{Verkkoviite | Osoite = http://www.thescienceforum.com/viewtopic.php?p=113724 | Nimeke = The Science Forum | Tekijä = | Tiedostomuoto = | Selite = | Julkaisu = | Ajankohta = | Julkaisupaikka = | Julkaisija= | Viitattu = 20.1.2009 | Kieli = {{en}} }}</ref>
antaakin odottamattoman paljon alkulukuja sitä mukaa, kun ''n'' kasvaa.<ref>{{Verkkoviite | Osoite = http://www.ulamspiral.com/ | Nimeke = The Ulam Spiral | Tekijä = | Tiedostomuoto = | Selite = | Julkaisu = | Ajankohta = | Julkaisupaikka = | Julkaisija = | Viitattu = 20.1.2009 | Kieli = {{en}} }}</ref><ref>{{Verkkoviite | Osoite = http://www.thescienceforum.com/viewtopic.php?p=113724 | Nimeke = The Science Forum | Tekijä = | Tiedostomuoto = | Selite = | Julkaisu = | Ajankohta = | Julkaisupaikka = | Julkaisija= | Viitattu = 20.1.2009 | Kieli = {{en}} }}</ref>

Versio 8. syyskuuta 2011 kello 15.25

Ulamin spiraali (toisinaan alkulukuspiraali) on matemaattinen kuvio, jonka löysi puolalaismatemaatikko Stanisław Marcin Ulam vuonna 1963. Ulamin spiraali kiertyy neliön ympärille alkulukujen muodostaessa vinoviivoja ja niiden taipumuksesta pakkautua tietyille viivoille. Tarpeeksi kaukana keskustasta myös vaaka- ja pystyviivat ovat näkyvissä. Ulamin spiraalista on tehty erilaisia variaatioita, kuten Sacksin spiraali.

Spiraalin kehitys

Spiraalin keskustassa on luku 1, jonka ympärille positiiviset luonnolliset luvut kiertyvät järjestyksessä:

Kun spiraalin alkuluvut jätetään paikalleen ja poistetaan muut luvut, huomataan että alkuluvut muodostavat vinoja suoria:

Alkuluvut ovat numeroa 2 lukuun ottamatta parittomia, joten alkulukujen muodostamat suorat eivät ole yllätys, vuorottelevathan jaolliset ja jaottomat luvut Ulamin spiraalissa. Yllättävää sen sijaan on alkulukujen taipumus pakkautua joillekin suorille enemmän kuin toisille.

On huomattu, että alkuluvut muodostavat vinoviivoja silloinkin, kun keskustassa oleva luku ei ole 1. Tämä viittaa siihen, että kokonaislukujen vakioita a ja b on suuri määrä. Yhtälö

antaakin odottamattoman paljon alkulukuja sitä mukaa, kun n kasvaa.[1][2]

Sacksin spiraali

Sacksin spiraali alkuluvut tummennettuina.

Insinööri Robert Sacks teki Ulamin spiraalista variaation, joka eroaa Ulamin spiraalista kolmella tapaa:

  1. Spiraalin keskustassa on 1:n sijaan nolla,
  2. Sacksin kuvio perustuu Arkhimedeen spiraaliin, ei neliöön, ja
  3. Täydelliset neliöjuuret (= luvun x neliö on positiivinen kokonaisluku, siis 1, 4, 9, 16, 25 jne.) muodostavat spiraalin oikealle puolelle suoran rivin.

Mikäli spiraalia jatkaa pidemmälle (esimerkiksi kymmeniin tuhansiin) ja merkitsee alkuluvut muita lukuja tummemmalla, kaukaa katsottua huomaa, että alkuluvuilla on taipumus kasautua muodostaen kaaret, joiden päät jatkavat spiraalin ulkopuolelle ylä- ja alavasemmalle, kuten viereisessä kuvassa. Esimerkiksi yksi näistä kaarista sisältää alkuluvut polynomista x2 + n + 41, Leonhard Eulerin kehittämä kuuluisa, alkulukurikas polynomi.[3][4]

Ulamin spiraali ja Arthur C. Clarke

Seitsemän vuotta ennen Ulamin löytöä, brittiläinen kirjailija Arthur C. Clarke hahmotteli alkulukuihin perustuvan kuvion romaanissaan Kadonnut menneisyys (The City and the Stars, 1956). Tämä kuvio tuli myöhemmin kantamaan nimeä Ulamin spiraali, sillä Clarke itse ei koskaan kokeillut ajatustaan käytännössä.

Lähteet

  1. ↑ The Ulam Spiral ulamspiral.com. Viitattu 20.1.2009. (englanniksi)
  2. ↑ The Science Forum thescienceforum.com. Viitattu 20.1.2009. (englanniksi)
  3. ↑ Robert Sacks' Spiral numberspiral.com. Viitattu 20.1.2009. (englanniksi)
  4. ↑ Artikkeleita Sacksin spiraalista naturalnumbers.org. Viitattu 20.1.2009. (englanniksi)

Aiheesta muualla

Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/w/index.php?title=Ulamin_spiraali&oldid=10648903”