در حساب دیفرانسیل برای گرفتن مشتق از یک تابع باید از یک سری قواعد پیروی کنیم. این قواعد به صورت‌های زیر طبقه‌بندی و خلاصه می‌شود.
باید دقت شود که هر قاعده نتیجه‌ای است بدیهی و قابل اثبات که از طریق رابطهٔ اصلی مشتق‌گیری اثبات و بیان می‌شود، و از هر تابع دلخواه می‌توان توسط آن رابطه به‌طور مستقیم مشتق گرفت. این قواعد تنها برای سهولت و سرعت بیشتر در عمل مشتق‌گیری می‌باشند.
[ ویرایش ] برای هر تابع دلخواه f و g و هر عدد حقیقی a داریم:
(
a
f
)
′
=
a
f
′
{\displaystyle (af)'=af'\,}
(
f
+
g
)
′
=
f
′
+
g
′
{\displaystyle (f+g)'=f'+g'\,}
(
f
−
g
)
′
=
f
′
−
g
′
.
{\displaystyle (f-g)'=f'-g'.\,}
اگر برای هر دو تابع دلخواه f و g تعریف شود h(x) = f(x) g(x)، برای مشتق تابع h قاعدهٔ زیر، که به قاعده ضرب مشهور است، تعریف می‌شود:
h
′
(
x
)
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\,}
مشتق تابع h که برای هر f و g دلخواهی به صورت h (x ) = f (g (x )) تعریف می‌شود، به شکل زیر است:
h
′
(
x
)
=
f
′
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle h'(x)=f'(g(x))g'(x).\,}
این قاعده مشهور به قاعده زنجیری یا قاعده مرکب است.
اگر تابع g به صورت تابع وارون تابع f تعریف شود، قاعدهٔ زیر درست است:
g
′
=
1
f
′
∘
g
.
{\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}.}
این قاعده برای هر n غیر صحیح نیز تعمیم می‌یابد. به صورتی که برای هر n عضو اعداد حقیقی این قاعده پابرجاست.
اگر تابع h به صورت خارج قسمت تقسیم دو تابع f و g برهم تعریف شود، برای مشتق آن داریم:
(
f
g
)
′
=
f
′
g
−
g
′
f
g
2
{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad }
دقت شود که مقدار تابع g نباید مساوی ۰ شود.
[ ویرایش ] این قاعده برای توابع نمایی به صورت زیر برقرار است:
d
d
x
(
c
a
x
)
=
c
a
x
ln
c
⋅
a
,
c
>
0
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={c^{ax}\ln c\cdot a},\qquad c>0}
دقت شود که c لزوماً نمی‌بایست که بزرگتر از ۰ باشد. اما اگر مقدار c کمتر از ۰ باشد، مشتق این تابع یک عدد مختلط می‌شود.
مشتق‌های دیگر برای توابع مشهور توابع لگاریتمی و توابع نمایی به صورت زیر است:
d
d
x
(
e
x
)
=
e
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(e^{x}\right)=e^{x}}
d
d
x
(
log
c
x
)
=
1
x
ln
c
,
c
>
0
,
c
≠
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\log _{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1}
d
d
x
(
ln
x
)
=
1
x
,
x
>
0
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0}
d
d
x
(
ln
|
x
|
)
=
1
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x}}
d
d
x
(
x
x
)
=
x
x
(
1
+
ln
x
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).}
تقریباً مشتق تمامی توابع مثلثاتی مشهور و پر کاربرد به شکل زیر است:
(
sin
x
)
′
=
cos
x
{\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,}
(
arcsin
x
)
′
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}
(
cos
x
)
′
=
−
sin
x
{\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\,}
(
arccos
x
)
′
=
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\arccos x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}
(
tan
x
)
′
=
sec
2
x
=
1
cos
2
x
=
1
+
tan
2
x
{\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x\,}
(
arctan
x
)
′
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle (\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}\,}
(
sec
x
)
′
=
sec
x
tan
x
{\displaystyle (\sec x)'=\sec x\tan x\,}
(
arcsec
x
)
′
=
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}
(
csc
x
)
′
=
−
csc
x
cot
x
{\displaystyle (\csc x)'=-\csc x\cot x\,}
(
arccsc
x
)
′
=
−
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}
(
cot
x
)
′
=
−
csc
2
x
=
−
1
sin
2
x
=
−
(
1
+
cot
2
x
)
{\displaystyle (\cot x)'=-\csc ^{2}x={-1 \over \sin ^{2}x}=-(1+\cot ^{2}x)\,}
(
arccot
x
)
′
=
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'=-{1 \over 1+x^{2}}\,}
مشتق یکسری از توابع هذلولوی به صورت زیر می‌باشد:
(
sinh
x
)
′
=
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle (\sinh x)'=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
(
arsinh
x
)
′
=
1
x
2
+
1
{\displaystyle (\operatorname {arsinh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}
(
cosh
x
)
′
=
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle (\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
(
arcosh
x
)
′
=
1
x
2
−
1
{\displaystyle (\operatorname {arcosh} \,x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
(
tanh
x
)
′
=
sech
2
x
{\displaystyle (\tanh x)'={\operatorname {sech} ^{2}\,x}}
(
artanh
x
)
′
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\operatorname {artanh} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}}
(
sech
x
)
′
=
−
tanh
x
sech
x
{\displaystyle (\operatorname {sech} \,x)'=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x}
(
arsech
x
)
′
=
−
1
x
1
−
x
2
{\displaystyle (\operatorname {arsech} \,x)'=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}
(
csch
x
)
′
=
−
coth
x
csch
x
{\displaystyle (\operatorname {csch} \,x)'=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x}
(
arcsch
x
)
′
=
−
1
|
x
|
1
+
x
2
{\displaystyle (\operatorname {arcsch} \,x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}
(
coth
x
)
′
=
−
csch
2
x
{\displaystyle (\operatorname {coth} \,x)'=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x}
(
arcoth
x
)
′
=
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\operatorname {arcoth} \,x)'=-{1 \over 1-x^{2}}}
این قواعد در بسیاری از کتاب‌ها و سایت‌های گوناگون وجود دارد. در این‌جا یک مورد از آن‌ها را ذکر می‌کنیم:
Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition) , S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7 .
