قضیه بطلمیوس

اگر $\;ABCD$ یک چهار ضلعی دلخواه باشد آنگاه داریم $AB\times CD+BC\times DA\geq AC\times BD$ و تساوی هنگامی اتفاق می افتد که $\;ABCD$ یک چهارضلعی محاطی باشد. توجه: $\;AC$ و $\;BD$ دو قطر چهارضلعی‌اند.

هنگامی که چهارضلعی محاطی باشد، حالت تساوی رخ می‌دهد.

اثبات

نقطه $\;E$ طوری انتخاب می کنیم که مثلث $\;DCE$ متشابه با $\;ABC$ شود. حال چون $\angle DCE=\angle BCA$ پس $\angle LCD=\angle ACE$ همچنین به دلیل تشابه دو مثلث $\;ABC$ و $\;DCE$ داریم ${\frac {BC}{AC}}={\frac {DC}{CE}}$ دو نتیجه اخیر نشان از تشابه دو مثلث $\;BCD$ و $\;ACE$ دارد و این خود رابطه ${\frac {AE}{BD}}={\frac {AC}{BC}}\Rightarrow AE={\frac {AC\times BD}{BC}}$ را نتیجه می دهد. حال در مثلث $\;ADE$ طبق نامساوی مثلثی داریم: $AD+DE\geq AE$ به جای $\;AE$ مقدار ${\frac {AC\times BD}{BC}}$ را قرار داده و دو طرف نامساوی را در $\;BC$ ضرب می کنیم. رابطه $BC\times ad+BC\times DE\geq AC\times BD$ حاصل می شود. حال تنها کافی است نشان دهیم $BC\times DE=AB\times DC$ که این نیز از تشابه دو مثلث $\;ABC$ و $\;DCE$ به دست می آید.

نتایج

• اگر $\;ABC$ یک مثلث متساوی‌الاضلاع باشد و $\;P$ نقطه ای دلخواه بیرون از مثلث و درون زاویه $\;{\hat {A}}$ آنگاه داریم $PA\leq PB+PC$ و هنگامی که $\;P$ روی کمان $\;{BC}$ از دایره محیطی مثلث باشد، تساوی رخ می دهد

منابع

کتاب هندسه مسطحه، ناتان آلتشیلر کورت، انتشارات فاطمی