Octaedro
Octaedro regular | ||
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Familia: Sólidos platónicos | ||
![]() Imagen del sólido | ||
Caras | 8 | |
Aristas | 12 | |
Vértices | 6 | |
Grupo de simetría | Octaédrico (Oh) | |
Poliedro dual | Cubo | |
Símbolo de Schläfli | {3, 4} | |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Octaedro_regular_3D.stl/220px-Octaedro_regular_3D.stl.png)
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Un octaedro u octoedro (del griego ὀκτώ "ocho" y ἕδρα "asiento" o "cara") es un poliedro de ocho caras. Con este número de caras puede ser un poliedro convexo o un poliedro cóncavo. Sus caras pueden ser poliedros de siete lados o más. Si las ocho caras del octaedro son triángulos equiláteros, iguales entre sí, el octaedro es convexo y se denomina regular, siendo una figura de los denominados sólidos platónicos.
Volumen, área y desarrollo
[editar]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fc/Octaedro_desarrollo.gif/100px-Octaedro_desarrollo.gif)
Dado un octaedro regular de arista a, podemos calcular su volumen V mediante la siguiente fórmula:
(Aproximadamente 0,47·a³) |
Y el área total de sus caras A (que es 8 veces el área de una de ellas, Ac), mediante:
(Aproximadamente 3,46·a²) |
La altura (la diagonal de mayor longitud) del octaedro regular es[1]
Propiedades particulares
[editar]Simetría
[editar]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/31/Oktaeder-Animation.gif)
Un octaedro regular tiene tres ejes de simetría de orden cuatro, las rectas que unen vértices opuestos; seis ejes de simetría de orden dos, las rectas que unen los centros de aristas opuestas; cuatro ejes de simetría de orden tres, las rectas que unen los baricentros de las caras opuestas. De este modo tiene un total de 24 rotaciones que lo preservan:
- la identidad,
- 3 rotaciones de 90° y 3 de -90°,
- 4 rotaciones de 120° y 4 de -120°,
- 9 rotaciones de 180°, (3 de ellas provienen de los ejes de simetría de orden 4).
Por otro lado, es preservado también por 24 trasformaciones negativas (que no preservan la orientación del espacio):
- 1 simetría central,
- 6 reflexiones rotadas de 90° (con planos que contienen cada grupo de aristas coplanares),
- 8 reflexiones rotadas de 120° (con planos paralelos a cada par de caras opuestas),
- 9 planos de simetría, tres que contienen cada grupo de aristas coplanares, y seis perpendiculares a cada par de aristas paralelas.
Así, el grupo de simetrías del octaedro es igual al del cubo y tiene 48 elementos. Este es uno de los grupos de simetría octaédricos, el denominado Oh según la notación de Schöenflies.
Conjugación
[editar]Su poliedro conjugado es un cubo.
Secciones
[editar]Como propiedad peculiar del octaedro, se puede mencionar que seccionándolo con un plano que pase por el centro de seis de sus aristas se obtiene un hexágono regular.
Proposiciones
[editar]- Si un octoedro es regular, entonces las caras opuestas están contenidas en planos paralelos.
- Si en todo octoedro regular los vértices de una cara cualquiera se unen con el centro de la cara opuesta, se determinan 3 regiones triangualares congruentes, estas con la cara primigenia forman un tetraedro regular.[2]
Tipos
[editar]Es posible reunir los octoedros en diversos tipos, tal como sigue.
- Una pirámide de base heptagonal ( 7 lados) tiene 7 caras laterales. En total tiene 8 caras con la base, por lo tanto es un octoedro.
- Un prisma de base hexagonal tiene 6 caras y las 2 bases, hacen un total de 8 caras.→octoedro
- Una bipirámide con pirámide generatriz de base cuadrilátera también es un octoedro. Tiene ocho caras triangulares.
Aplicaciones prácticas, ejemplos y otros usos
[editar]- En los dados de rol el dado de ocho caras es un octaedro regular. Su notación escrita es «D8».
- Uno de los ángeles del anime Neon Genesis Evangelion, nombrado Ramiel, es básicamente un octaedro regular.
Formas octaédricas observadas en la naturaleza
[editar]En cristalografía, es común encontrar cristales con estructuras octaédricas. En algunos casos, esta estructura macroscópica es un reflejo directo de la geometría molecular octaédrica que presentan a nivel microscópico. Minerales del sistema regular que presentan hábito cristalino octaédrico son, entre otros, el diamante, la magnetita y la fluorita.
Referencias
[editar]- ↑ Sapiña, R. «Área y volumen del octaedro regular». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 9 de septiembre de 2020.
- ↑ Arbulú Mariños. Poliedros regulares ISBN 978-612-307-466-1
Enlaces externos
[editar]Wikimedia Commons alberga una galería multimedia sobre Octaedro.