Partición de un conjunto

Partición del círculo en 6 partes {A₁, ... , A₆}.

En matemática, diremos que la familia de subconjuntos {A_i: i ∈ I} de un conjunto A es una partición (sobre A) si se cumple que:

1. $A_{i}\neq \emptyset$ para todo $i\in I$.
2. $\bigcup _{i\in I}A_{i}=A$.
3. $A_{i}\cap A_{j}\neq \emptyset \Rightarrow A_{i}\neq A_{j}$.

Por lo tanto, se trata de un recubrimiento en el que los subconjuntos pertenecientes a la familia, dos a dos, son disjuntos (es decir, su intersección es vacía).

Ejemplos

• Todo conjunto de un elemento {x} tiene exactamente una partición: { {x} }.
• Para cualquier conjunto no vacío X, P = {X} es una partición de X.
• El conjunto { 1, 2, 3 } tiene estas 5 particiones:
  • { {1}, {2}, {3} }, a veces notada por 1/2/3.
  • { {1, 2}, {3} }, a veces notada por 12/3.
  • { {1, 3}, {2} }, a veces notada por 13/2.
  • { {1}, {2, 3} }, a veces notada por 1/23.
  • { {1, 2, 3} }, a veces notada por 123.
• Obsérvese que
  • { {}, {1,3}, {2} } no es una partición (pues contiene al conjunto vacío).

El número de particiones de un conjunto finito

El número de Bell B_n, nombrado así en honor a Eric Temple Bell, es el número de particiones diferentes de un conjunto con n elementos. Los primeros números de Bell son: B₀ = 1, B₁ = 1, B₂ = 2, B₃ = 5, B₄ = 15, B₅ = 52, B₆ = 203 ((sucesión A000110 en OEIS))

Los números de Bell satisfacen la siguiente relación recursiva: $B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}$.

Véase también

• recubrimiento (matemática)