Diferencia entre revisiones de «Partición de un conjunto»

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Revisión actual - 22:15 28 nov 2020

Una partición de un conjunto A está formada por los subconjuntos A₁, A₂, A₃, ..., A_n, los cuales deben cumplir:

Que la unión de todos los subconjuntos sea igual al conjunto dado.

A₁ $\cup$ A₂ $\cup$ A₃ $\cup$ ... $\cup$ A_n = A

Que todos los subconjuntos sean disjuntos entre sí.
Que ningún subconjunto sea vacío.

Esta división se representa mediante una colección o familia de subconjuntos de dicho conjunto que lo recubren.

El concepto de partición está ligado al de relación de equivalencia: toda relación de equivalencia sobre un conjunto $A$ define una partición de $A$ , y viceversa. Cada elemento de la partición corresponde a una clase de equivalencia de la relación

Ejemplo:

Dado el conjunto A = {1, 2, 3} se define su partición como:

A₁ = {1} ⋃ {2} ⋃ {3}

A₂ = {1,2} ⋃ {3}

A₃ = {1} ⋃ {2,3}

A₄ = {1,3} ⋃ {2}

A₅ = {1, 2, 3}

Número de particiones

Artículo principal: Número de Bell

El número de particiones posibles para un conjunto finito solo depende de su cardinal n, y se llama el número de Bell B_n. Los primeros números de Bell son B₀ = 1, B₁ = 1, B₂ = 2, B₃ = 5, B₄ = 15, B₅ = 52, B₆ = 203, ...

Referencias

Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.
Weisstein, Eric W. «Bell Number». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

Véase también

Datos: Q381060
Multimedia: Set partitions / Q381060

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-[[Archivo:Set partition.svg|thumb|220px|Partición del círculo en 6 partes {A<sub>1</sub>, ... , A<sub>6</sub>}.]]
+[[Archivo:Set partition.svg|thumb|220px|Partición en 6 subconjuntos.]]
-En [[matemática]], diremos que la [[familia de conjuntos|familia de subconjuntos]] {A<sub>i</sub>: ''i'' ∈ I} de un [[conjunto]] A es una '''partición''' (sobre A) si se cumple que:
+Una '''partición''' de un conjunto ''A'' está formada por los subconjuntos ''A<sub>1</sub>'', ''A<sub>2</sub>'', ''A<sub>3</sub>'', ..., ''A<sub>n</sub>'', los cuales deben cumplir:
+* Que la unión de todos los subconjuntos sea igual al conjunto dado.
-# <math>A_i \neq \emptyset</math> para todo <math>i \in I</math>.
-# <math>\bigcup_{i\in I} A_i = A</math>.
-# <math>A_i \cap A_j \neq \emptyset \Rightarrow A_i \ne A_j</math>.
+''A<sub>1</sub>'' <math>\cup</math> ''A<sub>2</sub>'' <math>\cup</math> ''A<sub>3</sub>'' <math>\cup</math> ... <math>\cup</math> ''A<sub>n</sub> = A''
-Por lo tanto, se trata de un [[recubrimiento (matemática)|recubrimiento]] en el que los [[subconjunto]]s pertenecientes a la familia, dos a dos, son [[conjuntos disjuntos|disjuntos]] (es decir, su [[intersección de conjuntos|intersección]] es [[conjunto vacío|vacía]]).
-== Ejemplos ==
-* Todo conjunto de un elemento {''x''} tiene exactamente una partición: { {''x''} }.
-* Para cualquier conjunto no vacío ''X'', ''P'' = {''X''} es una partición de ''X''.
-* El conjunto { 1, 2, 3 } tiene estas 5 particiones:
-** { {1}, {2}, {3} }, a veces notada por 1/2/3.
-** { {1, 2}, {3} }, a veces notada por 12/3.
-** { {1, 3}, {2} }, a veces notada por 13/2.
-** { {1}, {2, 3} }, a veces notada por 1/23.
-** { {1, 2, 3} }, a veces notada por 123.
-* Obsérvese que
-** { {}, {1,3}, {2} } no es una partición (pues contiene al conjunto vacío).
+* Que todos los subconjuntos sean disjuntos entre sí.
-== El número de particiones de un conjunto finito ==
+* Que ningún subconjunto sea vacío.
-El [[número de Bell]] ''B''<sub>''n''</sub>, nombrado así en honor a [[Eric Temple Bell]], es el número de particiones diferentes de un conjunto con ''n'' elementos. Los primeros números de Bell son: ''B''<sub>0</sub> = 1,
-''B''<sub>1</sub> = 1, ''B''<sub>2</sub> = 2, ''B''<sub>3</sub> = 5, ''B''<sub>4</sub> = 15, ''B''<sub>5</sub> = 52, ''B''<sub>6</sub> = 203 ({{OEIS|A000110}})
+Esta división se representa mediante una colección o [[familia de conjuntos|familia]] de subconjuntos de dicho conjunto que lo [[recubrimiento (matemáticas)|recubren]].
-Los números de Bell satisfacen la siguiente relación recursiva: <math>B_{n+1}=\sum_{k=0}^n {n\choose k}B_k</math>.
+El concepto de partición está ligado al de [[relación de equivalencia]]: toda relación de equivalencia sobre un conjunto ''<math>A</math>'' define una partición de ''<math>A</math>'', y viceversa. Cada elemento de la partición corresponde a una [[clase de equivalencia]] de la relación
+Ejemplo:
+Dado el conjunto A = {1, 2, 3} se define su partición como:
+A<sub>1</sub> = {1} ⋃ {2} ⋃ {3}
+A<sub>2</sub> = {1,2} ⋃ {3}
+A<sub>3</sub> = {1} ⋃ {2,3}
+A<sub>4</sub> = {1,3} ⋃ {2}
+A<sub>5</sub> = {1, 2, 3}
+== Número de particiones ==
+{{AP|Número de Bell}}
+El número de particiones posibles para un [[conjunto finito]] solo depende de su [[número cardinal|cardinal]] ''n'', y se llama el número de Bell ''B''<sub>n</sub>. Los primeros números de Bell son ''B''<sub>0</sub> = 1, ''B''<sub>1</sub> = 1, ''B''<sub>2</sub> = 2, ''B''<sub>3</sub> = 5, ''B''<sub>4</sub> = 15, ''B''<sub>5</sub> = 52, ''B''<sub>6</sub> = 203, ...
+== Referencias ==
+* {{cita libro|apellidos=Lipschutz|nombre=Seymour|título=Teoría de conjuntos y temas afines|año=1991|editorial=McGraw-Hill|isbn=968-422-926-7}}
+* {{MathWorld|BellNumber|Bell Number}}
 == Véase también ==
-* [[recubrimiento (matemática)]]
+* [[Recubrimiento (matemática)]]
+* [[Partición de un intervalo]]
+{{Control de autoridades}}
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