Álgebra Abstracta/Teoremas de Cardinalidad

Introducción

Los teoremas de cardinalidad son aquellos teoremas que establecen relaciones referentes a cantidad de elementos o subgrupos con una ierta propiedad. Con anteriorridad, hemos visto dos instancias de este clase de resultados: el teorema de Lagrange y el teorema acerca de la cardinalidad del conjunto producto de dos subgrupos. Los resultados principales que veremos en este cfapítulo serán la ecuación de clases--una relación acerca de la clases de conjugación, el teorema de Cauchy estabeciendo la existrencia de elementos de ciereto orden y el (primjer) teorema de Sylow estab;eciendo la existencia de subgrupos de cierto orden.

La Ecuación de Clases

Vimos, anteriormente, que la relación de conjugación es una relación de equivalencia en un grupo, por lo que particiona al grupo en clases disjuntas de equivalencias, llamadas clases de conjugación del grupo. La clase de conjugación de un elemento x, denotada ${\mathcal {C}}(x)$, está formada por todos los elementos conjugados a x, es decir que

${\mathcal {C}}(x)=\{x^{g}:g\in G\}.$

donde $x^{g}:=gxg^{-1}$. Sea D un conjunto de representantes de las clases de conjugación, es decir que D consiste de un elemento de cada una de las clases de conjugación. Dos elementos diferentes de D corresponden a dos clases diferentes. Como la reunión de las clases de conjugación es todo G y como las clases son disjuntas, tenemos que la cantidad de elementos de G es igual a la suma de los elementos en cada clase, o sea que

$|G|=\sum _{a\in D}|{\mathcal {C}}(a)|$

Nos referiremos a esa relación como la ecuación de las clases de conjugación del grupo G.

Hay una variación de la ecuación de clases de conjugación que resultará muy útil para futuros resultados, basada en que la cardinalidad de cada clase de equivalencia es igual al índice de ciertos grupos. Empezaremos nuestro trabajo, introduciendo la noción de centralizador de un elemento.

Definición. (Centralizador) Sean G un grupo y a un elemento de G. Llamamos centralizador en G de a al subconjunto de G denotado por
C(a), o C_G(a) (cuando queremos mencionar el grupo), y definido como

$C_{G}(a):=\{g\in G:ga=ag\}.$

Observemos que g está en C_G(a), ssi, ga =ag, ssi, gag^-1 =a, ssi, a^g=a. Es decir que los elementos del centralizador de a son aquellos g tales que el conjugado por g de a es igual a a. Por lo que a es un elemento de su centralizador.

Proposición. El centralizador de un elemento de un grupo es un subgrupo del grupo.

Demostración: Sea G un grupo y C(a) el centralizador de a en G. El elemento neutro, claramente, está en C(a). Sean x, y elementos de C(a). Tenemos que xya = xay = axy, lo que muestra que C(a) es cerrado respecto a la operación del grupo. Además, $xa=ax\implies x^{-1}(xa)x^{-1}=x^{-1}(ax)x^{-1}\implies ax^{-1}=x^{-1}a.$ Lo que concluye la demostración.

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Nos interesa considerar el conjunto cociente G/C(a) (que, en general, no será un grupo, pues C(a) no siempre es normal). Sean x, y tales que x está en la coclase yC(a), es decir x=yh para algún h en C(a). Entonces,

$a^{x}=xax^{-1}=(yh)a(yh)^{-1}=yhah^{-1}y^{-1}=yahh^{-1}y^{-1}=yay^{-1}=a^{y}.$

Es decir que dos elementos de la misma coclase respecto a C(a) producen el mismo conjugado de a.

Veamos el resultado recíproco. Sean x, y tales que a^x = a^y. Como,

${\begin{array}{rcl}a^{x}=a^{y}&\implies &xax^{-1}=yay^{-1}\implies y^{-1}xax^{-1}=ay^{-1}\implies y^{-1}xa=ay^{-1}x.\end{array}}$

Por lo que y^-1x está en C(a), o sea que x está en y C(a).

Por lo que, elementos de diferentes clases de conjugación de a corresponden a diferentes coclases respecto a C(a). Es decir que tenemos el siguiente resultado.

Proposición..

Sea G un grupo y a un elemento del grupo. La cantidad de conjugados de a es igual a la cantidad de coclases del centralizador de a, o sea al índice [G:C(a)].

$|{\mathcal {C}}(a)|=[G:C(a)].$

Corolario.

El cardinal de una clase de conjugación es un divisor del orden del grupo.

Usaremos el resultado de la proposición para reescribir la ecuación de clases de conjugación vista arriba. Recordando que los elementos del centro se caracterizan por ser el único elemento de su clase de conjugación, reagruparemos todos esos elementos, y pondremos que

Ecuación de Clases $|G|=|Z(G)|\quad +\sum _{a\in D\setminus Z(G)}[G:C(a)].$

donde D es un conjunto de representantes de las clases de conjugación.

Llamaremos la ecuación anterior, la ecuación de clases. Algunos autores llaman ecuación de clases a lo que arriba hemos denominado ecuación de clases de conjugación. Obviamente, son, esensialmente la misma ecuación, la diferencia es lo que se destaca: clases o índices.

Proposición.

Sea G un p--grupo, es decir un grupo cuyo orden es una potencia de p, p primo. Entonces, el centro de G no es trivial.

• Demostración: Probaremos que $p|\,|Z(G)|$. Como G es un '--grupo, tenemos que cualquier elemento o subgrupo de G tiene un orden que es una potencia de p. Igualmente, el índice de cualquier subgrupo es una potencia de p. En particular, para cualquier elemento a de G tenemos que [G:C(a)] es una potencia de p. Consideremos la ecuación de clases $|G|=|Z(G)|\quad +\sum _{a\in D\setminus Z(G)}[G:C(a)].$

  Tenemos que p divide a |G| y a cada sumando en la sumatoria, por lo tanto, p divide el orden de |Z(G)|.

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Corolario.

Un grupo cuyo orden es p², p primo, es un grupo abeliano.

Demostración: Sabemos por la proposición que $|Z(G)|=p^{k}$, k=1 o 2.

• Si k=1 entonces |Z(G)|=p y |G/Z(G)| = |G|/|Z(G)| = p^1/p = p. Sigue de la proposición \ref{prop060204} que G es abeliano.
• Si k=2 entonces Z(G) = G, por lo que G es abeliano.

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Los Teoremas de Cauchy y Sylow

Anteriormente, afirmamos que no siempre es cierto que para cada divisor del orden de un grupo haya un subgrupo que tenga como orden ese divisor (ver ejemplo más adelante). Por el lado positivo tenemos dos importantes resultados, el teorema de Cauchy y el (primer) teorema de Sylow.

Proposición. (Teorema de Cauchy)
Sea p un factor primo del orden de un grupo. Entonces, hay al menos un subgrupo de orden p en G.

Proposición. (Primer teorema de Sylow)
Sea p un factor primo del orden de un grupo y sea $p^{k},\quad k\geq 1$, un divisor del orden del grupo. Entonces, hay al menos un subgrupo de orden p^k en G.

Definición. (p--Sylow subgrupo) Sea G un grupo y p un número primo. Llamamos p--Sylow subgrupo de G a un subgrupo de orden p^r. tal que pp^r es la máxima potencia de p que divide el orden de G.

El teorema de Sylow garantiza la existencia de un p--Sylow subgrupo de cualquier grupo con p un divisor del orden de G. Cuando el primp p no divida el orden del grupo, por definición, el subgrupo trivial {e} es el p--Sylow subgrupo de G.

Como aplicaciones de los teoremas anteriores tendríamos, por ejemplo, las siguientes afirmaciones.

• Un grupo de orden 6 tiene al menos un grupo de orden 3 y uno de orden 2. En consecuencia, elementos de iguales ordenes.
• Un grupo de orden 12 tiene subgrupos de orden 2, 3 y 4.
• Un grupo de orden 15 tiene subgrupos de orden 3 y 5.

• Demostración del teorema de Cauchy. Caso Abeliano. Sea G un grupo abeliano cuyo orden |n| es divisible por el primo p. El resultado del teorema es válido cuando n = 2,3,4,5,6, por resultados o ejemplos anteriores.. Razonando por inducción, supondremos el resultado válido para grupos de orden inferior a n. Sea x un elemento del grupo con o(x) = m > 1. Si p|m tenemos que $x^{m/p}$ es un elemento con orden p. Supongamos, entonces, que $p\nmid m$ y consideremos el subgrupo \langle x \rangle que tiene orden m, que es por el teorema de Lagrange un divisor de n. Como $p\nmid m$, m no puede ser igual a n por lo que m es un divisor propio de n, y lo mismo pasa con el índice $[G:\langle x\rangle ]$. Luego, $|G/\langle x\rangle |=n/m>1$. Como $p|n$, pero $p\nmid m$, tenemos que $p|(n/m)$. Como $n/m<n$, aplicando la hipótesis de inducción, tenemos que hay un elemento v de orden p en $G/\langle x\rangle$. Sea u tal que $v=u\langle x\rangle$, entonces $v^{p}=u^{p}\langle x\rangle$, lo que implica que $u^{p}$ es un elemento de $\langle x\rangle$, digamos que $u^{p}=x^{t}$. Sea $k=o(x^{t})$. Como $k|m$, tenemos que $p\nmid k$. Entonces, $(u^{k})^{p}=(u^{p})^{k}=(x^{t})^{k}=e.$

  En consecuencia, tenemos que $o(u^{k})$ es igual a 1 o a p. Si $o(u^{k})=1$, se tendría que $o(v^{k})=1$. Como el orden de v es p, lo anterior,implicaría que $p|1$, lo que es imposible, luego, el orden de $u^{k}$ es $p$. Lo que acaba la demostración del caso abeliano.

  Caso no abeliano, Sea G un grupo no abeliano tal que el orden n de G es divisible por p. Sabemos que el resultado es válido para n = 6, el menor grupo no abeliano es $S_{3}$. Supongamos el resultado válido para todos los grupos con orden inferior a $n\geq 6$. Consideremos la ecuación de clases de G,

  $|G|=|Z(G)|\quad +\sum _{a\in D\setminus Z(G)}[G:C_{G}(a)].$

  Si p divide el orden de alguno de los |C(a)|, por inducción, este subgrupo propio de G contendrá un elemento de orden p, que será un elemento de orden p de G.

  En caso contrario, como p divide al orden de G, p será un factor de $[G:C(a)]=|G|/|C(a)|$, para todo a en $D\setminus Z(G)$. Como p divide a |G|, sigue de la ecuación de clases que p divide el orden de Z(G), Como Z(G) es abeliano, sigue del caso anterior, que hay un elemento de orden p en Z(G) y, por lo tanto, en G.

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• Demostración del teorema de Sylow Sea G un grupo con orden $p^{k}n$ donde p es primo y $p\nmid n$. La demostración será por inducción sobre el orden del grupo. Sigue de los ejemplos, que el teorema es válido para grupos con ordenes pequeños. Analicemos la ecuación de clase para el grupo $|G|=|Z(G)|\quad +\sum _{a\in D\setminus Z(G)}[G:C(a)].$

  Supongamos que p no divide uno de los índices $[G:C(a)]$ que aparecen en la ecuación. Entonces, $p^{k}$ debe dividir el orden de C(a) que, por no estar a en el centro del grupo, es un subgrupo propio de G. Se tiene, entonces, por inducción, que C(a) contiene un subgrupo de orden $p^{k}$, por lo que G contiene un subgrupo de orden $p^{k}$.

  En caso contrario, se tiene que p divide el orden del centro. Sea x cualquier elemento de orden p en $\mathbb {Z} (G)$ (que siempre hay por el teorema de Cauchy) y consideremos al grupo cociente $G/\langle x\rangle$, cuyo orden es $p^{k-1}n$. Nuevamente, por inducción, tenemos la existencia de un subgrupo $J$ de $G/\langle x\rangle$ de orden $p^{k-1}.$ Sea H la preimagen de J por el supramorfismo canónico que envía cada elemento de G en su coclase respecto a $\langle x\rangle$. H es un subgrupo de G y su orden es $|J||\langle x\rangle |=p^{k-1}=p^{k}.$

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Observaciones. Hablamos de primer teorema de Sylow, porque hay otros dos teoremas que enunciafremos a continuación. La demostración se puede ver en el Apéndice Teoremas de Sylow.

Segundo teorema de Sylow.
Sea G un grupo. Dos p-grupos de Sylow cualesquiera son conjugados. Además, cualquier p-subgrupo (subgrupo cuyo orden es una potencia de p) está contenido en un p-Sylow subgrupo.

Tercer teorema de Sylow.
Let G be a grupo tal que $|G|=p^{r}m$ donde p es un primo que no divide a m. Sea $Syl_{p}(G)$ el conjunto de todos los p-subgrupos de G. Entonces,

1. $|Syl_{p}(G)|$ es un divisor de m,
2. $|Syl_{p}(G)|\equiv 1{\pmod {p}}$.

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Los teoremas de Sylow están entre los resultados más improtantes en la teoría genral de grupos finitos. Muchos detalles, otras demostraciones se pueden hallar en "Topics in Algebra"de I. N. Herstein.

Ejercicios

1. Sea G un grupo abeliano y sean a y b elementos de G tales que el orden de a es p y el orden de b es q. Probar que el orden de ab es igual al mínimo común múltiplo de p y q. (Probar que si r es un múltiplo común de p y q, entonces (ab)^r = e).
2. Hallar todos los grupos abelianos de orden 16. (hay cuatro tipos diferentes).
3. Clasificar los grupos abelianos de orden 27.
4. Analizar las estructuras posibles para un grupo de orden 8. (Sug: Hay cinco posibles; tres abelianas y dos no abelianas).
5. Sea $G=\{a,b:a^{2}=e,b^{3}=e,(ba)^{3}=e\}$.
   1. Probar que G es un grupo de orden 12.
   2. Probar que G es isomorfo al grupo de las simetrías del tetraedro.
6. Listar todos los subgrupos de $\mathbb {Z} _{18}$.
7. Probar, sin usar el teorema de Cauchy, que un grupo de orden p^r siempre contiene un elemento de orden p. (Sugerencia: Usar inducción sobre r).
8. (????) Sea $G$ un grupo cuyo orden es $p^{r}$, $p$ primo, $r\geq 1$. Probar que $G$ tiene un elemento de orden $p$. (Sugerencia: probar las siguientes afirmaciones.)
   1. Si $G$ es cíclico entonces $G$ tiene un elemento de orden $p$.
   2. Si $G$ es abeliano entonces $G$ contiene un elemento de orden $p$. (Considerar cualquiera de sus subgrupos cíclicos).
   3. Si $G$ no es abeliano, probar que su centro tiene un orden divisible por $p$, por lo que contiene un elemento de orden $p$. (Usar la ecuación de clases).
9. Sea G un grupo abeliano tal que |G| = pq donde p y q son números primos diferente0s. Probar que hay elementos x, y tales que o(x) = p y o(y) = q y $G\cong C_{p}\times C_{q}$.
10. Clasificar los grupos de orden 25.

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Referencias

Notas