Partición de un conjunto

En matemáticas, una partición de un conjunto es una división del mismo en subconjuntos disjuntos no vacíos.

Partición del círculo en 6 partes {A₁, ... , A₆}.

Definición

Una partición de un conjunto es una división del mismo en «trozos» separados y no vacíos. Esta división se representa mediante una colección o familia de subconjuntos de dicho conjunto que lo recubren.

Una partición del conjunto A es una familia P de subconjuntos no vacíos de A, disjuntos dos a dos, cuya unión es A. Es decir, P = {Ai: i ∈ I }, donde se cumple: Para cada i ∈ I, Ai ⊆ A y Ai ≠ ∅ Para cada par i ≠ j, Ai ∩ Aj = ∅ ∪i ∈ I Ai = A

El concepto de partición es equivalente al de relación de equivalencia: toda relación de equivalencia sobre un conjunto A define una partición de A, y viceversa. Cada elemento de la partición corresponde a una clase de equivalencia de la relación.

Ejemplos

• Dado un conjunto no vacío X arbitrario, la familia P = {X} es una partición de X.
• Un conjunto con un sólo elemento {x} tiene como única partición a P = { {x} }.
• El conjunto {1, 2, 3} tiene exactamente 5 particiones:
  • { {1}, {2}, {3} }
  • { {1, 2}, {3} }
  • { {1, 3}, {2} }
  • { {1}, {2, 3} }
  • { {1, 2, 3} }

Número de particiones

El número de particiones posibles para un conjunto finito solo depende de su cardinal n, y se llama el número de Bell B_n. Los primeros números de Bell son B₀ = 1, B₁ = 1, B₂ = 2, B₃ = 5, B₄ = 15, B₅ = 52, B₆ = 203, ...

Referencias

• Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7. 
• Weisstein, Eric W. «Bell Number». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

Véase también

• Recubrimiento (matemática)
• Partición de un intervalo