Subgrupo conmutador

En matemáticas, el subgrupo conmutador de un grupo G, es el subgrupo generado por todos los elementos de la forma

$[a,b]=aba^{-1}b^{-1}$

denominado conmutador de a con b

Al subgrupo conmutador también se le conoce como subgrupo derivado de G y se simboliza por $G'$ o $[G,G]$. Esto significa que si $x\in [G,G]$ entonces x se escribe como una palabra de conmutadores esto es,

$x=a_{1}b_{1}{a_{1}}^{-1}{b_{1}}^{-1}a_{2}b_{2}{a_{2}}^{-1}{b_{2}}^{-1}\cdots a_{r}b_{r}{a_{r}}^{-1}{b_{r}}^{-1}$

Se puede demostrar que [G,G] es un subgrupo normal y que el grupo cociente $G/[G,G]$ es abeliano

La construcción $G/[G,G]$ recibe el nombre de abelianización de G.

Proposiciones

Baumslag y Chandler en su Teoría de grupos enuncian las siguientes proposiciones:

• El inverso de un conmutador es un conmutador.
• G'-subgrupo derivado de G- es un subgrupo normal en G.
• G es conmutativo si, sólo si G' ={e}, i.e. G es conmutativo s.s.s. su subgrupo conmutador es el subgrupo que contiene únicamente al elemento neutro.