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Diferencia entre revisiones de «Partición de un conjunto»

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[[Archivo:Set partition.svg|thumb|220px|Partición del círculo en 6 partes {A<sub>1</sub>, ... , A<sub>6</sub>}subconjuntos.]]
En [[matemáticas]], unaUna '''partición''' de un conjunto es''A'' unaestá divisiónformada delpor mismolos en [[subconjuntos]] [[conjuntos''A<sub>1</sub>'', disjuntos|disjuntos]]''A<sub>2</sub>'', no''A<sub>3</sub>'', [[conjunto vacío|vacíos]]..., ''A<sub>n</sub>'', los cuales deben cumplir:
 
* Que la unión de todos los subconjuntos sea igual al conjunto dado.
== Definición ==
Una partición de un [[conjunto]] es una división del mismo en «trozos» separados y no vacíos. Esta división se representa mediante una colección o [[familia de conjuntos|familia]] de subconjuntos de dicho conjunto que lo [[recubrimiento (matemáticas)|recubren]].▼
{{definición|1=Una '''partición''' del conjunto ''A'' es una familia ''P'' de (ni caso) subconjuntos no vacíos de ''A'', disjuntos dos a dos, cuya [[unión de conjuntos|unión]] es ''A''. Es decir, ''P'' = {''A''<sub>i</sub>: ''i'' {{unicode|∈}} ''I'' }, donde se cumple:
* Para cada ''i'' {{unicode|∈}} ''I'', ''A''<sub>i</sub> {{unicode|⊆}} ''A'' y ''A''<sub>i</sub> ≠ {{unicode|∅}}
* Para cada par ''i'' ≠ ''j'', ''A''<sub>i</sub> {{unicode|∩}} ''A''<sub>j</sub> = {{unicode|∅}}
* '''{{unicode|∪}}'''<sub>i {{unicode|∈}} ''I''</sub> ''A''<sub>i</sub> = ''A''
}}
El concepto de partición es equivalente al de [[relación de equivalencia]]: toda relación de equivalencia sobre un conjunto ''A'' define una partición de ''A'', y viceversa. Cada elemento de la partición corresponde a una [[clase de equivalencia]] de la relación.▼
 
''A<sub>1</sub>'' <math>\cup</math> ''A<sub>2</sub>'' <math>\cup</math> ''A<sub>3</sub>'' <math>\cup</math> ... <math>\cup</math> ''A<sub>n</sub> = A''
;Ejemplos
 
* Dado un conjunto no vacío ''X'' arbitrario, la familia ''P'' = {''X''} es una partición de ''X''.
* Que todos los subconjuntos sean disjuntos entre sí.
* Un conjunto con un sólo elemento {''x''} tiene como única partición a ''P'' = { {''x''} }.
* Que ningún subconjunto sea vacío.
* El conjunto {1, 2, 3} tiene exactamente 5 particiones:
 
** { {1}, {2}, {3} }
▲Una partición de un [[conjunto]] es una división del mismo en «trozos» separados y no vacíos. Esta división se representa mediante una colección o [[familia de conjuntos|familia]] de subconjuntos de dicho conjunto que lo [[recubrimiento (matemáticas)|recubren]].
** { {1, 2}, {3} }
 
** { {1, 3}, {2} }
▲El concepto de partición esestá equivalenteligado al de [[relación de equivalencia]]: toda relación de equivalencia sobre un conjunto ''<math>A</math>'' define una partición de ''<math>A</math>'', y viceversa. Cada elemento de la partición corresponde a una [[clase de equivalencia]] de la relación.
** { {1}, {2, 3} }
 
** { {1, 2, 3} }▼
Ejemplo:
 
Dado el conjunto A = {1, 2, 3} se define su partición como:
 
A<sub>1</sub> = {1} ⋃ {2} ⋃ {3}
 
A<sub>2</sub> = {1,2} ⋃ {3}
 
A<sub>3</sub> = {1} ⋃ {2,3}
 
A<sub>4</sub> = {1,3} ⋃ {2}
 
▲**A<sub>5</sub> {= {1, 2, 3} }
 
== Número de particiones ==
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* [[Partición de un intervalo]]
 
{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de conjuntos]]
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