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Diferencia entre revisiones de «Partición de un conjunto»

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[[Archivo:Set partition.svg|thumb|220px|Partición del círculo en 6 partes {A<sub>1</sub>, ... , A<sub>6</sub>}subconjuntos.]]
En [[matemática]], unaUna '''partición''' de un [[conjunto]] ''A'' esestá laformada [[familiapor de conjuntos|familia delos subconjuntos]] {''A<sub>i1</sub>:'', ''iA<sub>2</sub>'', ∈''A<sub>3</sub>'', I}..., que''A<sub>n</sub>'', cumplelos lascuales siguientesdeben condicionescumplir:
 
* Que la unión de todos los subconjuntos sea igual al conjunto dado.
# <math>A_i \neq \emptyset</math> para todo <math>i \in I</math>.
# <math>\bigcup_{i\in I} A_i = A</math>.
# <math>A_i \cap A_j \neq \emptyset \Rightarrow A_i=A_j</math>.
 
''A<sub>1</sub>'' <math>\cup</math> ''A<sub>2</sub>'' <math>\cup</math> ''A<sub>3</sub>'' <math>\cup</math> ... <math>\cup</math> ''A<sub>n</sub> = A''
Por lo tanto, se trata de un [[recubrimiento (matemática)|recubrimiento]] en el que los [[subconjunto]]s pertenecientes a la familia, dos a dos, son [[conjuntos disjuntos|disjuntos]] (es decir, su [[intersección de conjuntos|intersección]] es [[conjunto vacío|vacía]]).
 
* Que todos los subconjuntos sean disjuntos entre sí.
Hay una íntima relación entre partición y [[relación de equivalencia]], definidas sobre un mismo conjunto ''A'': el conjunto de clases de equivalencia forma una partición de ''A''. Y al revés, dada cualquier partición ''P'' de un conjunto ''A'' podemos definir una relación de equivalencia donde ''x'' ~ ''y'' si y sólo si pertenecen al mismo subconjunto de la partición ''P''.
* Que ningún subconjunto sea vacío.
== Ejemplos ==
* Todo conjunto de un elemento {''x''} tiene exactamente una partición: { {''x''} }.
* Para cualquier conjunto no vacío ''X'', ''P'' = {''X''} es una partición de ''X''.
* El conjunto { 1, 2, 3 } tiene estas 5 particiones:
** { {1}, {2}, {3} }, a veces notada por 1/2/3.
** { {1, 2}, {3} }, a veces notada por 12/3.
** { {1, 3}, {2} }, a veces notada por 13/2.
** { {1}, {2, 3} }, a veces notada por 1/23.
** { {1, 2, 3} }, a veces notada por 123.
* Obsérvese que
** { {}, {1,3}, {2} } no es una partición (pues contiene al conjunto vacío).
 
Esta división se representa mediante una colección o [[familia de conjuntos|familia]] de subconjuntos de dicho conjunto que lo [[recubrimiento (matemáticas)|recubren]].
== El número de particiones de un conjunto finito ==
El [[número de Bell]] ''B''<sub>''n''</sub>, nombrado así en honor a [[Eric Temple Bell]], es el número de particiones diferentes de un conjunto con ''n'' elementos. Los primeros números de Bell son: ''B''<sub>0</sub> = 1,
''B''<sub>1</sub> = 1, ''B''<sub>2</sub> = 2, ''B''<sub>3</sub> = 5, ''B''<sub>4</sub> = 15, ''B''<sub>5</sub> = 52, ''B''<sub>6</sub> = 203 {{OEIS|A000110}}.
 
El concepto de partición está ligado al de [[relación de equivalencia]]: toda relación de equivalencia sobre un conjunto ''<math>A</math>'' define una partición de ''<math>A</math>'', y viceversa. Cada elemento de la partición corresponde a una [[clase de equivalencia]] de la relación
Los números de Bell satisfacen la siguiente relación recursiva: <math>B_{n+1}=\sum_{k=0}^n {n\choose k}B_k</math>.
 
Ejemplo:
 
Dado el conjunto A = {1, 2, 3} se define su partición como:
 
A<sub>1</sub> = {1} ⋃ {2} ⋃ {3}
 
A<sub>2</sub> = {1,2} ⋃ {3}
 
A<sub>3</sub> = {1} ⋃ {2,3}
 
A<sub>4</sub> = {1,3} ⋃ {2}
 
A<sub>5</sub> = {1, 2, 3}
 
== Número de particiones ==
{{AP|Número de Bell}}
El número de particiones posibles para un [[conjunto finito]] solo depende de su [[número cardinal|cardinal]] ''n'', y se llama el número de Bell ''B''<sub>n</sub>. Los primeros números de Bell son ''B''<sub>0</sub> = 1, ''B''<sub>1</sub> = 1, ''B''<sub>2</sub> = 2, ''B''<sub>3</sub> = 5, ''B''<sub>4</sub> = 15, ''B''<sub>5</sub> = 52, ''B''<sub>6</sub> = 203, ...
 
== Referencias ==
* {{cita libro|apellidos=Lipschutz|nombre=Seymour|título=Teoría de conjuntos y temas afines|año=1991|editorial=McGraw-Hill|isbn=968-422-926-7}}
* {{MathWorld|BellNumber|Bell Number}}
 
== Véase también ==
* [[recubrimientoRecubrimiento (matemática)]]
* [[Partición de un intervalo]]
 
{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de conjuntos]]
[[Categoría:Fracciones]]
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