Ordita duopo

En matematiko, ordita duopo^[1] aŭ paro^[2] estas kolekto de du elementoj, kies ordo estas parto de ĝia difino, t.e. oni distingas la unuan elementon kaj la duan elementon. Oni ofte uzas notacion $\langle a,b\rangle$ aŭ $(a,b)$ por la ordita duopo, kies unua elemento estas $a$ , kaj kies dua kaj lasta elemento estas $b$ .

Orda duopo estas speciala kazo de n-opo, kie n = 2.

Difino

Egaleco de orditaj duopoj

Neformale, ordita duopoj estas kolekto de du elementoj, tiaj ke la egaleco inter du orditaj duopoj postulas egalecon inter la du unuaj elementoj kaj egalecon inter la du lastaj elementoj. Simbole, du duopoj $(a_{1},b_{1})$ kaj $(a_{2},b_{2})$ estas egalaj se kaj nur se $a_{1}=a_{2}$ kaj $b_{1}=b_{2}$ .

(a_{1},b_{1})=(a_{2},b_{2})\iff \left(a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}\right)

Tio estas la difina karakteriza kvalito de orditaj duopoj.

Rimarku, ke la ĉi-supraĵo ne estas ekvivalenta al egaleco de du aroj de grando 2:

\{a_{1},b_{1}\}=\{a_{2},b_{2}\}\iff \left((a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2})\lor (a_{1}=b_{2}\land a_{2}=b_{1})\right)

Je la egaleco de orditaj duopoj, la ordo gravas; je la egaleco de duelementaj aroj, la ordo ne gravas.

Formaligo

Ordinare, la matematiko estas fondita sur formale aksiomigita aroteorio, en kiu la koncepto de ordita duopo ne estas fundamenta, sed difinita per la koncepto de aroj.

Per aroj, la koncepto de la ordita duopo estas difinebla plurmaniere. Unu ofte uzata elekto estas la propono de pola matematikisto Kazimierz Kuratowski, jene:

(a,b)\,{\overset {\text{def}}{=}}\,\{\{a\},\{a,b\}\}

.

Aliaj difinoj ankaŭ eblas: ekzemple, jen la difino de Norbert Wiener:

(a,b)_{\text{Wiener}}\,{\overset {\text{def}}{=}}\,\{\{\{a\},\varnothing \},\{\{b\}\}\}

.

Ajna difino sufiĉas, se ĝi plenumas la difinantan kondiĉon de la ordita duopo.

Ekzemploj

Ekzemple, punkto sur eŭklida ebeno $\mathbb {R} ^{2}$ estas rigardebla kiel ordita duopo. Per kartezia koordinatsistemo, ĉiu punkto estas specifita per du nombroj $x$ kaj $y$ ; du punktoj $(x,y)$ kaj $(x',y')$ estas samaj se kaj nur se iliaj $x$ -koordinatoj estas samaj inter si kaj iliaj $y$ -koordinatoj estas samaj inter si. Tial, egaleco de la punktoj estas ekvivalenta al egaleco de la ordita duopo de la $x$ - kaj $y$ -koordinatoj, kaj fakte punkto en $\mathbb {R} ^{2}$ estas rigardebla kiel ordita duopo de du reeloj.