Furiera transformo

La furiera transformo aŭ transformo de Fourier, nomita honore al Joseph Fourier, estas integrala transformo , kiu esprimas funkcion per terminoj de sinusaj bazaj funkcioj, kio estas kiel sumo aŭ integralo de sinusaj funkcioj multiplikitaj per iuj koeficientoj ("argumentoj"). Estas multaj proksime rilatantaj variaĵoj de ĉi tiu transformo, resumitaj pli sube, dependantaj de la tipo de la transform-funkcio. Vidu ankaŭ en Listo de fourier-rilatantaj transformoj.

Difino

Laŭ ĝia difino, la kontinua furiera transformo ${\mathcal {F}}$ estas operacio, kiu transformas integraleblan funkcion $f\$ de aro $\mathbb {R}$ al alia funkcio ${\mathcal {F}}(f)={\hat {f}}$, priskribanta frekvencan spektron de tiu lasta, laŭ la formulo:

${\mathcal {F}}(f):\xi \mapsto {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,e^{-i\xi x}\,dx$     por ĉiu reela nombro $\xi$ .

Eblas elekti aliajn difinojn por Furiera transformo. Tiuj elektoj dependas de praktikaj konvencioj, ĝenerale ili malsamas nur per nombra konstanto. Ekzemple, iuj sciencistoj uzas tiajn:

${\mathcal {F}}(f):\nu \mapsto {\hat {f}}(\nu )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\,e^{-i2\pi \nu t}\,dt\ ,$

kie t estas tempo (en s), kaj $\nu$ frekvenco (en s⁻¹). Iuj elektronikistoj aŭ fizikistoj uzas (pro simetrikialo rilate al la inversa Furiera transformo) la sekvantan formulon:

${\mathcal {F}}(f):\omega \mapsto {\hat {f}}(\omega )={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt$

kun t la tempo (en sekundoj), kaj $\omega$ la angula frekvenco (en rad.s⁻¹).

Aplikoj

Furieraj transformoj havas multajn sciencajn aplikojn — en fiziko, nombroteorio, kombinatoriko, signal-prilaborado, teorio de probabloj, statistiko, ĉifriko, akustiko, oceanografio, optiko, geometrio, kaj aliaj areoj. En signal-prilaborado kaj rilatantaj kampoj, la Furiera transformo estas tipe konsiderata malkomponi signalon en ties komponantajn frekvencojn kaj argumentoj. Ĉi tiu larĝa aplikebleco estas pro kelkaj utilaj proprecoj de la transformoj:

• La transformoj estas linearaj operatoroj kaj, post pozitiva normaligo, estas unuargumenta, kun bonaj proprecoj priskribitaj per la teoremo de Parseval aŭ, pli ĝenerale, la teoremo de Plancherel, kaj plej ĝenerale tra Pontryagin-a duvarianteco.

• La transformoj estas inversigeblaj, kaj fakte la inversa transformo havas preskaŭ la saman formon kiel la antaŭan transformon.

• La sinusaj bazaj funkcioj estas propraj funkcioj de diferencialado, kio signifas, ke tiu prezento transformas linearajn diferencialajn ekvaciojn kun konstantaj koeficientoj en ordinarajn algebrajn aĵojn. (Ekzemple, en lineara tempo-invarianta fizika sistemo, frekvenco estas konservita kvanto, do la konduto je ĉiu frekvenco povas esti solvita sendepende.)

• Per la ruluma teoremo, Furieraj transformoj aliformas la komplikan ruluman operacion en simplan multiplikon, kio signifas, ke ili provizas kompetentan manieron komputi rulumo-bazitajn operaciojn kiel polinoma multiplikado kaj multiplikado de grandaj nombroj.

• La diskreta versio de la furiera transformo (vidi pli sube) povas esti pritaksita rapide per komputilo uzante algoritmon de rapida furiera transformo (angle,FFT, pri Fast Fourier Transform).

Variantoj de la Furiera transformmo

Kontinua furiera transformo

Plej ofte, la senpreizigita termino "Furiera transformo" rilatas al la kontinua furiera transformo, pri iu ajn integralebla funkcio f(t) kiel sumo de eksponentaj funkcioj kun kompleksaj argumentoj kaj variablo la angula rapido, tio rezultas F(ω):

$f(t)={\mathcal {F}}^{-1}(F)(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega .$

La origina funkcio f(t) obteniĝas per la inversa kontinua furiera transformo de la furiera transformo F(ω); la origina funkcio kaj ĝia transformo estas iam nomata transformo-paro.

Kiam f(t) estas para aŭ nepara funkcio, ĝia transformo estas respektive kosinusa transformo (kun kosinusaj termoj) aŭ sinusa transformo (kun sinusaj termoj). Alia grava kazo estas kiam f(t) estas pure reela funkcio, de kio sekvas, ke F(−ω) = F(ω)^*, kie ^* signifas kompleksan konjugiton. Similaj specialaj kazoj aperas ankaŭ pri aliaj variantoj de la Furiera transformo.

Furiera serio

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Vico de Fourier.

La kontinua transformo estas mem reela ĝeneraligo de pli frua koncepto, la serio de Fourier, kiu estas specifa al periodaj funkcioj f(x) (kun periodo $\scriptstyle [2\pi /n]$), kaj prezentas ĉi tiajn funkciojn per serio de sinusoidoj:

$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }F_{n}\,e^{inx},$

kie la $F_{n}$ estas la kompleksaj amplitudoj. Aŭ, por reela-valoraj funkcioj, la Furiera serio estas ofte skribita (fare de la eŭlera idento):

$f(x)={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\right],$

kie a_n kaj b_n estas la reelaj koeficientoj de la Furiera serio.

Diskreta furiera transformo

Por trakti per komputiloj, por scienca komputado kaj por cifereca signal-prilaborado, oni konsideras funkciojn per n specimenoj f_k (k=0 ĝis N-1) , kiuj estas difinitaj super diskretaj, anstataŭ kontinuaj, domajnoj, denove finiajn aŭ periodajn. En tiu kazo, oni uzas la diskretan Furieran transformon aŭ diskretan transformon de Fourier (DFT, angle discrete Fourier transform), kiu prezentas la termojn f_k kiel sumon de sinusoidoj:

$\mathrm {F} (k)=\sum _{n=0}^{\mathrm {N} -1}f(n)\cdot e^{-2i\pi k{\frac {n}{\mathrm {N} }}}\qquad {\text{kun}}\qquad 0\leqslant k<\mathrm {N} \,,$

kaj la inversa diskreta furiera transformo (IDFT) permesas starigi la originan signalon:

$f(n)={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}F(k)\cdot e^{2i\pi nk/N}\quad \quad n=0,\dots ,N-1$

kie F(k) estas la Fourier-aj amplitudoj de la tiel nomita spektro de la analizo.

Ju pli granda estas la muestro (aro da specimenoj), des pli alta estas la precizeco de la analizo. Eblas pliigi la nombron de punktoj:

• Pliigante la oftecon de specimenoj, sed tio havas koston en terminoj de aparataro-rimedoj.
• Farante interpoladon.

Tio estas farita per la tekniko de realigo de nuloj, pri kiu la signalo $f(n)$ ampleksiĝas per $\mathrm {P}$ nuloj. La nombro de punktoj de la analizo estas sekve pliigita, sed la nombro de signalpunktoj utilaj restas sama (kio ne sanĝas la solvadon). La nova difino estas:

$\mathrm {F} (k)=\sum _{n=0}^{\mathrm {N} +\mathrm {P} -1}f(n)\cdot e^{-2i\pi k{\frac {n}{\mathrm {N} +\mathrm {P} }}}=\sum _{n=0}^{\mathrm {N} -1}f(n)\cdot e^{-2i\pi k{\frac {n}{\mathrm {N} +\mathrm {P} }}}$

Oni ĉiam sumas la samajn valorojn de $f(n)$ (la $P$ aliaj estante nuloj), sed oni obtenas DFT-n de periodo $\mathrm {N} +\mathrm {P}$ anstataŭ simple $\mathrm {N}$: oni havas $\mathrm {P}$ kromajn punktojn por priskribi la saman DFT, oni do pliigis la precizecon. Tiu teĥniko estas uzata por akiri aron da punktoj $\mathrm {N} +\mathrm {P}$ en potenco de du, kaj povas uzi algoritmon de FFT.

Oni povas, sammaniere, fari la plenigaĵon de nuloj pri la spektro, por obteni, per inversa transformo, interpolon al super la originala signalo.

Ĉi tie la konsiderita frekvenco de la samploj estas1. Parolante laŭ reduktitaj frekvencoj (normigitaj rilate al la frekvenco de la samplado), la DFT estas priskribita por valoroj de la reduktita frekvenco, kiu varias de 0 ($k=0$) al 1 (por $k=\mathrm {N} +\mathrm {P}$).

Oni notu ke la diskreta furiera transformo estas rekte traktebla per komputilo, ĉar ĝi postulas finian kvanton da operacioj, kontraŭe al la serio aŭ la Furiera transformo Fourier, kiu postulas la kalkuladon de integraloj aŭ sumoj de vico. Tamen, la kalkulo de la DFT estas neniam implementado laŭ la difino donita ĉisupre, sed oni preferas uzi optimumigitajn algoritmojn, kiuj postulas malpli komputadan penon. La komputada tempo bezonata por la DFT kun la difino donita estas rekte proporcia al $N^{2}$, sed per optimumigitaj algoritmoj (uzataj per la rapida Furiera transformo, FFT) ĝi estas proporcia al $N\log _{2}(N)$, kaj tiam ju $N$ estas pli granda, des pli FFT interesas.

Krome, ĝi povas esti ĝeneraligita per translacio de la tempo kun faktoro $a$ kaj/aŭ de la frekvenco kun faktoro $b$.Tia kazo nomiĝas ĝeneraligita DFT aŭ GDFT, kaj ĝi havas la samajn proprecojn kiel la tradicia DFT:

$F(k)=\sum _{n=0}^{N-1}f(n)e^{-{\frac {2\pi i}{N}}(k+b)(n+a)}\quad \quad k=0,\dots ,N-1.$

Ofte uzatas translaciaj faktoroj $1/2$, ekzemple $a=1/2$ kondukas al antiperioda signalo en la frekvenca domajno, t. e. $F(k+N)=-F(k)$.

Referencoj

• (angle) A. Don/Doña Polyanin kaj A. V. Manzhirov, Gvidlibro de Integralaj Ekvacioj, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
• (angle) Forĝisto, Steven W. La Sciencisto kaj Inĝeniera Gvido al Cifereca Signalo-Procezo, 2-a redakcio. San Diego: Kalifornio Teknika Publikado, 1999. ISBN 0-9660176-3-3. (ankaŭ havebla rete: [1])

Vidu ankaŭ

• Analitiko de Fourier
• Harmona analitiko
• Serio de Fourier
• Karakteriza funkcio (probabloteorio)
• Nombro-teoria transformo
• Laplaca transformo
• Ondosimilaĵa transformo
• Perpendikularaj funkcioj
• Duflanka laplaca transformo

Eksteraj ligiloj

• (angle) Reta kalkulado Arkivigite je 2005-11-10 per la retarkivo Wayback Machine pri la transformo kaj la inversa transformo, wims.unice.fr
• (angle) Tabeloj de Integralaj transformoj je EqWorld: La Mondo de Matematikaj Ekvacioj.
• (angle) An Intuicia Ekspliko de Furiera Teorio Arkivigite je 2006-02-10 per la retarkivo Wayback Machine far Steven Lehar.