Teoremo de Stokes

En diferenciala geometrio, la teoremo de Stokes estas esprimo pri la integralado de diferenciala formo, kiu ĝeneraligas kelkajn teoremojn de vektora kalkulo.

Tiu termino originas de la nomo de Kavaliro George Gabriel Stokes (1819-1903), kvankam la unua sciata propozicio de la teoremo estis de William Thomson (Lord Kelvin) kaj aperis en letero de lia al Stokes. La teoremo akiris nomon de Stokes pro tio ke li inkluzivis ĝin en la premiaj ekzamenoj de Kembriĝo en 1854: li demandis la studentojn pruvi la teoremon dum ekzameno, ne estas sciate ĉu iu kapablis ĉi tion fari.

Estu M orientita popeca glata sternaĵo de dimensio n kaj estu ω la n-1 kompakte subtenata diferenciala formo sur M de klaso C¹. Se ∂M signifas la randon de M kun ĝia konkludita orientiĝo, tiam

$\int _{\Omega }\mathrm {d} \omega =\int _{\partial \Omega }\omega \ \ \left(=\oint _{\partial \Omega }\omega \right).\!\,$

Ĉi tie d estas la eksteraĵa derivaĵo, kiu estas difinita uzante nur la duktan strukturon. La teoremo povas esti konsiderata kiel ĝeneraligo de la fundamenta teoremo de kalkulo; kaj la lasta ja sekvas facile de la antaŭa.

La teoremo estas ofte uzita en situacioj kie M estas enigita orientita substernaĵo de iu pli granda sternaĵo sur kiu la formo ω estas difinita.

Surfaco Σ por teoremo de Kelvino-Stokes, la kurbo $\partial \Sigma$ baranta la surfacon kun direkto, kaj la normala vektoro n en iu punkto de la surfaco

La klasika teoremo de Kelvino-Stokes estas:

$\int _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot d\mathbf {\Sigma } =\int _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} \ ,$

kiu donas interrilaton de la surfaca integralo de kirlo de vektora kampo tra surfaco Σ en eŭklida 3-spaco al la kurba integralo de la vektora kampo tra rando de la surfaco.

Ĝi estas speciala kazo de la ĝenerala teoremo de Stokes (kun n=2).

Ĝi povas esti reskribita tiel :

$\iint \limits _{\Sigma }\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\,dydz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dzdx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dxdy=\oint \limits _{\partial \Sigma }P\,dx+Q\,dy+R\,dz$

kie P, Q kaj R estas la komponantoj de F.

Ĉi subaj variantoj estas ofte uzataj (g estas skalara kampo, F kaj G estas vektoraj kampoj):

$\int _{\Sigma }\left(g\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)+\left(\nabla g\right)\times \mathbf {F} \right)\cdot d\mathbf {\Sigma } =\int _{\partial \Sigma }g\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} \ ,$

$\int _{\Sigma }\left(\mathbf {F} \left(\nabla \cdot \mathbf {G} \right)-\mathbf {G} \left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {G} \cdot \nabla \right)\mathbf {F} -\left(\mathbf {F} \cdot \nabla \right)\mathbf {G} \right)\cdot d\mathbf {\Sigma } =\int _{\partial \Sigma }\left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)\cdot d\mathbf {r} \ \ .$

Ankaŭ la diverĝenca teoremo

$\int _{\mathrm {Vol} }\nabla \cdot \mathbf {F} \;d\mathrm {Vol} =\int _{\partial \mathrm {Vol} }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma }$

estas speciala kazo se identigi la vektoran kampon kun la n-1 formo ricevita de la vektora kampo kun la eŭklida volumena formo.

La fundamenta teoremo de kalkulo kaj teoremo de Green estas ankaŭ specialaj kazoj de la ĝenerala teoremo.

Vidu ankaŭ

• Vektora kalkulo
• Diverĝenca teoremo
• Gradienta teoremo
• Teoremo de Green

Eksteraj ligiloj

• pri la teoremo en ekzamenoj en Kembriĝo
• Pruvo de la teoremo en PlanetMath