Subaro

En matematiko, aparte en aroteorio, aro A estas subaro de aro B, se A estas "enhavata" ene de B. La interrilato de unu aro estante subaro de alia estas nomata kiel inkluziveco. Ĉiu aro estas subaro de si.

A estas subaro de B, kaj B estas superaro de A.

Pli formale, Se A kaj B estas aroj kaj ĉiu ero de A estas ankaŭ ero de B, tiam:

• A estas subaro de (aŭ estas inkluzivita en) B, skribata per A ⊆ B,

aŭ ekvivalente

• B estas superaro de (aŭ inkluziva) A, skribata per B ⊇ A.

Se A estas subaro de B, sed A estas ne egala al B, tiam A estas ankaŭ strikta (aŭ pozitiva) subaro de B. Ĉi tio estas skribita kiel A ⊂ B. En la sama vojo, B ⊃ A signifas ke B estas strikta superaro de A.

Simboloj ⊆ kaj ⊂ estas analoga al ≤ kaj <. Ekzemple, se A estas (larĝsenca) subaro de B (skribita kiel A ⊆ B), tiam la kvanto da eroj en A estas malpli ol aŭ egala al la kvanto da eroj en B (skribita kiel |A| ≤ |B|). Ankaŭ, por finiaj aroj A kaj B, se A ⊂ B tiam |A| < |B|.

Por ĉiu aro S, inkluziveco estas rilato sur la aro de ĉiuj subaroj de S.

Ekzemploj

• La aro {1, 2} estas pozitiva subaro de {1, 2, 3}.
• La aro de naturaj nombroj estas pozitiva subaro de la aro de racionalaj nombroj.
• La aro {x : x estas primo pli granda ol 2000} estas pozitiva subaro de {x : x estas nepara nombro pli granda ol 1000}
• Ĉiu aro estas subaro de si, sed ne pozitiva subaro.
• La malplena aro, skribita ø, estas ankaŭ subaro de ĉiu aro X. Malplena aro estas pozitiva subaro de ĉiuj aroj krom si.