Πίνακας αληθείας

Στην λογική, ένας πίνακας αληθείας είναι ένας πίνακας από τιμές μηδέν (ψευδές) ή ένα (αληθές), που δίνει τις τιμές μίας λογικής πρότασης για όλες τις δυνατές τιμές των μεταβλητών που περιέχει.^[1]^:2^[2]^[3]^:33^[4]

Ο πίνακας αληθείας αποτελείται από στήλες που περιέχουν όλες τις μεταβλητές και το αποτέλεσμα ενώ οι γραμμές του περιέχουν όλους τους δυνατούς συνδυασμούς των τιμών των μεταβλητών. Για παράδειγμα, την λογική διάζευξη $p\lor q$ , οι δύο πρώτες στήλες είναι για τις μεταβλητές $p$ και $q$ , και η τελευταία για την τιμή της λογικής πρότασης:


$p$	$q$	$p\lor q$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Οι λογικοί πίνακες χρησιμοποιούνται για να αποδείξουν ότι δύο προτάσεις είναι ισοδύναμες. Αυτό χρησιμοποιείται ευρέως στην πληροφορική, για να επαληθευφθεί ότι δύο λογικά κυκλώματα είναι ισοδύναμα.

Πίνακες αληθείας για βασικούς λογικούς τελεστές

Παρακάτω δίνονται οι πίνακες αληθείας για τους βασικούς τελεστές στην λογική. Με $p$ και $q$ συμβολίζονται οι είσοδοι των τελεστών και $0$ είναι η ψευδής τιμή και $1$ η αληθής.

Λογική σύζευξη

Η λογική σύζευξη (που αντιστοιχεί στην λογική πύλη AND) δίνει έξοδο αληθή αν και οι δύο είσοδοι ( $p$ και $q$ ) είναι αληθής, διαφορετικά είναι ψευδή έξοδο.

Ο πίνακας αληθείας για την $p\land q$ (επίσης γράφεται $p\ \mathrm {AND} \ q$ , $K\ pq$ , $p\&q$ , ή $p\cdot q$ ) είναι ο παρακάτω:

Λογική σύζευξη (AND)
$p$	$q$	$p\land q$
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Λογική διάζευξη

Η λογική διάζευξη (που αντιστοιχεί στην λογική πύλη OR) δίνει αληθή έξοδο αν έστω και μία από τις δύο εισόδους ( $p$ και $q$ ) είναι αληθής. Όταν έχουμε δύο ψευδής εισόδους τότε δίνει ψευδή έξοδο.

Ο πίνακας αληθείας για την παράσταση $p\lor q$ (γράφεται επίσης $p\ \mathrm {OR} \ q$ , $A\ pq$ , $p||q$ , ή $p+q$ ) είναι ο παρακάτω:

Λογική διάζευξη (OR)
$p$	$q$	$p\land q$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Λογική συνεπαγωγή

Η λογική συνεπαγωγής, δίνει ψευδή τιμή μόνο στην περίπτωση που $p$ είναι αληθής και $q$ είναι ψευδής,

Ο λογικός πίνακας της συνεπαγωγής $p\Rightarrow q$ (γράφεται και $p\to q$ , $\mathrm {if} \ p\ \mathrm {then} \ q$ , ή $C\ pq$ ) είναι ο παρακάτω:

Λογική διάζευξη (OR)
$p$	$q$	$p\Rightarrow q$
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Η λογική συνεπαγωγή $p\to q$ είναι ισοδύναμη με $\neg p\lor q$ .

Λογική ισότητα

Η λογική ισότητας $p\Leftrightarrow q$ (η οποία συμβολίζεται και ως $p\ \mathrm {EQ} \ q$ , $p\leftrightarrow q$ , $\mathrm {E} \ pq$ , $p=q$ , ή $p\equiv q$ ), είναι αληθής εάν $p$ και $q$ είναι ισότιμα και ψευδής εάν $p$ και $q$ είναι διαφορετικά.

Λογική ισότητα (EQ)
$p$	$q$	$p\Rightarrow q$
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Λογική αποκλειστική διάζευξη

Η αποκλειστική διάζευξη δίνει αληθή τιμή όταν οι $p$ και $q$ είναι διαφορετικές και ψευδή τιμή όταν οι $p$ και $q$ είναι ομότιμες

Ο πίνακας αληθείας $p\oplus q$ (γράφεται και $p\ \mathrm {XOR} \ q$ , $J\ pq$ , ή $p\neq q$ ) είναι ο παρακάτω:

Λογική αποκλειστική διάζευξη (XOR)
$p$	$q$	$p\oplus q$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Λογική άρνηση

Η λογική άρνηση είναι ένας λογικός τελεστής με μία είσοδο που επιστρέφει την αντίθετη τιμή της εισόδου. Ο πίνακας αληθείας για την λογική άρνηση $\neg p$ (επίσης συμβολίζεται ως ${\overline {p}}$ , $\mathrm {NOT} \ p$ , $\sim P$ ) είναι ο εξής:

Λογική άρνηση (NOT)
$p$	$\neg p$
0	1
1	0

Λογική πύλη NAND

Η λογική πύλη NAND δίνει το αποτέλεσμα της λογικής σύζευξηςη αντεστραμμένο, δηλαδή δίνει αληθή τιμή όταν τουλάχιστον μία είσοδος είναι ψευδής και ψευδή τιμή όταν και οι δύο είσοδοι είναι αληθείς.

Ο πίνακας αληθείας της πρότασης $p\ \mathrm {NAND} \ q$ (γράφεται και $p\uparrow q$ , $\mathrm {D} \ pq$ , ή $p\|q$ ) είναι ο παρακάτω:

Λογική σύζευξη (AND)
$p$	$q$	$p\uparrow q$
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Εφαρμογές

Απόδειξη ταυτοτήτων

Οι λογικοί πίνακες χρησιμοποιούνται συχνά για την απόδειξη ότι δύο λογικές προτάσεις είναι ισοδύναμες. Για παράδειγμα, ο παρακάτω πίνακας αποδεικνύει τον πρώτο τύπο Ντε Μόργκαν, δηλαδή ότι η πρόταση $\neg (P\wedge Q)$ είναι ισοδύναμη με την $\neg P\vee \neg Q$ .

$P$	$Q$	$P\wedge Q$	$\neg (P\wedge Q)$	$\neg {P}$	$\neg Q$	$\neg {P}\vee \neg {Q}$
$0$	$0$	$0$	$1$	$1$	$1$	$1$
$0$	$1$	$0$	$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$0$	$1$	$0$	$1$	$1$
$1$	$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

wiktionary logo

Το Βικιλεξικό έχει σχετικό λήμμα:
πίνακας αληθείας

Πολυμέσα σχετικά με το θέμα Truth tables στο Wikimedia Commons
Κατασκευαστής πίνακων αληθείας από το Πανεπιστήμιο του Τέξας
Κατασκευαστής πινάκων αληθείας από το Πανεπιστήμιο Στάνφορντ
Διαδραστική εφαρμογή για πίνακες αληθείας και λογικές πύλες από το Φωτόδεντρο
Λογικές πύλες στο Geogebra

Παραπομπές

↑ Paulson, Lawrence C. «Logic and Proof» (PDF).
↑ Uzquiano, Gabriel (2024). «Introduction to Logic». USC Dornsife.
↑ Βάρσος, Δ. (2023). Θεμελιώδεις Έννοιες των Μαθηματικών. Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. doi:10.57713/kallipos-206.
↑ Κολουντζάκης, Μιχαήλ· Παπαχριστόδουλος, Χρήστος (2015). Διακριτά Μαθηματικά. Αθήνα: Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. ISBN 978-960-603-361-2.

[1] Paulson, Lawrence C. «Logic and Proof» (PDF).

[2] Uzquiano, Gabriel (2024). «Introduction to Logic». USC Dornsife.

[3] Βάρσος, Δ. (2023). Θεμελιώδεις Έννοιες των Μαθηματικών. Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. doi:10.57713/kallipos-206.

[4] Κολουντζάκης, Μιχαήλ· Παπαχριστόδουλος, Χρήστος (2015). Διακριτά Μαθηματικά. Αθήνα: Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. ISBN 978-960-603-361-2.

[1]

[2]

[3]

[4]