Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Χρήστης:Projethomere/πρόχειρο

{{πρόχειρο χρήστη}}<br>

[https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A7%CF%81%CE%AE%CF%83%CF%84%CE%B7%CF%82:Projethomere/%CF%80%CF%81%CF%8C%CF%87%CE%B5%CE%B9%CF%81%CE%BF_(%CE%B1%CF%80%CE%BF%CF%83%CE%B1%CF%86%CE%AE%CE%BD%CE%B9%CF%83%CE%B7) Χρήστης:Projethomere/πρόχειρο (αποσαφήνιση)]


==Ἀλλο θέμα==
* [[Ωκεανίδες]]
* [[Εθνική Πινακοθήκη-Μουσείο Αλεξάνδρου Σούτζου]]
* [[Μουσείο Καλούστ Γκιουλμπενκιάν]]
* [[:en:Alpheus (deity)]]
* [[Κλάρος]]
* [[Κύλιξ]]

* [https://en.wikipedia.org/wiki/User_talk:Projethomere]

==θέματα για διόρθωση==
* [[Τηθύς]]
* [[Νέμεσις]]
* [[Ευφροσύνη (μυθολογία)]]
* [[Αριστοφάνης ο Βυζάντιος]] infobox person
* [[Πτώον όρος]]
* [[Άγαλμα του Ολυμπίου Διός]]

* [[Virtual International Authority File]] ελ.
* [[Βίλνιους]]

==Θέμα επεξεργασίας==

[[:en:Widener Library]]<BR>
[[:fr:Liste des universités au Royaume-Uni]] 
<br>[[:en:Category:Digital libraries by country]]<BR>
[[:en:International Mathematical Union|Διεθνή Μαθηματική Ένωση]]
<br>[[:en:Lorenz system]]<br>  
<br> 
<br> [[:en:External ray]]   '''Εξωτερική ακτίνα'''  [[Πύλη:Μαθηματικά]]
<br>[[:en:Udo of Aachen]]  '''Ούντο οφ Άαχεν'''
<br>
<br> [[:en:Dual space]]     '''Δυϊκός χώρος''' 
<br> [[:en:Minor (linear algebra)]]  '''Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)'''
<br> 
<br>

==Νέο θέμα==
Στη [[γραμμική άλγεβρα]], ο '''ελάσσων''' ενός πίνακα '''Α''' είναι η [[Ορίζουσα]] ενός μικρότερου τετραγωνικού πίνακα, ο οποίος κόβεται από τον '''Α''' αφαιρώντας μία ή περισσότερες από τις γραμμές και τις στήλες του. Οι ελάσσονες που προκύπτουν με την αφαίρεση μόνο μιας γραμμής και μιας στήλης από τους τετραγωνικούς πίνακες ('''πρώτοι ελάσσονες''') χρειάζονται για τον υπολογισμό των συμπαράγοντων των πινάκων, οι οποίοι με τη σειρά τους είναι χρήσιμοι για τον υπολογισμό του προσδιοριστή και του [[Αντιστρέψιμος πίνακας|αντιστρόφου]] των τετραγωνικών πινάκων. Η συνθήκη ότι ο τετραγωνικός πίνακας πρέπει να είναι μικρότερος από τον αρχικό πίνακα συχνά παραλείπεται από τον ορισμό.

==Ορισμός και απεικόνιση==
===Πρώτοι ελάσσονες===
Αν ο '''Α''' είναι τετραγωνικός πίνακας, τότε το ελάσσον της εγγραφής στην i th γραμμή και j th στήλη (που ονομάζεται επίσης (i, j) ελάσσον ή πρώτο ελάσσον<ref>Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) ''[https://books.google.com/books?id=BhgPAAAAIAAJ&pg=PA239 Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form]''.</ref>) είναι η [[ορίζουσα]] του υποπίνακα που σχηματίζεται με τη διαγραφή της i th γραμμής και της j th στήλης. Ο αριθμός αυτός συμβολίζεται συχνά ως ''M''<sub>''i,j''</sub>. Ο (''i'', ''j'') ''συντελεστής'' προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό του δευτερεύοντος επί <math>(-1)^{i+j}</math>.

Για να παρουσιάσουμε αυτούς τους ορισμούς, ας θεωρήσουμε τον ακόλουθο πίνακα 3 επί 3,

:<math>\begin{bmatrix}
1 & 4 & 7 \\
3 & 0 & 5 \\
-1 & 9 & 11 \\
\end{bmatrix}</math>

Για τον υπολογισμό του δευτερεύοντος ''M''<sub>2,3</sub>  και του συμπαράγοντα ''C''<sub>2,3</sub>, βρίσκουμε την ορίζουσα του παραπάνω πίνακα με την αφαίρεση της γραμμής 2 και της στήλης 3.

:<math> M_{2,3} = \det \begin{bmatrix}
1    & 4    & \Box \\
\Box & \Box & \Box \\
-1   & 9    & \Box \\
\end{bmatrix}= \det \begin{bmatrix}
1 & 4 \\
-1 & 9 \\
\end{bmatrix} = 9-(-4) = 13</math>

Έτσι, ο συμπαράγοντας της εισόδου (2,3) είναι

:<math>\ C_{2,3} = (-1)^{2+3}(M_{2,3}) = -13.</math>

==Γενικός ορισμός==

Έστω '''A''' ένας ''m''&thinsp;×&thinsp;''n'' πίνακας και ''k'' ένας [[ακέραιος αριθμός]] με 0 < ''k'' ≤ ''m'' και k ≤ n. Ένας ''k''&thinsp;×&thinsp;''k'' ελάσσων του '''A''', που ονομάζεται επίσης Ελάσσονα ορίζουσα της τάξης ''k'' του '''A''' ή, αν  ''m'' = ''n'', (''n''−''k'')''th ''Ελάσσονα ορίζουσα του '''''A''' (''η λέξη ''"ορίζουσα" ''συχνά παραλείπεται και η λέξη ''"βαθμός" ''χρησιμοποιείται μερικές φορές αντί της ''"τάξης") ''είναι η ''ορίζουσα ενός k&thinsp;×&thinsp;k'' πίνακα που λαμβάνεται από τον'' '''A''' ''με τη διαγραφή n''−''k''  γ''ραμμών και n''−''k στηλών. Μερικές φορές ο όρος χρησιμοποιείται για να αναφερθεί στον ''k&thinsp;×&thinsp;k'' πίνακα που λαμβάνεται από τον'' '''Α''' ''όπως παραπάνω ''(διαγράφοντας ''n''−''k'' γραμμές και ''n''−''k ''στήλες),'' αλλά αυτός ο πίνακας πρέπει να αναφέρεται ως ένας ''(τετραγωνικός) ''υποπίνακας του '''''Α''', ''αφήνοντας τον όρο ''" ελάσσων" ''να αναφέρεται στην ορίζουσα αυτού του πίνακα. Για έναν πίνακα '''''A''' ''όπως παραπάνω, υπάρχουν συνολικά ''<math display="inline">{m \choose k} \cdot {n \choose k}</math> ''ελάσσονες μεγέθους k''&thinsp;×&thinsp;''k''.'' Ο ελάσσων μηδενικής τάξης ορίζεται συχνά ως ''1.'' Για έναν τετραγωνικό πίνακα, ο μηδενικός δευτερεύων είναι απλώς η ορίζουσα του πίνακα''<ref name="Hohn">Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1 </ref><ref name="Encyclopedia of Mathematics" />.''

Έστω <math>1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le m</math> και <math>1 \le j_1 < j_2 < \cdots < j_k \le n</math> να είναι διατεταγμένες ακολουθίες (σε φυσική σειρά, όπως υποτίθεται πάντα όταν μιλάμε για ελάσσονες, εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά) δεικτών, ονομάστε τις ''I'' και ''J'', αντίστοιχα. Το ελάσσον <math display="inline">\det \left( (A_{i_p, j_q})_{p,q = 1, \ldots, k} \right)</math> που αντιστοιχεί σε αυτές τις επιλογές δεικτών συμβολίζεται <math>\det_{I,J} A</math> ή <math>\det A_{I, J}</math> ή <math>[A]_{I,J}</math> or <math>M_{I,J}</math> ή <math>M_{i_1, i_2, \ldots, i_k, j_1, j_2, \ldots, j_k}</math> or <math>M_{(i),(j)}</math> (όπου το <math>(i)</math> δηλώνει την ακολουθία των δεικτών ''I'', κ.λπ.), ανάλογα με την πηγή. Επίσης, υπάρχουν δύο τύποι ονομασιών που χρησιμοποιούνται στη βιβλιογραφία: με το δευτερεύον που σχετίζεται με διατεταγμένες ακολουθίες δεικτών ''I'' και ''J'', ορισμένοι συγγραφείς <ref>Linear Algebra and Geometry, Igor R. Shafarevich,  Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9</ref> 
εννοούν την ορίζουσα του πίνακα που σχηματίζεται όπως παραπάνω, παίρνοντας τα στοιχεία του αρχικού πίνακα από τις γραμμές των οποίων οι δείκτες βρίσκονται στο ''I'' και τις στήλες των οποίων οι δείκτες βρίσκονται στο ''J'', ενώ κάποιοι άλλοι συγγραφείς εννοούν με τον μικρό που συνδέεται με τα ''I'' και ''J'' την ορίζουσα του πίνακα που σχηματίζεται από τον αρχικό πίνακα διαγράφοντας τις γραμμές στο ''I'' και τις στήλες στο ''J''.<ref name="Hohn" /> Ποιος συμβολισμός χρησιμοποιείται θα πρέπει πάντα να ελέγχεται από την εκάστοτε πηγή. Σε αυτό το άρθρο, χρησιμοποιούμε τον περιεκτικό ορισμό της επιλογής των στοιχείων από τις γραμμές του ''I'' και τις στήλες του ''J''. Η εξαιρετική περίπτωση είναι η περίπτωση της πρώτης ελάσσονος ή της (''i'', ''j'')-ελάσσονος που περιγράφηκε παραπάνω- στην περίπτωση αυτή, η αποκλειστική έννοια <math display="inline">M_{i,j} = \det \left( \left( A_{p,q} \right)_{p \neq i, q \neq j} \right)</math> είναι συνηθισμένη παντού στη βιβλιογραφία και χρησιμοποιείται και σε αυτό το άρθρο.

===Συμπλήρωμα===

Το συμπλήρωμα, ''B<sub>ijk...,pqr...</sub>'', ενός ελάσσονος, ''M<sub>ijk...,pqr...</sub>'', από έναν τετραγωνικό πίνακα, A, σχηματίζεται από τον προσδιοριστή του πίνακα A από τον οποίο έχουν αφαιρεθεί όλες οι γραμμές (''ijk...'') και οι στήλες (''pqr...'') που σχετίζονται με τον ''M<sub>ijk...,pqr...</sub>'' Το συμπλήρωμα της πρώτης ελάσσονος ενός στοιχείου aij είναι απλώς το στοιχείο αυτό<ref>Bertha Jeffreys, [https://books.google.com/books?id=Qs-xdYBQ_5wC&pg=PA135 ''Methods of Mathematical Physics''], p.135, Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-66402-0.</ref>.

==Εφαρμογές των μειζόνων και των συμπαράγοντων==

===Συντελεστής επέκτασης της ορίζουσας===
Οι συντελεστές έχουν εξέχουσα θέση στον τύπο του [[Πιερ-Σιμόν ντε Λαπλάς|Λαπλάς]] για το ανάπτυγμα των οριζουσών, που είναι μια μέθοδος υπολογισμού μεγαλύτερων οριζουσών ως προς τις μικρότερες. Δεδομένου ενός {{nowrap|''n''&thinsp;×&thinsp;''n''}} πίνακα <math>A = (a_{ij})</math>, ο προσδιοριστής του ''A'', που συμβολίζεται με det(''A''), μπορεί να γραφεί ως το άθροισμα των συντελεστών κάθε γραμμής ή στήλης του πίνακα πολλαπλασιασμένο με τις εγγραφές που τις δημιούργησαν. Με άλλα λόγια, ορίζοντας <math>C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}</math> τότε το ανάπτυγμα του συμπαράγοντα κατά μήκος της ''j''-th στήλης δίνει:

:<math>\ \det(\mathbf A) = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + a_{3j}C_{3j} + \cdots + a_{nj}C_{nj} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}(-1)^{i+j} M_{ij}  </math>

Το ανάπτυγμα του συντελεστή κατά μήκος της ''i''th  γραμμής δίνει:

:<math>\ \det(\mathbf A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + a_{i3}C_{i3} + \cdots + a_{in}C_{in} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} =\sum_{j=1}^{n} a_{ij} (-1)^{i+j} M_{ij} </math>

==Αντιστρέψιμος πίνακας== 
Κύριο άρθρο : [[Αντιστρέψιμος πίνακας]]

Μπορεί κανείς να γράψει τον αντίστροφο ενός αντιστρέψιμου πίνακα υπολογίζοντας τους συντελεστές του χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Κραμέρ, ως εξής. Ο πίνακας που σχηματίζεται από όλους τους συντελεστές ενός τετραγωνικού πίνακα '''A''' ονομάζεται πίνακας συντελεστών (επίσης ονομάζεται πίνακας συντελεστών ή, μερικές φορές, πίνακας comatrix):

:<math>\mathbf C=\begin{bmatrix}
    C_{11}  & C_{12} & \cdots &   C_{1n}   \\
    C_{21}  & C_{22} & \cdots &   C_{2n}   \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    C_{n1}  & C_{n2} & \cdots &  C_{nn}
\end{bmatrix} </math>

Τότε ο αντίστροφος του '''Α'''' είναι ο μεταθετικός πίνακας του συμπαράγοντα επί το αντίστροφο του προσδιοριστή του '''Α''':

:<math>\mathbf A^{-1} = \frac{1}{\operatorname{det}(\mathbf A)} \mathbf C^\mathsf{T}.</math>

Ο αντιμεταθετικός πίνακας του συμπαράγοντα ονομάζεται συγγενής πίνακας (επίσης ονομάζεται ''κλασικός συγγενής'') του '''A'''.

Ο παραπάνω τύπος μπορεί να γενικευτεί ως εξής: Έστω <math>1 \le i_1 < i_2 < \ldots < i_k \le n</math> και <math>1 \le j_1 < j_2 < \ldots < j_k \le n</math> διατεταγμένες ακολουθίες (με φυσική σειρά) δεικτών (εδώ '''A''' είναι ένας ''n''&thinsp;×&thinsp;''n'' πίνακας). Τότε <ref name="Prasolov1994">{{cite book|author=Viktor Vasil_evich Prasolov|title=Problems and Theorems in Linear Algebra|url=https://books.google.com/books?id=b4yKAwAAQBAJ&pg=PR15|date=13 June 1994|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-0-8218-0236-6|pages=15–}}</ref>

:<math>[\mathbf A^{-1}]_{I,J} = \pm\frac{[\mathbf A]_{J',I'}}{\det \mathbf A},</math>

όπου ''I′'', ''J′'' συμβολίζουν τις διατεταγμένες ακολουθίες δεικτών (οι δείκτες είναι σε φυσική σειρά μεγέθους, όπως παραπάνω) συμπληρωματικές των ''I'', ''J'', έτσι ώστε κάθε δείκτης 1, ... , ''n'' εμφανίζεται ακριβώς μία φορά είτε στο ''I'' είτε στο ''I′'', αλλά όχι και στα δύο (ομοίως για τα ''J'' και ''J′'') και <math>[\mathbf A]_{I,J}</math> συμβολίζει τον προσδιοριστή του υποπίνακα του '''A'''' που σχηματίζεται επιλέγοντας τις γραμμές του συνόλου δεικτών ''I'' και τις στήλες του συνόλου δεικτών ''J''. Επίσης, <math>[\mathbf A]_{I,J} = \det \left( (A_{i_p, j_q})_{p,q = 1, \ldots, k} \right)</math>. Μια απλή απόδειξη μπορεί να δοθεί χρησιμοποιώντας το σφηνοειδές γινόμενο. Πράγματι,

:<math>[\mathbf A^{-1}]_{I,J}(e_1\wedge\ldots \wedge e_n) = \pm(\mathbf A^{-1}e_{j_1})\wedge \ldots \wedge(\mathbf A^{-1}e_{j_k})\wedge e_{i'_1}\wedge\ldots \wedge e_{i'_{n-k}}, </math>

όπου <math>e_1, \ldots, e_n</math> είναι τα διανύσματα βάσης. Ενεργώντας με το '''A''' και στις δύο πλευρές, έχουμε

:<math>[\mathbf A^{-1}]_{I,J}\det \mathbf A (e_1\wedge\ldots \wedge e_n) = \pm (e_{j_1})\wedge \ldots \wedge(e_{j_k})\wedge (\mathbf A e_{i'_1})\wedge\ldots \wedge (\mathbf A e_{i'_{n-k}})=\pm [\mathbf A]_{J',I'}(e_1\wedge\ldots \wedge e_n). </math>

Το πρόσημο μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: <math>(-1)^{ \sum_{s=1}^{k} i_s - \sum_{s=1}^{k} j_s}</math>, οπότε το πρόσημο καθορίζεται από τα αθροίσματα των στοιχείων στα ''I'' και ''J''.

===Άλλες εφαρμογές===
Δεδομένου ενός ''m''&thinsp;×&thinsp;''n'' πίνακα με καταχωρήσεις [[πραγματικός αριθμός]] (ή καταχωρήσεις από οποιοδήποτε άλλο πεδίο (μαθηματικά) και βαθμό (θεωρία πινάκων) ''r'', τότε υπάρχει τουλάχιστον ένας μη μηδενικός ''r''&thinsp;×&thinsp;''r'' δευτερεύων, ενώ όλοι οι μεγαλύτεροι δευτερεύοντες είναι μηδενικοί.

Θα χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο συμβολισμό για τις ελάσσονες: αν ο '''Α''' είναι ένας πίνακας ''m''&thinsp;×&thinsp;''n'', το ''Ι'' είναι ένα υποσύνολο του {1,...,''m''} με ''k'' στοιχεία, και το ''J'' είναι ένα υποσύνολο του {1,...,''n''} με ''k'' στοιχεία, τότε γράφουμε ['''A''']<sub>''I'',''J''</sub> για την ''k''&thinsp;×&thinsp;''k'' ελάσσονη του '''Α''' που αντιστοιχεί στις γραμμές με δείκτη στο ''Ι'' και στις στήλες με δείκτη στο J.

* Αν ''I'' = ''J'', τότε ['''A''']<sub>''I'',''J''</sub> ονομάζεται ''κύρια ελάσσονα''.
* Εάν ο πίνακας που αντιστοιχεί σε ένα κύριο δευτερεύον είναι ένας τετραγωνικός άνω αριστερός [[Πίνακας (μαθηματικά)#Υποπίνακας|υποπίνακας]] του μεγαλύτερου πίνακα (δηλαδή, αποτελείται από στοιχεία του πίνακα σε γραμμές και στήλες από το 1 έως το ''k'', επίσης γνωστός ως κορυφαίος κύριος υποπίνακας), τότε ο κύριος δευτερεύων ονομάζεται ''κορυφαίος κύριος δευτερεύων (τάξης k)'' ή ''γωνιακός (κύριος) δευτερεύων (τάξης k)''.<ref name="Encyclopedia of Mathematics">{{cite book |chapter=Minor |title=Encyclopedia of Mathematics |url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Minor&oldid=30176 }}</ref> Για έναν ''n''&thinsp;×&thinsp;''n'' τετραγωνικό πίνακα, υπάρχουν ''n'' κορυφαία κύρια ελάσσονες. 
* Ένα ''βασικό ελάσσων'' ενός πίνακα είναι ο προσδιοριστής ενός τετραγωνικού υποπίνακα μέγιστου μεγέθους με μη μηδενικό προσδιοριστή.<ref name="Encyclopedia of Mathematics" />
* Για τους Ερμιτιανούς πίνακες, τα κορυφαία κύρια ελάχιστα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον έλεγχο της θετικής οριστικότητας και τα κύρια ελάχιστα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον έλεγχο της θετικής ημι-οριστικότητας. Δείτε το κριτήριο του Σιλβέστερ για περισσότερες λεπτομέρειες.

Τόσο ο τύπος για τον συνηθισμένο πολλαπλασιασμό πινάκων όσο και ο τύπος των Κωσύ-Μπινέ για τον προσδιοριστή του γινομένου δύο πινάκων είναι ειδικές περιπτώσεις της ακόλουθης γενικής δήλωσης για τα ελάσσονες ενός γινομένου δύο πινάκων.
Ας υποθέσουμε ότι '''A''' είναι ένας ''m''&thinsp;×&thinsp;''n'' πίνακας, '''B''' είναι ένας ''n''&thinsp;×&thinsp;''p'' πίνακας, ''I'' είναι ένα [[υποσύνολο]] του {1,. ..,''m''} με ''k'' στοιχεία και ''J'' είναι ένα υποσύνολο του {1,...,''p''} με ''k'' στοιχεία. Τότε
:<math>[\mathbf{AB}]_{I,J} = \sum_{K} [\mathbf{A}]_{I,K} [\mathbf{B}]_{K,J}\,</math>
όπου το άθροισμα επεκτείνεται σε όλα τα υποσύνολα ''K'' του {1,...,''n''} με ''k'' στοιχεία. Ο τύπος αυτός είναι μια απλή επέκταση του τύπου Κωσύ-Μπινέ.

==Προσέγγιση πολυγραμμικής άλγεβρας==

Μια πιο συστηματική, αλγεβρική αντιμετώπιση των ελάσσονων δίνεται στην [[πολυγραμμική άλγεβρα]], χρησιμοποιώντας το προϊόν της σφήνας: οι ''k''-ελάσσονες ενός πίνακα είναι οι καταχωρήσεις στον ''k''-οστό εξωτερικό χάρτη δύναμης.

Αν οι στήλες ενός πίνακα σφηνωθούν ''k'' κάθε φορά, τα ''k''&thinsp;×&thinsp;''k''-μείοντα εμφανίζονται ως οι συνιστώσες των ''k''-διανυσμάτων που προκύπτουν. Παραδείγματος χάριν, τα 2&thinsp;×&thinsp;2 minors του πίνακα

:<math>\begin{pmatrix}
1 & 4 \\
3 & \!\!-1 \\
2 & 1 \\
\end{pmatrix}</math>
είναι -13 (από τις δύο πρώτες σειρές), -7 (από την πρώτη και την τελευταία σειρά) και 5 (από τις δύο τελευταίες σειρές). Τώρα εξετάστε το σφηνοειδές γινόμενο
:<math>(\mathbf{e}_1 + 3\mathbf{e}_2 +2\mathbf{e}_3)\wedge(4\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_3)</math>
όπου οι δύο εκφράσεις αντιστοιχούν στις δύο στήλες του πίνακα μας. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του σφηνοειδούς γινομένου, δηλαδή ότι είναι διγραμμικός και αλλακτικός,
:<math>\mathbf{e}_i\wedge \mathbf{e}_i = 0,</math>
και αντισυμμετρικότητα, 
:<math>\mathbf{e}_i\wedge \mathbf{e}_j = - \mathbf{e}_j\wedge \mathbf{e}_i,</math>
μπορούμε να απλοποιήσουμε αυτή την έκφραση ως εξής
:<math> -13 \mathbf{e}_1\wedge \mathbf{e}_2 -7 \mathbf{e}_1\wedge \mathbf{e}_3 +5 \mathbf{e}_2\wedge \mathbf{e}_3</math>
όπου οι συντελεστές συμφωνούν με τους ελάσσονες που υπολογίστηκαν προηγουμένως.

==Μια παρατήρηση σχετικά με τη διαφορετική σημειογραφία==
Σε ορισμένα βιβλία, αντί του όρου ''συμπαράγοντας'' χρησιμοποιείται ο όρος ''συμπλήρωμα''.<ref>[[:en:Felix Gantmacher|Felix Gantmacher]], ''Theory of matrices'' (1st ed., original language is Russian), Moscow: State Publishing House of technical and theoretical literature, 1953, p.491,</ref>  Επιπλέον, συμβολίζεται ως '''A''''<sub>''ij''</sub> και ορίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως ο συμπαράγοντας:
::<math>\mathbf{A}_{ij} = (-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ij}</math>

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον συμβολισμό ο αντίστροφος πίνακας γράφεται ως εξής:
:<math>\mathbf{M}^{-1} = \frac{1}{\det(M)}\begin{bmatrix}
    A_{11}  & A_{21} & \cdots &   A_{n1}   \\
    A_{12}  & A_{22} & \cdots &   A_{n2}   \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    A_{1n}  & A_{2n} & \cdots &  A_{nn}
\end{bmatrix} </math>

Λάβετε υπόψιν ότι το συζυγής δεν είναι ρυθμίσιμος ή προσαρμόσιμος. Στη σύγχρονη ορολογία, το "προσκείμενο" ενός πίνακα αναφέρεται συχνότερα στον αντίστοιχο προσκείμενο τελεστή.

==Εξωτερικοί σύνδεσμοι==
* [http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/lecture-19-determinant-formulas-and-cofactors/ MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors] at Google Video, from MIT OpenCourseWare
* [http://planetmath.org/encyclopedia/Cofactor.html PlanetMath entry of ''Cofactors'']
* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Minor Springer Encyclopedia of Mathematics entry for ''Minor'']

==Δείτε επίσης==
*[[Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές]]
*[[Γκαουσιανή απαλοιφή]]
*[[Ταυτοτικός πίνακας]]

==Παραπομπές==
{{Reflist}}

{{Authority control}} 
{{Γραμμική Άλγεβρα}}
{{Portal bar|Μαθηματικά}} 
[[Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)]
[[Κατηγορία:Συλλογική νοημοσύνη]
[[Κατηγορία:Μετασχηματισμός (μαθηματικά)]



[[Κατηγορία:Φράκταλ] 
[[Κατηγορία:Δυναμικά συστήματα]
[[Κατηγορία:Πληροφοριακά συστήματα]








--------------------
{{authority control}
{{Portal bar|Βιογραφίες|Μαθηματικά}
{{DEFAULTSORT:Νονικοφ, Σεργκει}
[[Κατηγορία:Βραβεία μαθηματικών]
[[Κατηγορία:Μαθηματικοί αναλυτές]
[[Κατηγορία:Ρώσοι μαθηματικοί]
[[Κατηγορία:Μαθηματικοί του 19ου αιώνα]







{{Authority control}}
[[Κατηγορία:Γάλλοι χημικοί]
[[Κατηγορία:Βραβεία Νόμπελ]
[[Κατηγορία:Βραβευμένοι με Νόμπελ Φυσικής]



----------------------------------------------------------------------------------------------

{{Μαθηματικά-υποσέλιδο}}

{{Πρότυπο:Fields medalists}}
{{Πρότυπο:Abel Prize laureates}}
{{Πρότυπο:Wolf Prize in Mathematics}}

[[Κατηγορία:Ιστότοπος-επέκταση]
[[Κατηγορία:Ψηφιακές βιβλιοθήκες]


[[Κατηγορία: Κατηγορία:Γάλλοι εκδότες]
[[Κατηγορία:Εκδοτικοί οίκοι]



[[Κατηγορία:Μουσεία στο Παρίσι
[[Κατηγορία:Νομισματικά μουσεία




[[Κατηγορία:Ιλιάδα
[[Κατηγορία:Ήφαιστος

==Δείτε επίσης  ==
* [[Κατάλογος μεγαλύτερων βιβλιοθηκών]]
* [[Κατάλογος Εθνικών Βιβλιοθηκών]]
* [[Παγκόσμια Ψηφιακή Βιβλιοθήκη]]
* [[Europeana]]
*[[Ευρωπαϊκή Βιβλιοθήκη]]

==Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==
{{commonscat}}
*[https://www.culture.gov.ck/outputs/national-library/ Επίσημη ιστοσελίδα]

{{Σύγχρονες Ιστορικές Βιβλιοθήκες στην Ελλάδα}}

==Παραπομπές==
<references />

{{Εθνικές βιβλιοθήκες}}
{Authority control}} 

Κατηγορία:Εθνικές βιβλιοθήκες]]
[Κατηγορία:Βιβλιοθήκες στη Σαουδική Αραβία]]



[Κατηγορία:Ιστορικές βιβλιοθήκες]]
[Κατηγορία:Τορίνο]]



Κατηγορία:Βιβλιοθήκες ανά χώρα]]





Κατηγορία:Ψηφιακές βιβλιοθήκες]]




Κατηγορία:Ερευνητικά κέντρα ανά χώρα]]
Κατηγορία:Πανεπιστήμια ανά χώρα]]





{commonscat}}









--------

==Άλλο θἐμα==
[[:en:List of national and state libraries|List of national and state libraries]] <br>
[[:de:Liste der Nationalbibliotheken]]  <br>
[[:es:Anexo:Bibliotecas nacionales]]

[[Κατάλογος Εθνικών Βιβλιοθηκών]]


----------------------