Zernike-Polynom

Die Zernike-Polynome sind nach Frits Zernike benannte orthogonale Polynome, und spielen insbesondere in der geometrischen Optik eine wichtige Rolle.

Datei:ZernikePolynome.png

Zernikepolynome bis zur 4. Ordnung

Es gibt gerade und ungerade Zernike-Polynome. Die geraden Zernike-Polynome sind definiert durch:

$Z_{n}^{m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\phi )\!$

und die ungeraden durch

$Z_{n}^{-m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\phi ),\!$

wobei $m$ und $n$ nichtnegative ganze Zahlen sind für die gilt: $n\geq m$. $\phi$ ist der azimuthale Winkel im Bogenmaß und $\rho$ ist der normierte radiale Abstand.

Die Radialpolynome $R_{n}^{m}$ sind als

$R_{n}^{m}(\rho )=\!\sum _{k=0}^{(n-m)/2}\!\!\!{\frac {(-1)^{k}\,(n-k)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((n-m)/2-k)!}}\;\rho ^{n-2\,k}\quad {\mbox{wenn }}n-m{\mbox{ gerade ist}}$

und $R_{n}^{m}(\rho )=0$ wenn $n-m$ ungerade ist definiert.

Eigenschaften

Zernike Polynome können durch ein Produkt eines radiusabhängigen Teil $R_{n}^{m}$ und einen winkelabhängigen Teil $G^{m}$ dargestellt werden:

$Z_{n}^{\pm m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\cdot G^{m}(\phi )\!.$

Der winkelabhängige Teil hat die Eigenschaft, dass eine Rotation des Koordinatensystems um den Winkel $\alpha =2\pi /m$ die Form des Polynoms nicht ändert:

$G^{m}(\phi +\alpha )=G^{m}(\phi )\!.$

Der radiusabhängige Teil ist ein Polynom über $\rho$ vom Grad $n$, welches keine Potenz kleiner $m$ enthält. $R_{n}^{m}$ ist eine gerade (ungerade) Funktion, wenn $m$ gerade (ungerade) ist.

Der radiusabhängige Teil stellt einen Spezialfall der Jacobi-Polynome $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)$ dar.

$R_{n}^{m}(\rho )=(-1)^{(n-m)/2}\rho ^{m}P_{(n-m)/2}^{(m,0)}(1-2\rho ^{2})$

Die Reihe der radiusabhängigen Polynome beginnt mit

$R_{0}^{0}(\rho )=1$

$R_{1}^{1}(\rho )=\rho$

$R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1$

$R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}$

$R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho$

$R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3}$

$R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1$

$R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}$

$R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4}$

Allgemein ist $R_{n}^{n}(\rho )=\rho ^{n}$

Anwendungen

In der Optik werden die Zernike-Polynome dafür verwendet, um Wellenfronten zu repräsentieren, die wiederum die Abbildungsfehler von optischen Systemen beschreiben. Das findet z.B. in der adaptiven Optik Anwendung.

Seit einigen Jahren ist die Verwendung von Zernike-Polynomen auch in der Optometrie und Augenheilkunde üblich. Hier führen Abweichungen der Cornea bzw. der Linse gegenüber der idealen Form zu Abbildungsfehlern.

Referenzen

• Born and Wolf, "Principles of Optics", Oxford: Pergamon, 1970
• Eric W. Weisstein et al., "Zernike Polynomial", at MathWorld.