„Henkelzerlegung“ – Versionsunterschied
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Zeile 30:
''Es sei <math>f\colon M\to\R</math> eine <math>C^\infty</math>-Funktion mit genau einem kritischen Punkt in <math>f^{-1}(0)</math> und keinen weiteren kritischen Punkten in <math>f^{-1}(\left[-\epsilon,\epsilon\right])</math> (für ein geeignetes <math>\epsilon>0</math>). Dann entsteht <math>f^{-1}(\left[-\infty,\epsilon\right])</math> aus <math>f^{-1}(\left[-\infty,-\epsilon\right])</math> durch Ankleben eines <math>k</math>-Henkels, wobei <math>k</math> der Index des kritischen Punktes in <math>f^{-1}(0)</math> ist.''
Dieser Satz geht auf [[Stephen Smale]] zurück, der 1961 einen Beweis skizzierte und die Henkel-Zerlegung dann zum Beweis der [[Poincaré-Vermutung]] in Dimensionen <math>\ge 5</math> benutzte.<ref>Stephen Smale: ''Generalized Poincaré’s conjecture in dimensions greater than four.'' In: ''Annals of Mathematics.'' Band 74, Nummer 2, 1961, S. 391–406, {{JSTOR|1970239}}.</ref> [[John Milnor]] bewies in seinem Buch „Morse Theory“ eine schwächere Version, die besagt, dass <math>f^{-1}(\left[-\infty,\epsilon\right])</math> [[homotopieäquivalent]] zu dem aus <math>f^{-1}(\left[-\infty,-\epsilon\right])</math> durch Ankleben einer [[CW-Komplex|k-Zelle]] entstehenden Raum ist.<ref>[[John Willard Milnor|John Milnor]]: ''Morse theory. Based on lecture notes by M. Spivak and R. Wells'' (= ''Annals of Mathematics Studies.'' 51). Princeton University Press, Princeton NJ 1963.</ref> Ein vollständiger Beweis wurde 1963 von Palais gegeben.<ref>[[Richard Palais|Richard S. Palais]]: ''Morse theory on Hilbert manifolds.'' In: ''Topology.'' Band 2, Nummer 4, 1963, S. 299–340, {{DOI|10.1016/0040-9383(63)90013-2}}.</ref> vereinfachte Fassungen finden sich bei Fukui<ref>
== Niedrigdimensionale Beispiele ==
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