„Optimierungsproblem“ – Versionsunterschied

[[Datei:Optimalpunkt Optimalwert.jpg|mini|400x400px|Die Minimierung der Funktion <math>f(x) = (x-1)^2+2</math> ergibt den Optimalpunkt <math>x^\star=1</math> und den Optimalwert <math>v=2</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Nathan Sudermann-Merx |Titel=Einführung in Optimierungsmodelle |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2023 |ISBN=978-3-662-67380-5 |DOI=10.1007/978-3-662-67381-2}}</ref> ]]

 

: <math display="block">P:\qquad\min_x f(x)\quad\text{s. t.}\quad x\in M.</math>

Üblicherweise ist hierbei <math>P</math> in einen [[Raum (Mathematik)|Raum]] <math>V</math>, wie etwa den <math>\mathbb{R}^n</math>, eingebettet. In diesem Fall gelten <math>f:V\to \mathbb{R}</math>, <math>M\subseteq V</math> und <math>x\in V</math>. Die Schreibweise <math>\text{s. t.}</math> geht auf den englischen Ausdruck ''subject to'' zurück und bedeutet, dass bei der Suche nach der Lösung von <math>P</math> nur sogenannte ''zulässige Punkte <math>x\in M</math>'' infrage kommen. Da <math>\min</math> die Optimierungsrichtung angibt, läge in diesem Fall ein ''Minimierungsproblem'' vor. Bei einem ''Maximierungsproblem'' sind Lösungen <math>x</math> mit möglichst großen <math>f(x)</math> gesucht, aber dieser Fall lässt sich durch Negieren von <math>f</math> auf den vorigen zurückführen. Falls <math>P</math> lösbar ist, so gibt es mindestens einen ''Optimalpunkt'' <math>x^\star\in M</math> mit <math>f(x^\star) \le f(x)</math> für alle <math>x\in M</math> und einen eindeutigen ''Optimalwert'' <math>v=f(x^\star)</math>. Zu beachten ist, dass der Optimal''punkt'' in der Regel ein hochdimensionaler Vektor ist (zum Beispiel die optimale Route im Falle des Problems des Handlungsreisenden) und der Optimal''wert'' eine reelle Zahl ist (etwa die Länge der kürzesten Tour). Die zulässige Menge <math>M</math> von <math>P</math> wird in der Regel durch Gleichungen und Ungleichungen beschrieben und kann daher durch