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„Geometrisch endliche Gruppe“ – Versionsunterschied

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In der [[Geometrie]] wurde der Begriff '''Geometrisch endliche Gruppe''' ursprünglich in der 2- und 3- dimensionalen [[Hyperbolische Geometrie|hyperbolischen Geometrie]] verwendet als Bezeichnung für [[Diskrete Gruppe|diskrete Gruppen]] von [[Isometrie]]n, die einen [[Konvexer Polyeder|konvexen Polyeder]] mit endlich vielen Seiten als [[Fundamentalbereich]] besitzen. In der höher-dimensionalen hyperbolischen Geometrie werden allgemeinere Definitionen verwendenverwendet, die im Fall von Isometriegruppen des 2- oder 3-dimensionalen Raumes zur ursprünglichen Definition äquivalent, in höheren Dimensionen aber allgemeiner sind. ▼
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Jede endlich erzeugte diskrete Gruppe von Isometrien der hyperbolischen Ebene ist geometrisch endlich. In höheren Dimensionen sind [[GitterDiskrete (Mathematik)Untergruppe#Gitter in Lie-Gruppen|Gitter]] und [[konvex-kokompakte Gruppe]]n Beispiele geometrisch endlicher Gruppen.▼
▲In der [[Geometrie]] wurde der Begriff '''Geometrisch endliche Gruppe''' ursprünglich in der 2- und 3- dimensionalen [[Hyperbolische Geometrie|hyperbolischen Geometrie]] verwendet als Bezeichnung für [[Diskrete Gruppe|diskrete Gruppen]] von [[Isometrie]]n, die einen [[Konvexer Polyeder|konvexen Polyeder]] mit endlich vielen Seiten als [[Fundamentalbereich]] besitzen. In der höher-dimensionalen hyperbolischen Geometrie werden allgemeinere Definitionen verwenden, die im Fall von Isometriegruppen des 2- oder 3-dimensionalen Raumes zur ursprünglichen Definition äquivalent, in höheren Dimensionen aber allgemeiner sind.
 
== Isometriegruppen des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes (Kleinsche Gruppen) ==▼
▲Jede endlich erzeugte diskrete Gruppe von Isometrien der hyperbolischen Ebene ist geometrisch endlich. In höheren Dimensionen sind [[Gitter (Mathematik)#Gitter in Lie-Gruppen|Gitter]] und [[konvex-kokompakte Gruppe]]n Beispiele geometrisch endlicher Gruppen.
Eine [[Kleinsche Gruppe]] heisstheißt geometrisch endlich, wenn sie eine der folgenden äquivalenten<ref>Für den Beweis der Äquivalenz siehe Theorem 3.7 in Matsuzaki-Taniguchi (op.cit.).</ref> Bedingungen erfüllt.▼
 
▲== Isometriegruppen des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes (Kleinsche Gruppen)==
▲Eine Kleinsche Gruppe heisst geometrisch endlich, wenn sie eine der folgenden äquivalenten<ref>Für den Beweis der Äquivalenz siehe Theorem 3.7 in Matsuzaki-Taniguchi (op.cit.).</ref> Bedingungen erfüllt.
* Für jedes <math>\delta>0</math> hat die <math>\delta</math>-Umgebung des [[Konvexer Kern|konvexen Kerns]] endliches Volumen.
* Für ein <math>\delta>0</math> hat die <math>\delta</math>-Umgebung des konvexen Kerns endliches Volumen.
* Der [[Dicker Teil|dicke Teil]] des konvexen Kerns ist [[Kompakter Raum|kompakt]].
* Für hinreichend kleine <math>\epsilon</math> ist das Komplement des <math>\epsilon</math>-kuspidalen Teils im konvexen Kern kompakt.
* Jeder Punkt der [[Limesmenge (Kleinsche Gruppe)#Limesmenge|Limesmenge]] ist ein [[konischer LimespunktGrenzpunkt]] oder ein [[beschränkter parabolischer Fixpunkt]].
* Jeder Punkt der Limesmenge ist ein [[horosphärischer LimespunktGrenzpunkt]] oder ein beschränkter parabolischer Fixpunkt.
* JederJedes [[Dirichlet-Polyeder]] ist endlich.
* Es gibt einenein endlichenendliches Dirichlet-Polyeder.
* Die [[Kleinsche Mannigfaltigkeit]] <math>(H^3\cup\Omega(\Gamma))/\Gamma</math> ist die Vereinigung eines kompakten Unterraums mit einer endlichen Menge von Standard-[[Spitze (Hyperbolische Geometrie)|Spitze]]n.
 
Geometrisch endliche hyperbolische Metriken auf einer gegebenen 3-Mannigfaltigkeit werden durch ihre konformen Ränder (d.&nbsp;h. die Quotienten der [[Diskontinuitätsbereich]]e in der [[Rand im Unendlichen|Sphäre im Unendlichen]]) eindeutig bestimmt.<ref>[[Lipman Bers]]: ''Uniformization, moduli, and Kleinian groups.'' Bull. London Math. Soc. 4 (1972), 257–300.</ref>
 
== Isometriegruppen höher-dimensionaler hyperbolischer Räume und von Hadamard-Mannigfaltigkeiten ==
Allgemeiner heisstheißt eine diskrete Gruppe von Isometrien einer [[Hadamard-Mannigfaltigkeit]] <math>X</math> geometrisch endlich, wenn sie eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt.<ref>Für den Beweis der Äquivalenz siehe Bowditch (1993).</ref>
* <math>(X\cup\Omega(\Gamma))/\Gamma</math> ist die Vereinigung eines kompakten Unterraums mit einer endlichen Menge von Standard-Spitzen.<ref><math>\Omega(\Gamma)\subset\partial_\infty X</math> bezeichnet den [[Diskontinuitätsbereich]] von <math>\Gamma</math>.</ref>
* Jeder Punkt der Limesmenge ist ein konischer Limespunkt oder ein beschränkter parabolischer Fixpunkt.
* Der dicke Teil des konvexen Kerns ist kompakt.
* Es gibt eine obere Schranke für die [[Gruppentheorie#Ordnung eineseiner ElementsGruppe|Ordnung]] [[Endliche Gruppe|endlicher]] [[Untergruppe]]n und für ein <math>\delta>0</math> hat die <math>\delta</math>-Umgebung des konvexen Kerns endliches Volumen.
 
Für <math>n\ge 4=2</math> mußist einejede geometrisch[[Endlich endlicheerzeugte Gruppe|endlich <math>\Gamma\subseterzeugte]] Isom(H^n)</math>diskrete nichtGruppe notwendigvon Isometrien der hyperbolischen Ebene geometrisch endlich und hat einen endlichen Fundamentalpolyeder, besitzend.&nbsp;h. Zumeinen Beispiel(nicht gibtnotwendig eskompakten) geometrisch[[Fundamentalbereich]], der endlicheein GruppenPolyeder mit unendlichendlich vielen [[SpitzeSeiten (hyperbolischeist.<ref>Greenberg, Geometrie)|Spitzen]]Leon: (Kapovich-Potyagailo)Fundamental polygons for Fuchsian groups. J. Analyse Math. 18 1967 99–105</ref>
 
Für <math>n\ge 4</math> muss eine geometrisch endliche Gruppe <math>\Gamma\subset Isom(H^n)</math> nicht notwendig ein endliches Fundamentalpolyeder besitzen. Zum Beispiel gibt es geometrisch endliche Gruppen mit unendlich vielen [[Spitze (Hyperbolische Geometrie)|Spitzen]].<ref>[[Michail Kapovich|M. Kapovich]], [[Leonid Potyagailo|L. Potyagailo]]: ''On the absence of Ahlfors‘ finiteness theorem for Kleinian in dimension three'', Top. Appl. 40, 83–91, 1991.</ref>
 
== Hyperbolische Gruppen und Konvergenzgruppen ==
Für eine auf einem kompakten, metrischen Raum <math>X</math> wirkende [[Konvergenzgruppe]] <math>\Gamma</math> definiert man geometrische Endlichkeit wie folgt: jederJeder Punkt aus <math>X</math> ist ein konischer LimespunktGrenzpunkt oder ein beschränkter parabolischer Fixpunkt. Hierbei sind die Begriffe "konischer„konischer Limespunkt"Grenzpunkt“ und "beschränkter„beschränkter parabolischer Fixpunkt"Fixpunkt“ intrinsisch definiert. Ein konischer LimespunktGrenzpunkt ist ein Punkt <math>x\in X</math>, zu dem es eine Folge unterschiedlicher Elemente <math>\gamma_n\in\Gamma</math> und Punkte <math>a_\pm\in X</math> gibt mit <math>\lim_{n\to\infty}\gamma_n x=a_+</math> und <math>\gamma_n\mid_{X\setminus\left\{x\right\}}</math> konvergiert gleichmäßig auf Kompakta gegen die Abbildung, die konstant <math>a_-</math> ist. Ein beschränkter parabolischer Fixpunkt ist ein Punkt <math>x\in X</math>, dessen Stabilisator parabolisch ist (d.&nbsp;h. unendlich, läßtlässt einen Punkt von <math>X</math> fest und enthält keine loxodromischen Elemente) und für den der Quotient <math>(X\setminus\left\{x\right\})/\Gamma_x</math> kompakt ist.
 
Diese Definition kann insbesondere auf [[Hyperbolische Gruppe|hyperbolische Gruppen]] angewandt werden, denn diese wirken als Konvergenzgruppen auf ihrem Rand im Unendlichen.
 
== Beispiele geometrisch endlicher Kleinscher Gruppen ==
* [[Quasifuchssche Gruppe]]n
* [[Schottky-Gruppe]]n
 
== Konformer Rand ==
Der [[Isomorphismussatz von Marden]] reduziert die Untersuchung des Modulraums geometrisch endlicher hyperbolischer Metriken auf einer 3-Mannigfaltigkeit <math>M</math> mit [[inkompressible Fläche|inkompressiblem]] Rand <math>\partial M</math> auf die Untersuchung des Modulraums konformer Strukturen auf <math>\partial M</math>. (Jeder geometrisch endlichen Gruppe <math>\Gamma</math> entspricht die [[Riemannsche Fläche]] <math>\Gamma\backslash \Omega</math>, wobei <math>\Omega\subset\partial_\infty H^3</math> der Diskontinuitãtsbereich ist. Dies verallgemeinert den [[Simultane Uniformisierung|Uniformisierungssatz von Bers]] für [[quasifuchssche Gruppe]]n.)
 
Die einer geometrisch endlichen Gruppe <math>\Gamma</math> entsprechende Riemannsche Fläche <math>\Gamma\backslash\Omega</math> wird als ihr ''konformer Rand'' bezeichnet.
 
== Literatur ==
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== Einzelnachweise ==
<references />
 
[[Kategorie:Theorie der Kleinschen Gruppen]]
[[Kategorie:Symmetriegruppe]]
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