Se kilde til Matematisk logik

<!-- denne artikel er en direkte, blot delvis oversættelse af den engelske som desværre slutter abrupt indtil videre  -->
'''Matematisk logik''' (også kendt som '''symbolsk logik''') er et felt i [[matematik]]ken med tæt forbindelse til [[matematikkens grundlag]], [[datalogi]] og [[Logik|filosofisk logik]].<ref>Tekster på bachelorniveau inkluderer Boolos, Burgess og Jeffrey [[#CITEREFBoolosBurgessJeffrey2002|(2002)]], [[Herbert Enderton|Enderton]] [[#CITEREFEnderton2001|(2001)]], samt Mendelson [[#CITEREFMendelson1997|(1997)]]. En klassisk tekst på kandidatniveau af Shoenfield [[#CITEREFShoenfield2001|(2001)]] kom frem i 1967.</ref> Feltet inkluderer både det matematiske studie af [[logik]] og anvendelsen af formel logik på andre områder af matematikken. De samlende temaer i matematisk logik inkluderer studiet af udtrykskraften i [[formelle systemer]] og den deduktive kraft af formelle systemer for [[matematisk bevis|beviser]].

Matematisk logik deles ofte ind i felterne [[mængdelære]], [[modelteori]], [[rekursionsteori]] og [[bevisteori]]. Disse områder deler grundlæggende resultater fra logikken, særligt [[førsteordens prædikatslogik|prædikatslogik]] og definérbare sæt. I datalogien (særligt i det engelske [[ACM Computing Classification System|ACM Classification]]), omfatter matematisk logik yderligere emner, der ikke indgår i denne artikel.

Matematisk logik har siden begyndelsen både bidraget til, og været motiveret af, studiet af [[matematikkens grundlag]]. Dette studie begyndte i slutningen af 1800-tallet med udviklingen af [[aksiom]]atisk rammeværktøjer til [[geometri]], [[aritmetik]] og [[analyse]].

I begyndelsen af 1900-tallet blev den udformet af [[David Hilbert]]s [[Hilberts program|program]] til bevisførelse for konsistensen af grundlagsteorier. Resultater fra [[Kurt Gödel]], [[Gerhard Gentzen]] og andre, gav delvise løsninger til programmet, og klargjorde udfordringerne som indgik i at bevise konsistensen. Arbejdet i mængdelære viste, at næsten alle ordinære matematikker kan formaliseres med brug af termer for sæt, selv om der er teoremer, der ikke kan bevises i almindelige aksiomsystemer for mængdelære. Nuværende arbejde i grundlagsmatematik fokuserer ofte på, at fastslå hvilke dele af matematikken, der kan formaliseres i partikulære formelle systemer, frem for at forsøge at nå frem til teorier, hvori al matematik kan udvikles fra.

== Historie ==
Matematisk logik fremkom i midten af 1800-tallet som et felt i matematikken, der var uafhængigt af det traditionelle studie af logik.<ref>Ferreirós 2001, s.&nbsp;443</ref> Logikken blev før denne fremkomst studeret via [[retorik]], gennem [[syllogisme]]rne og via [[filosofi]]. I den første halvdel af 1900-tallet skete der en eksplosiv udvikling, der bidrog med grundlæggende resultater, ledsaget af en livlig debat om matematikkens grundlag.

=== Den tidlige historie ===
Logiske teorier blev udviklet i mange kulturer gennem historien, herunder [[Kina]], [[Indien]], [[Grækenland]] og den islamiske verden. I 1700-tallets Europa, var der forsøg på at behandle operationer fra formel logik, på en symbolsk eller algebraisk facon. Forsøg, der blev foretaget af filosofiske matematikere, herunder [[Leibniz]] og [[Johann Heinrich Lambert|Lambert]], men deres indsatser forblev isoleret og stort set ukendte.

=== 1800-tallet ===

<!-- symbolsk logik -->
I midten af 1800-tallet fremkom [[George Boole]] og derefter [[Augustus De Morgan]] med systematiske, matematiske behandlinger af logikken. Deres arbejde, byggende på arbejde af skikkelser indenfor for algebra såsom [[George Peacock]], udvidede den traditionelle aristoteliske doktrin over logikken, til et tilstrækkeligt rammeværktøj for studiet af [[matematikkens grundlag]].<ref>Katz 1998, s.&nbsp;686.</ref>

[[Charles Sanders Peirce]] byggede videre på Booles arbejde, og udviklede et logisk system for relationer og kvantifikatorer, hvilket han udgav i adskillige artikler fra 1870 til 1875.
[[Gottlob Frege]] præsenterede en uafhængig udvikling af logikken med kvantifikatorer i hans ''[[Begriffsschrift]]'', der blev udgivet i 1879, et værk som generelt betragtes som et drejepunkt i logikkens historie. Freges værk forblev ukendt, indtil [[Bertrand Russell]] begyndte at promovere det omkring århundredeskiftet. Den todimensionelle notation som Frege havde udviklet, blev aldrig vidt udbredt, og anvendes ikke i nutidige tekster.

Fra 1890 til 1905 udgav [[Ernst Schröder]] ''Vorlesungen über die Algebra der Logik'' i tre værker. Dette værk opsummerede og udvidede værker fra Boole, De Morgan og Peirce, og var et omfattende referenceværk til symbolsk logik, som den blev forstået ved udgangen af 1800-tallet.

==== Grundlagsteorier ====

Bekymringer over at matematikken ikke var bygget på et egnet grundlag, ledte til udviklingen af aksiomatiske systemer for grundlæggende områder af matematikken, såsom aritmetik, analyse og geometri.

<!-- aritmetk -->
I logikken henviser termen ''aritmetik'' til teorien om de [[naturlige tal]]. [[Giuseppe Peano]] ([[#CITEREFPeano1888|1888]]) udgav et sæt af aksiomer for aritmetikken, der senere har båret hans navn ([[Peano-aksiomer]]), der anvendte en variation af det logiske system fra Boole og Schröder, men tilføjede kvantifikatorer. Peano kendte ikke til Freges samtidige arbejde. Omkring samme tid viste [[Richard Dedekind]], at naturlige tal kendetegnes unikt gennem deres [[matematisk induktion|induktive]] egenskaber. Dedekind ([[#CITEREFDedekind1888|1888]]) foreslå en anden karakterisering, der ikke indeholdt den formelle logiske karakter fra Peanos aksiomer. Dedekinds værk beviste dog teoremer, der var utilgængelige i Peanos system, inklusive det unikke ved sæt af naturlige tal (op til isomorfisme) og de rekursive definitioner fra addition og multiplikation fra [[successor-funktionen]] og matematisk induktion.

<!-- geometri -->
I midten af 1800-tallet blev det kendt, at der var mangler i Euklids aksiomer for geometri.<ref>Katz 1998, s.&nbsp;774</ref> I tillæg til uafhængigheden af [[parallel-postulatet]], der blev grundlagt af [[Nikolaj Lobatjevskij]] i 1826,<ref>Lobachevsky 1840</ref> så opdagede matematikere at visse teoremer, der blev taget for givet af Euklid, faktisk ikke kunne bevises fra hans aksiomer. Blandt disse er teoremet om at en linje mindst indeholder to punkter, eller at cirkler med samme radius, hvis midtepunkter er adskilte af denne radius, må skære hinanden. Hilbert ([[#CITEREFHilbert1899|1899]]) udviklede et komplet sæt af [[Hilberts aksiomer|aksiomer for geometrien]], der byggede på [[Paschs aksiom|tidligere arbejde]] af Pasch ([[#CITEREFPasch1882|1882]]). Successen med at aksiomatisering af geometrien, motiverede Hilbert til at søge komplet aksiomatisering på andre områder af matematikken, såsom de naturlige tal og den [[reelle tallinje]]. Disse viste sig at blive et kæmpe forskningsområde i første halvdel af 1900-tallet.

<!-- The 19th century saw great advances in the theory of [[real analysis]], including theories of convergence of functions and [[Fourier series]]. Mathematicians such as [[Karl Weierstrass]] began to construct functions that stretched intuition, such as [[Continuous, nowhere differentiable function|nowhere-differentiable continuous functions]]. Previous conceptions of a function as a rule for computation, or a smooth graph, were no longer adequate.  Weierstrass began to advocate the [[arithmetization of analysis]], which sought to axiomatize analysis using properties of the natural numbers. The modern [[(ε, δ)-definition of limit]] and [[continuous function]]s was already developed by [[Bernard Bolzano|Bolzano]] in 1817 ([[#CITEREFFelscher2000|Felscher 2000]]), but remained relatively unknown.
[[Cauchy]] in 1821 defined continuity in terms of [[infinitesimal]]s (see Cours d'Analyse, page 34).  In 1858, Dedekind proposed a definition of the real numbers in terms of [[Dedekind cuts]] of rational numbers [[#CITEREFDedekind1872|(Dedekind 1872)]], a definition still employed in contemporary texts.

[[Georg Cantor]] developed the fundamental concepts of infinite set theory. His early results developed the theory of [[cardinality]] and proved that the reals and the natural numbers have different cardinalities (Cantor 1874). Over the next twenty years, Cantor developed a theory of [[transfinite number]]s in a series of publications. In 1891, he published a new proof of the uncountability of the real numbers that introduced the [[Cantor's diagonal argument|diagonal argument]], and used this method to prove [[Cantor's theorem]] that no set can have the same cardinality as its [[powerset]]. Cantor believed that every set could be well-ordered, but was unable to produce a proof for this result, leaving it as an open problem in 1895 ([[#CITEREFKatz1998|Katz 1998, p.&nbsp;807]]). -->

==== Symbolsk logik ====

[[Leopold Löwenheim]] ([[#CITEREFL.C3.B6wenheim1915|1915]]) og [[Thoralf Skolem]] ([[#CITEREFSkolem1920|1920]]) nåede frem til [[Löwenheim–Skolem-teoremet]], der siger at førsteordens prædikatlogik ikke kan kontrollere [[kardinalitet]]erne af infinitte strukturer. Skolem opdagede at dette ville gælde for førsteordens-formaliseringer af mængdelæren, og at det implicerer at enhver sådan formalisering har en [[tællelig]] [[struktur (matematisk logik)|model]]. Dette kontraintutive faktum blev kendt som [[Skolems paradoks]].

[[Kurt Gödel]] beviste sit [[Gödels ufuldstændighedssætning|fuldstændighedsteorem]] i sin doktorafhandling ([[#CITEREFGödel1929|1929]]), der fastlægger en korrespondance mellem syntaks og semantik i [[prædikatslogik|førsteordens prædikatslogik]]. Gödel anvendte fuldstændighedsteoremet til at bevise [[kompakthedsteorem]]et, der demonstrerede finitte natur af logiske konskevenser af første ordener. Disse resultater bidrog til at etablere en førsteordens prædikatslogik som den dominerende logik, der anvendes af matematikere.

==== Starten på andre grene ====

[[Alfred Tarski]] udviklede grundlaget for [[modelteori]]en.

Begyndende i 1935, samarbejdede en gruppe prominente matematikere under [[pseudonym]]et [[Nicolas Bourbaki]], at udgive en række matematiske leksikon-tekster. Disse tekster, der blev skrevet i en sparsom og aksiomatisk stil, betonede en stringent præsentation og mængdelære som grundlag. Terminologi som blev skabt i disse tekster, var ord som [[bijektiv]], [[injektiv]] og [[surjektiv]], samt den grundlæggende mængdelære som teksterne anvendte, blev vidt udbredt i hele matematikken.

Studiet er beregnelighed blev kendt som rekursionsteori, fordi tidlige formaliseringer af Gödel og Kleen hvilede på rekursive definitioner af funktioner.<ref>Et detaljeret studie af denne terminologi fås hos Soare ([[#CITEREFSoare1996|1996]]).</ref> Da disse definitioner blev vist at være ækvivalente med Turings formalisering, involverende Turing-maskiner, blev det klart at et nyt begreb – den beregnelige funktion – var blevet opdaget, og at denne definition var tilstrækkelig robust til at tillade adskillige, uafhængige karakteristiker. I sit arbejde med ufuldstændighedssætningerne i 1931, manglede Gödel et stringent begreb for et effektivt, formelt system; han indså straks at de nye definitioner for beregnelighed kunne anvendes til dette formål, hvilket tillod ham at udtrykke ufuldstændighedssætningerne generelt, hvor de i den oprindelige artikel antydet.

Adskillige resultater i rekursionsteori blev nået i 1940'erne af [[Stephen Cole Kleene]] og [[Emil Leon Post]]. Kleene ([[#CITEREFKleene1943|1943]]) introducerede begreberne om relativ beregnelighed, foregrebet af Turing ([[#CITEREFTuring1939|1939]]), aritmetisk hierarki. Kleene generaliserede senere rekursionsteori til funktionaler af højere orden. Kleene og Kreisel studerede formelle versioner af intuitionistisk matematik, særligt i konteksten af bevisteori.

<!-- Den engelske version foreslår at stoppe ved 1950 -->

== Underområder og omfang ==

Bogen ''Handbook of Mathematical Logic'' inddeler, i grove træk nutidig matematisk logik i fire områder:
# [[mængdelære]]
# [[modelteori]]
# [[rekursionsteori]], og
# [[bevisteori]] og [[konstruktiv matematik]] (betragtes som dele af et enkelt område).
Hvert område har forskelligt fokus, selv om mange teknikker og resultater deles mellem flere områder. Grænselinjerne mellem disse felter, og inddelingerne mellem matematisk logik og andre felter i matematikken, er ikke altid skarpe. [[Kurt Gödel|Gödels]] ufuldstændighedssætning markerer ikke blot en milepæl i rekursionsteori og bevisteori, men har også ført til Löbs sætning i modallogikken. Metoden, der på engelsk kaldes forcing, bliver anvendt i mængdelære, modelteori og rekursionsteori, samt i studidet af intuitionistisk matematik.

Det matematiske felt [[kategoriteori]] anvender mange formelle, aksiomatiske metoder, og inkluderer studiet af [[kategorisk logik]], men kategoriteori bliver normalt ikke anset som en underområde af matematisk logik. Grundet dets anvendelighed i forskellige felter af matematikken, så har matematikere, herunder [[Saunders Mac Lane]] foreslået kategoriteori som et grundlagssystem for matematik, uafhængigt af mængdelæren. Disse grundlag gør brug af [[toposteori]]en, der minder om generaliserede modeller for mængdelæren, der kan gøre brug af klassisk eller ikke-klassisk logik.


== Se også ==
* [[Logik]]
* [[Matematik]]
* [[Prædikatslogik]]

== Noter ==
{{Reflist}}

== Referencer ==
=== Tekster på bachelorniveau ===
* {{Citation
  |last1=Walicki
  |first1=Michał
  |title=Introduction to Mathematical Logic
  |publisher=[[World Scientific Publishing]]
  |location=Singapore
  |isbn=978-981-4343-87-9
  |id = (pbk.)
  |year=2011}}.

* {{Citation
  |last1=Boolos
  |first1=George
  |author1-link=George Boolos
  |last2=Burgess
  |first2=John
  |last3=Jeffrey
  |first3=Richard
  |author3-link=Richard Jeffrey
  |title=Computability and Logic
  |publisher=[[Cambridge University Press]]
  |location=Cambridge
  |edition=4th
  |isbn=978-0-521-00758-0 
  |id = (pbk.)
  |year=2002}}.
* {{Citation
  |last1=Enderton
  |first1=Herbert
  |title=A mathematical introduction to logic
  |publisher=[[Academic Press]]
  |location=Boston, MA
  |edition=2nd
  |isbn=978-0-12-238452-3
  |year=2001
}}.
* {{Citation
  |last1=Hamilton
  |first1=A.G.
  |title=Logic for Mathematicians
  |publisher=Cambridge University Press
  |location=Cambridge
  |edition=2nd
  |isbn=978-0-521-36865-0
  |year=1988}}.
* {{Citation
  |last1=Ebbinghaus
  |first1=H.-D.
  |last2=Flum
  |first2=J.
  |last3=Thomas
  |first3=W.
  |doi=
  |title=Mathematical Logic
  |url=http://www.springer.com/mathematics/book/978-0-387-94258-2
  |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]
  |location=[[New York City|New York]]
  |edition=2nd
  |isbn=0-387-94258-0
  |year=1994
}}.
* {{Citation
  |last1=Katz
  |first1=Robert
  |title=Axiomatic Analysis
  |publisher=[[D. C. Heath and Company]]
  |location=Boston, MA
  |year=1964}}.
* {{Citation
  |last1=Mendelson
  |first1=Elliott
  |title=Introduction to Mathematical Logic
  |publisher=[[Chapman & Hall]]
  |location=London
  |edition=4th
  |isbn=978-0-412-80830-2
  |year=1997
}}.
* {{Citation
  |last=Rautenberg
  |first=Wolfgang
  |author-link=Wolfgang Rautenberg
  |doi=10.1007/978-1-4419-1221-3
  |title=A Concise Introduction to Mathematical Logic
  |url=http://www.springerlink.com/content/978-1-4419-1220-6/
  |publisher=[[Springer Science+Business Media]]
  |location=[[New York City|New York]]
  |edition=3rd
  |isbn=978-1-4419-1220-6
  |year=2010
  |url-status=dead
  }}.
* {{Citation
  |last1=Schwichtenberg
  |first1=Helmut
  |title=Mathematical Logic
  |publisher=Mathematisches Institut der Universität München
  |location=Munich, Germany
  |url=http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~schwicht/lectures/logic/ws03/ml.pdf
  |year=2003-2004
}}.
* Shawn Hedman, ''A first course in logic: an introduction to model theory, proof theory, computability, and complexity'', Oxford University Press, 2004, {{ISBN|0-19-852981-3}}. Dækker logik tæt sammen med teori om beregnelighed og kompleksitetsteori

=== Tekster på kandidatniveau ===
* {{Citation
  | last1=Andrews
  | first1=Peter B.
  | title=An Introduction to Mathematical Logic and Type Theory: To Truth Through Proof
  | publisher=Kluwer Academic Publishers
  | location=Boston
  | edition=2nd
  | isbn=978-1-4020-0763-7
  | year=2002
}}.
* {{Citation
  | editor1-last=Barwise
  | editor1-first=Jon
  | title=Handbook of Mathematical Logic
  | publisher=[[Elsevier (forlag)|North Holland]]
  | series=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics
  | isbn=978-0-444-86388-1
  | year=1989
}}.
* {{Citation
  | last1=Hodges
  | first1=Wilfrid
  | author1-link=Wilfrid Hodges
  | title=A shorter model theory
  | publisher=[[Cambridge University Press]]
  | location=Cambridge | isbn=978-0-521-58713-6 | year=1997}}.
* {{Citation
  | last1=Jech
  | first1=Thomas
  | author1-link=Thomas Jech
  | title=Set Theory: Millennium Edition
  | publisher=[[Springer-Verlag]]
  | location=Berlin, New York
  | series=Springer Monographs in Mathematics
  | isbn=978-3-540-44085-7
  | year=2003
}}.
* {{Citation
  | last1=Shoenfield
  | first1=Joseph R.
  | title=Mathematical Logic
  | orig-year=1967
  | publisher=[[A K Peters]]
  | edition=2nd
  | isbn=978-1-56881-135-2
  | year=2001
}}.
* {{Citation
  | last1=Troelstra
  | first1=Anne Sjerp
  | author1-link=A. S. Troelstra
  | last2=Schwichtenberg
  | first2=Helmut
  | title=Basic Proof Theory
  | publisher=Cambridge University Press
  | location=Cambridge
  | edition=2nd
  | series=Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science
  | isbn=978-0-521-77911-1
  | year=2000
}}.

=== Forskningsudgivelser, monografer, tekster og undersøgelser ===
* {{Citation
  | last1=Cohen
  | first1=P. J.
  | title=Set Theory and the Continuum Hypothesis
  | publisher=W. A. Benjamin
  | location=Menlo Park, CA
  | year=1966
}}.
* {{Citation
  | last1=Davis
  | first1=Martin
  | author1-link=Martin Davis
  | title=Hilbert's tenth problem is unsolvable
  | year=1973
  | journal=[[American Mathematical Monthly|The American Mathematical Monthly]]
  | volume=80
  | pages=233–269
  | doi=10.2307/2318447
  | issue=3
  | publisher=The American Mathematical Monthly, Vol. 80, No. 3
  | jstor=2318447
}}, genudgivet som et appendiks i Martin Davis, Computability and Unsolvability, Dover reprint 1982. [http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9890%28197303%2980%3A3%3C233%3AHTPIU%3E2.0.CO%3B2-E JStor]
* {{Citation
 | title=Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta
 | first1=Walter
 | last1=Felscher
 |journal=The American Mathematical Monthly
 | volume = 107
 | year = 2000
 | pages = 844–862
 | doi=10.2307/2695743
 | issue = 9
 | publisher=The American Mathematical Monthly, Vol. 107, No. 9
 | jstor=2695743
}}. [http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9890(200011)107%3A9%3C844%3ABCED%3E2.0.CO%3B2-L JSTOR]
* {{Citation
  | last1=Ferreirós
  | first1=José
  | title=The Road to Modern Logic-An Interpretation
  |journal=Bulletin of Symbolic Logic
  |volume=7
  |year=2001
  |pages=441–484
  | doi=10.2307/2687794
  |issue=4
  | publisher=The Bulletin of Symbolic Logic, Vol. 7, No. 4
  | jstor=2687794
}}. [http://links.jstor.org/sici?sici=1079-8986%28200112%297%3A4%3C441%3ATRTMLI%3E2.0.CO%3B2-O JStor]
* {{Citation
 | last1 = Hamkins
 | first1 = Joel David
 | first2 = Benedikt
 | last2 = Löwe
 | title =  The modal logic of forcing
 | journal = Transactions of the American Mathematical Society
}}, vil udkomme. [http://www.ams.org/tran/0000-000-00/S0002-9947-07-04297-3/home.html Elektronisk udgivelse af journalen]{{Dødt link|date=oktober 2022 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
* {{Citation
  | last1=Katz
  | first1=Victor J.
  | title = A History of Mathematics
  | year = 1998
  | publisher = Addison–Wesley
  | isbn = 0-321-01618-1
}}.
* {{Citation
  | last1=Morley
  | first1=Michael
  | author1-link=Michael D. Morley
  | title=Categoricity in Power
  | doi=10.2307/1994188
  | year=1965
  | journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]]
  | volume=114
  | issue=2
  | pages=514–538
  | publisher=Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 114, No. 2
  | jstor=1994188
}}.
* {{Citation
  | last1 = Soare
  | first1 = Robert I.
  | title = Computability and recursion
  | journal = Bulletin of Symbolic Logic
  | volume = 2
  | pages = 284–321
  | doi = 10.2307/420992
  | year = 1996
  | issue = 3
  | publisher = The Bulletin of Symbolic Logic, Vol. 2, No. 3
  | jstor = 420992
}}.
* {{Citation
  | last1=Solovay
  | first1= Robert M.
  | author-link = Robert M. Solovay
  | title = Provability Interpretations of Modal Logic
  | journal = Israel Journal of Mathematics
  | volume = 25
  | year = 1976
  | pages=287–304
  | doi=10.1007/BF02757006
  | issue=3–4
}}.
* {{Citation
  | last1=Woodin
  | first1=W. Hugh
  | author1-link=W. Hugh Woodin
  | title=The Continuum Hypothesis, Part I
  |journal=Notices of the American Mathematical Society
  |volume=48
  |year=2001
  |issue=6
}}. [http://www.ams.org/notices/200106/fea-woodin.pdf PDF]

=== Klassiske artikler, tekster og samlinger ===
* {{Citation
  | first1=Cesare
  | last1=Burali-Forti
  | year=1897|title = A question on transfinite numbers
}}, reprinted in van Heijenoort 1976, pp.&nbsp;104–111.
* {{citation
  | first1=Richard
  | last1=Dedekind
  | year=1872
  | title=Stetigkeit und irrationale Zahlen
}}. Engelsk oversættelse med titlen: "Consistency and irrational numbers".
* {{Citation
  | first1=Richard
  | last1=Dedekind
  | year=1888
  | title=Was sind und was sollen die Zahlen?''
}} Two English translations:
** 1963 (1901). ''Essays on the Theory of Numbers''. Beman, W. W., ed. and trans. Dover.
** 1996. I ''From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics'', to værker, Ewald, William B., ed., [[Oxford University Press]]: 787–832.
* {{citation
  | first1=Abraham A.
  | last1=Fraenkel
  | year=1922
  | contribution=Der Begriff 'definit' und die Unabhängigkeit des Auswahlsaxioms
  | title=Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse
  | pages=253–257
}} (German), genudgivet i engelsk oversættelse som "The notion of 'definite' and the independence of the axiom of choice", van Heijenoort 1976, pp.&nbsp;284–289.

* Frege Gottlob (1879), ''[[Begriffsschrift]], eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens''. Halle a. S.: Louis Nebert. Engelsk oversættelse: ''Concept Script, a formal language of pure thought modelled upon that of arithmetic'', af S. Bauer-Mengelberg in [[Jean Van Heijenoort]], ed., 1967. ''From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931''. Harvard University Press.
* Frege Gottlob (1884), ''Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl''. Breslau: W. Koebner. Engelsk oversættelse: [[J. L. Austin]], 1974. ''The Foundations of Arithmetic: A logico-mathematical enquiry into the concept of number'', 2nd ed. Blackwell.

* {{citation
  | author-link=Gerhard Gentzen
  | first1=Gerhard
  | last1=Gentzen
  | year=1936
  | title=Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie
  | journal=Mathematische Annalen
  | volume=112
  | pages=132–213
  | doi=10.1007/BF01565428
}}, reprinted in English translation in Gentzen's ''Collected works'', M. E. Szabo, ed., North-Holland, Amsterdam, 1969.
* {{Citation
  | last1=Gödel
  | first1=Kurt
  | year = 1929
  | title = Über die Vollständigkeit des Logikkalküls
  | series = doctoral dissertation
  | publisher = University Of Vienna
}}. Engelsk oversættelse med titlen: "Completeness of the logical calculus".
* {{Citation
  | last1=Gödel
  | first1=Kurt
  | year = 1930
  | title = Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionen-kalküls
  | journal =  Monatshefte für Mathematik und Physik
  | volume = 37
  | pages = 349–360
  | doi=10.1007/BF01696781
}}. Engelsk oversættelse med titlen: "The completeness of the axioms of the calculus of logical functions".
* {{Citation
  | last1=Gödel
  | first1=Kurt
  | title=Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I
  | year=1931
  | journal=Monatshefte für Mathematik und Physik
  | volume=38
  | issue=1
  | pages=173–198
  | doi=10.1007/BF01700692
}}, se [[On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems]] for detaljer om engelske oversættelser.
* {{Citation
  | last1=Gödel
  | first1=Kurt
  | title=Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes
  | year=1958
  | journal=Dialectica. International Journal of Philosophy
  | volume=12
  | pages=280–287
  | doi=10.1111/j.1746-8361.1958.tb01464.x
  | issue=3–4
}}, genudgivet i engelsk oversættelse i Gödel's ''Collected Works'', vol II, Soloman Feferman et al., eds. Oxford University Press, 1990.
* {{citation
  | editor-first=Jean
  | editor-last=van Heijenoort
  | editor-link=Jean van Heijenoort
  | title = From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931
  | edition = 3rd printing with corrections
  | publisher = Harvard University Press
  | location = Cambridge, Mass
  | year = 1976 
  | orig-year = 1967
  | id = (pbk.)
  | isbn=0-674-32449-8
}}
* {{citation
  | last1=Hilbert
  | first1=David
  | year = 1899
  | title = Grundlagen der Geometrie
  | publisher = Teubner
  | location = Leipzig
}}, Engelsk udgave fra 1902 (''The Foundations of Geometry'') genudgivet i 1980, Open Court, Chicago.
* {{Citation
  |first1=Hilbert
  |last1=David
  |year=1929
  |title=Probleme der Grundlegung der Mathematik
  |journal=Mathematische Annalen|volume=102|pages=1–9
  |doi=10.1007/BF01782335
}}. Forelæsning afholdt ved International Congress of Mathematicians, 3. september 1928. Udgivet i engelsk oversættelse som "The Grounding of Elementary Number Theory", i Mancosu 1998, pp.&nbsp;266–273.
* {{Citation
  | last1=Kleene
  | first1=Stephen Cole
  | author1-link=Stephen Kleene
  | title=Recursive Predicates and Quantifiers
  | year=1943
  | journal=American Mathematical Society Transactions
  | volume=54
  | issue=1
  | pages=41–73
  | doi=10.2307/1990131
  | publisher=Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 53, No. 1
  | jstor=1990131
}}.
* {{Citation
  | first1 = Nikolai
  | last1 = Lobachevsky
  | author-link = Nikolai Lobachevsky
  | title = Geometrishe Untersuchungen zur Theorie der Parellellinien
  | year = 1840
}} (Tysk). Genudgivet i engelsk oversættelse som "Geometric Investigations on the Theory of Parallel Lines" i ''Non-Euclidean Geometry'', Robert Bonola (ed.), Dover, 1955. {{ISBN|0-486-60027-0}}
* {{Citation
  | last1=Löwenheim
  | first1=Leopold
  | author1-link=Leopold Löwenheim
  | title=Über Möglichkeiten im Relativkalkül
  | year=1915
  | journal=Mathematische Annalen
  | issn=0025-5831
  | volume=76
  | pages=447–470
  | doi=10.1007/BF01458217
  | issue=4}} (Tysk). Oversat som "On possibilities in the calculus of relatives" in [[Jean van Heijenoort]], 1967. ''A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931''. Harvard Univ. Press: 228–251.
* {{Citation
  |editor-last=Mancosu
  |editor-first=Paolo
  |year=1998
  |title=From Brouwer to Hilbert. The Debate on the Foundations of Mathematics in   the 1920s
  |publisher=Oxford University Press|publication-place=Oxford
}}.
* {{citation
  |last1=Pasch
  |first1=Moritz
  |title=Vorlesungen über neuere Geometrie
  |year=1882
}}.
* {{citation
  |first1=Giuseppe
  |last1=Peano
  |year=1888
  |title=Arithmetices principia, nova methodo exposita
}} (Italiensk), uddrag genudgivet i engelsk oversættelse som "The principles of arithmetic, presented by a new method", van Heijenoort 1976, pp.&nbsp;83&nbsp;97.
* {{Citation
  |first1=Jules
  |last1=Richard
  |year=1905
  |title=Les principes des mathématiques et le problème des ensembles
  |journal=Revue générale des sciences pures et appliquées
  |volume=16
  |pages=541
}} (Fransk), genudgivet i engelsk oversættelse som "The principles of mathematics and the problems of sets", van Heijenoort 1976, pp.&nbsp;142–144.
* {{Citation
  | last1=Skolem
  | first1=Thoralf
  | author1-link=Thoralf Skolem
  | title=Logisch-kombinatorische Untersuchungen über die Erfüllbarkeit oder Beweisbarkeit mathematischer Sätze nebst einem Theoreme über dichte Mengen
  | year=1920
  | journal=Videnskapsselskapet Skrifter, I. Matematisk-naturvidenskabelig Klasse
  | volume=6
  | pages=1–36}}.
* {{Citation
  | last1=Tarski
  | first1=Alfred
  | author1-link=Alfred Tarski
  | title=A decision method for elementary algebra and geometry
  | publisher=[[RAND Corporation]]
  | location=Santa Monica, California
  | year=1948}}
* {{Citation
  | last1=Turing
  | first1=Alan M.
  | author1-link=A. M. Turing
  | title=Systems of Logic Based on Ordinals
  | year=1939
  | journal=[[Proceedings of the London Mathematical Society]]
  | volume=45
  | issue=2
  | pages=161–228
  | doi=10.1112/plms/s2-45.1.161
}}
* {{Citation
  |first1=Ernst
  |last1=Zermelo
  |year=1904
  |title=Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann
  |journal=Mathematische Annalen|volume=59|pages=514–516
  |doi=10.1007/BF01445300
  |issue=4
}} (Tysk), genudgivet i engelsk oversættelse som "Proof that every set can be well-ordered", van Heijenoort 1976, s.&nbsp;139–141.
* {{Citation
  |first1=Ernst
  |last1=Zermelo
  |year=1908a
  |title=Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung
  |journal=[[Mathematische Annalen]]
  |volume=65
  |pages=107–128
  |doi=10.1007/BF01450054
  |issn=0025-5831
}} (Tysk), genudgivet i engelsk oversættelse som "A new proof of the possibility of a well-ordering", van Heijenoort 1976, pp.&nbsp;183–198.
* {{Citation
  | last1=Zermelo
  | first1=Ernst
  | year=1908b
  | title=Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre
  | journal=Mathematische Annalen
  | volume=65
  | pages=261–281
  | doi=10.1007/BF01449999
  | issue=2
}}.

== Eksterne henvisninger ==
{{Commonscat|Mathematical logic}}
* [http://world.logic.at/ Mathematical Logic around the world] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070408210315/http://world.logic.at/ |date= 8. april 2007 }}
* [http://www.quantrelog.se Polyvalued Logic (PVL) och Quantity Relation Logic (QRL)]
* ''[http://www.fecundity.com/logic/ forall x: an introduction to formal logic]'', by [[P.D. Magnus]], is a free textbook.
* ''[http://euclid.trentu.ca/math/sb/pcml/ A Problem Course in Mathematical Logic]'', by Stefan Bilaniuk, is another free textbook.
* Detlovs, Vilnis, and Podnieks, Karlis (University of Latvia) ''[http://www.ltn.lv/~podnieks/mlog/ml.htm Introduction to Mathematical Logic.]'' A hyper-textbook.
* [[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]: [http://plato.stanford.edu/entries/logic-classical/ Classical Logic] – by [[Stewart Shapiro]].
* Stanford Encyclopedia of Philosophy: [http://plato.stanford.edu/entries/modeltheory-fo/ First-order Model Theory ] – by [[Wilfrid Hodges]].
* The [http://www.ucl.ac.uk/philosophy/LPSG/ London Philosophy Study Guide] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090923081848/http://www.ucl.ac.uk/philosophy/LPSG/Language.htm |date=23. september 2009 }} offers many suggestions on what to read, depending on the student's familiarity with the subject:
** [http://www.ucl.ac.uk/philosophy/LPSG/MathLogic.htm Mathematical Logic] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090125101332/http://ucl.ac.uk/philosophy/LPSG/MathLogic.htm |date=25. januar 2009 }}
** [http://www.ucl.ac.uk/philosophy/LPSG/SetTheory.htm Set Theory & Further Logic] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090227075920/http://www.ucl.ac.uk/philosophy/LPSG/SetTheory.htm |date=27. februar 2009 }}
** [http://www.ucl.ac.uk/philosophy/LPSG/PhilMath.htm Philosophy of Mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090620012953/http://www.ucl.ac.uk/philosophy/LPSG/PhilMath.htm |date=20. juni 2009 }}
{{autoritetsdata}}

[[Kategori:Matematisk logik| ]]
[[Kategori:Logik]]
[[Kategori:Matematiske discipliner]]