Diskussion:Komplekse tal

Denne diskussionsside bliver automatisk arkiveret af Dawikibot. Se mere på Skabelon:Autoarkiv.
Seneste opdatering: 03. May 2020 05:30

Milepæle

Artiklen Komplekse tal er blevet udpeget som lovende artikel. Det vil sige at den vurderes klar til at blive forbedret til en god artikel. Hvis du kan opdatere eller forbedre den, så gør det gerne, men diskuter gerne større ændringer her først. Artiklen Komplekse tal har været vist på Wikipedias forside som ugens artikel i uge 9, 2020. Milepæle Tidsmarkering Milepæl Resultat 20. januar 2020 Nomineret til ugens artikel Vedtaget 26. december 2019 Nomineret til lovende artikel Vedtaget Huskeliste for Komplekse tal: rediger · historik · overvåg · opdater Afsnittet Anvendelse skal enten skrives som rigtigt tekstafsnit eller laves som liste med bullets. Toxophilus (diskussion) 13. jan 2020, 19:20 (CET) Afsnittet bør udvides. --Inc (diskussion) 21. jan 2020, 11:45 (CET) Referencerne skal stå lige efter teksten og ikke med mellemrum dvssådan og ikke sådan. Der er også noget med koderne, som godt kan forbedres, når man kalder et navn på en reference. Toxophilus (diskussion) 13. jan 2020, 19:20 (CET) Artiklen fylder 113.526 bytes, så noget af indholdet kunne med fordel flyttes til underartikler. --Inc (diskussion) 21. jan 2020, 09:18 (CET) Indledningen bør forkortes, så den bliver mere overskuelig. Selv uden ligningerne har den et lixtal på 48. --Inc (diskussion) 21. jan 2020, 11:45 (CET) Helt generelt enig med Inc i kommentarerne; generelt ligner artiklen en artikel af matematikere til matematikere. Indledningen (og egentlig en stor del af artiklen) bør være skrevet på en måde, så ikke-matematikere har en chance for at få noget med. —Arne (Amjaabc) (diskussion) 3. feb 2020, 10:22 (CET)

• Arkiv 1

Imaginärdelen i ingressen

I begynnelsen av artikeln stod det

Komplekse tal (betegnes ℂ) er tal bestående af et reelt tal (realdelen) og et imaginært tal (imaginærdelen).

Jag har tagit bort de två parenteserna. Om $z=x+iy$ med x och y reella, så är iy mycket riktigt ett imaginärt tal; men imaginärdelen är ju det reella talet y, icke iy. Jörgen B (diskussion) 29. apr 2015, 15:41 (CEST)

Jeg har rullet din ændring tilbage. Det giver mere mening at tale om imaginærdelen, imaginære tal er et meget populærvidenskabeligt begreb, de "imaginære tal" er end ikke et legeme. Artiklen kunne generelt trænge til en grundig gennemskrivning (dvs. upræsitioner grænsende til fejl).--Madglad (diskussion) 29. apr 2015, 17:06 (CEST)

Madglad: Visst är imaginärdelen ett mer vetenskapligt begrepp - men imaginärdelar är icke rent imaginära tal (med undantag av imaginärdelen för ett reellt tal). Jag skall försöka att förklara detta en gång till, med ett exempel:

Realdelen av talet 3+5i är 3. Imaginärdelen av talet 3+5i är talet 5. 5 är icke ett imaginärt tal.

Det är ett av de vanligaste nybörjarfelen att tro att imaginärdelen av 3+5i skulle vara det imaginära talet 5i. Det är det icke (icke på svenska, icke på engelska, icke på danska och icke i denna artikel). I denna artikel skriver man litet längre ner

Punktet for z ligger ud for realdelen x på den reelle akse, og ud for imaginærdelen y på den imaginære akse, så man kan beskrive tallet ved dets real- og imaginærdel: z = x + i·y. Dette kaldes for rektangulær repræsentation af tallet z. Tallet i kaldes den imaginære enhed, og har den specielle egenskab at i²=-1.

Alltså: Realdelen av z=x+iy är x, och imaginärdelen är y (icke iy). z är icke summan av x och y. Däremot kan z beskrivas med hjälp av x och y, fordi z = x + iy.

Den utsaga du återställer implicerar att 5 skulle vara ett imaginärt tal. Detta är icke sanning. Jörgen B (diskussion) 30. apr 2015, 02:39 (CEST)

Algebraisk set kan man ikke skelne mellem "i" og "-i", idet i^2 og (-i)^2 begge er -1, hvilket skyldes at x^2+1=0 har galois-gruppen S2/A2/Z2/C2 efter hvilket humør man er i. Analytisk set har det ingen betydning. Jeg har ikke påstået at 5 er imaginært tal, jeg har skrevet at de imaginære tal ikke udgør en fornuftig matematisk mængde (et legeme). At komplekse tal kan repræsenteres i et koordinatsystem har ingen praktisk betydning. 2i^2=-4, så de imaginære tal udgør ikke et legeme(algebraisk). Til gengæld er (analytisk) e^(pi*i)+1=0 veldefineret. Og holomorfe funktioner er gode at have med at gøre.--Madglad (diskussion) 30. apr 2015, 04:55 (CEST)

Nå, Madglad, det du skriver om imaginära tals egenskaper känner jag till. Jag vet vad en kropp (dansk: legeme) är, och att mängden av imaginära tal är sluten (lukked) under addition men icke under multiplikation, och alltså icke är en kropp. Jag känner väl till komplexkonjugering, och alltså att exempelvis ${\overline {3+5i}}=3-5i$; och jag vet att konjugeringen definierar en kroppsautomorfi på C. Jag är (som du kan se av länken till min hemsida) universitetslärare i matematik, och jag håller just nu en kurs i Galoisteori (se http://kurser.math.su.se/enrol/index.php?id=292). Det är utmärkt att du också vet en del om detta; men felet i artikeln är på en mycket elementärare nivå.

Det du påstår är

"...og et imaginært tal (imaginærdelen)."

Därmed påstår du att imaginärdelen skulle vara ett imaginärt tal. Eftersom imaginärdelen av 3+5i är 5, påstår du alltså implicit att 5 är ett imaginärt tal. Alternativt menar du något annat med imaginärdel än vad engelska, svenska och danska matematiker brukar mena med imaginärdel. Jag har tre spörsmål om detta:

1. Vet du, vad Im(2-9i), alltså imaginärdelen av 2-9i, är (enligt exempelvis Komplekse tal#Rektangulær og polær repræsentation, eller enligt vilken som helst grundläggande universitetslärobok i matematik på engelska, danska eller svenska)?
2. Vad anser du att imaginärdelen av 2-9i är?
3. Är Im(2-9i) ett imaginärt tal? Jörgen B (diskussion) 30. apr 2015, 10:01 (CEST)

Forbedringer

Uha, som artiklens forfatter og som skribent, der kun har været med i lidt over et år, må jeg indrømme,

1. at jeg ikke kendte reglen om, at der ikke må være mellemrum efter en reference^[1], jeg synes, at skriftbilledet er pænere med luft ^[2] til at lette læsningen. Hvor er denne regel (og evt. andre regler) formuleret?
2. at artikler om store emner ikke må være lange. Er der en øvre grænse?
3. at jeg ikke troede, at lix-begrebet med rimelighed kan anvendes på en matematisk tekst.
   

Jeg ved ikke hvor mange ikke-matematikere, der interesserer sig for komplekse tal. De må jo så nøjes med indledningen, kigge på nogle af illustrationerne og evt. læse det historiske afsnit. Kan man forlange af en Wikipedia-artikel om et fagspecifikt emne, at alt i den skal kunne være letlæselig for menigmand? Er der også en regel om, at der ikke må være artikler for matematikere? Jeg har tilføjet mange eksempler for at lette forståelsen. Og overskueligheden hjælpes da på vej af indholdsfortegnelsen. Wikipedia-artikler bør være fagligt korrekte og sprogligt klare. Hvis der er faglige eller sproglige fejl, så skal de naturligvis rettes. Jeg er i øvrigt enig i, at afsnittet Anvendelse bør udvides, men det orkede jeg ikke, da jeg var færdig med hovedindholdet; det kan komme senere, eller en anden kan skrive herom. --AstroOgier (diskussion) 4. feb 2020, 12:52 (CET)

@AstroOgier: Jeg har flyttet dit indlæg hertil, da huskelisten ikke er til diskussioner. --Inc (diskussion) 4. feb 2020, 16:50 (CET)

@AstroOgier: For at svare vil jeg for det første sige, at din artikel tydeligvis er vellidt, da den er blevet udnævnt til både Lovende og Ugens Artikel, så kommentarerne på huskelisten er blot til yderligere forbedring. Man er også velkommen til at være uenig i forslagene.

Til de enkelte spørgsmål:

1. Det står her.
2. Der er ikke en øvre grænse, men der er en såkaldt norm om at holde det simpelt og forbinde artikler. Hvis du fx ser på artiklen Jorden, kan du se, at der er {{Uddybende}} og {{Hovedartikel}} på flere af afsnittene, så al information ikke behøver at være i én artikel, hvilket ville være uoverskueligt. Om Komplekse tal er for lang, er en vurderingssag, men personligt synes jeg, den er lidt overvældende.
   For at være konkret kunne artiklen med fordel forbindes bedre til/uddybes i Kompleks analyse, De Moivres formel, De komplekse tals historie, Imaginære tal, Imaginære enhed og Kvaternioner.
3. Lix-tal kan vel godt bruges som mål, og som sagt skal man prøve at holde det simpelt. Hvis det ikke er praktisk muligt at forsimple mere, kan man referere til andre artikler, der forklarer fagbegreberne. Jeg opfordrer selvfølgelig ikke til forkert sprogbrug, eller at vi skriver noget faktuelt forkert i et forsøg på at forsimple. --Inc (diskussion) 4. feb 2020, 17:42 (CET)

Nu har jeg reduceret indledningen og flyttet lidt ned til Notation og Tallegemet $\mathbb {C}$. Indledningens lix-tal er nu 44. --Inc (diskussion) 4. feb 2020, 18:15 (CET)

Forslag til en mindre matematisk indledning

Et komplekst tal $z=a+b\cdot i$ kan illustreres med et punkt (sort prik) i et talplan, hvor realdelen $a$ afsættes ud af førsteaksen (Re) og imaginærdelen $b$ afsættes op ad andenaksen (Im). Beliggenheden af de tre komplekse tal $0$, $1$ og $\mathrm {i}$ er angivet med farvede prikker.

Ved et komplekst tal_ref forstås en størrelse $z$, bestående af to komponenter, et reelt tal (realdelen) og et imaginært tal (imaginærdelen). Det imaginære tal kan ses som et reelt tal ganget med den imaginære enhedsstørrelse $\mathrm {i}$. Et komplekst tal kan derfor repræsenteres ved to relle tal, og illustreres som et punkt i et koordinatsystem kaldet et Argand-diagram med en reel og en imaginær akse.

Et komplekst tal skrives på formen

$z=a+b\cdot \mathrm {i} ,\quad a\in \mathbb {R} ,\;b\in \mathbb {R}$

hvor $a$ og $b$ som angivet er vilkårlige reelle tal og hvor $\mathrm {i}$ er en særligt konstrueret størrelse med egenskaben

$\mathrm {i} ^{2}=-1$

Da det for ethvert reelt tal $a$ gælder, at $a^{2}\geqq 0$, kan $\mathrm {i}$ ikke være et reelt tal; størrelsen kaldes den imaginære enhed. Populært omtales $\mathrm {i}$ også som "kvadratroden af -1", og det er netop en af de kendetegnende egenskaber ved komplekse tal, at et komplekst tal opløftet i 2. potens kan blive et negativt tal (modsat de reelle tal hvor selv et negativt tal i 2. potens altid er et positivt resultat).

En stringent definition af de komplekse tal $\mathbb {C}$ og den imaginære enhed $\mathrm {i}$ gives i dette afsnit. Den historiske udvikling beskrives i det historiske afsnit. Endelig er der et afsnit om anvendelse i matematik, fysik og teknik.

--Honymand (diskussion) 30. apr 2020, 16:28 (CEST)

Fint med en forståelig indledning. Men man bør lægge vægten på at et komplekst tal er et tal, ikke et punkt i et koordinatsystem. Og: Jeg er stadig modstander af termen "imaginært tal". De har ingen selvstændig matematisk relevans. Det "imaginære tal" udgør ikke et dellegeme af ℂ, heller ikke en engang en ring. Men OK, hvis man gør det klart at "(𝕀,+)" er en additiv abelsk gruppe, isomorf med gruppen (ℝ,+), men ikke udgør en delring af (ℂ,+,·), så for min skyld ingen alarm. Men det får man ingen forståelig indledning af. --Madglad (diskussion) 30. apr 2020, 17:22 (CEST)

Fin pointe med de imaginære tal. Det kunne du godt skrive ind i artiklen om Imaginære tal, men det ville være lidt off-topic her.
Angående udkastet ser det overordnet fint ud, men jeg ved ikke, om det er så meget lettere at forstå 🤔 Personligt synes jeg, at komplekse tal bliver meget mindre abstrakte, når man ser formlen, hvorfor det giver mening, at introducere den tidligt. Én rettelse: Imaginærdelen er altid reel, da ordet refererer til $b$. --Inc (diskussion) 1. maj 2020, 06:47 (CEST)ℝ

"Imaginære tal" er en uddød matematisk betegnelse for komplekse tal, en betegnelse der aldrig slog helt igennem og nu kun giver "mening" indenfor populærmatematik. Artiklen Imaginære tal kunne sagtens rummes som afsnit denne artikel. Der redegøres for begrebets historie, og hvorfor det ikke er matematisk anvendeligt, uanset hvor udbredt det er som overbygning på folkeskolematematikken. Så egentligt foreslår jeg Imaginære tal indskrevet her i Komplekse tal. /Madglad (diskussion) 1. maj 2020, 11:00 (CEST)

Der er jo nok en grænse for hvor forsimplet og letforståelig man kan gøre begrebet komplekse tal, bl.a. fordi det jo netop ikke bare er at forstå som et talpar, f.eks. en koordinat eller vektor. Derfor er lixtallet måske heller ikke et entydigt brugbart mål. Emnet er komplekst og kræver en del abstraktionsevne rigtigt at forstå. Personligt synes jeg at en af de mest letforståelige egenskaber ved de komplekse tal er muligheden for at $a^{2}<0$ - da de fleste kan huske fra skolen at dette ikke ikke kan ske med de andre tallegemer.--Honymand (diskussion) 1. maj 2020, 22:40 (CEST)

Vi er vel enige om at der kan skrives en ret letforståelig indledning, og så kan man gå mere ind i de komplekse matematiske detaljer senere?

Og du begår en fejl, citat: "Personligt synes jeg at en af de mest letforståelige egenskaber ved de komplekse tal er muligheden for at $a^{2}<0$ - da de fleste kan huske fra skolen at dette ikke ikke kan ske med de andre tallegemer."

Der gælder i²=-1, men ikke i²<0. Det skyldes at ℂ (i modsætning til ℚ og ℝ) ikke er ordnet med den binære relation "<". Se mere: en:Ordered_field.

--Madglad (diskussion) 2. maj 2020, 08:31 (CEST)

Husk at $\mathbb {R} \subset \mathbb {C}$.--Honymand (diskussion) 2. maj 2020, 08:59 (CEST)

Ja, og (ℝ, +, ·) er et dellegeme af (ℂ, +, ·), men det betyder ikke at ordningen "<" følger med. (ℂ, +, ·) er ikke et ordnet legeme. Er -6 > 3+4i eller -6 < 3+4i? --Madglad (diskussion) 2. maj 2020, 09:33 (CEST)

$\exists a\in \mathbb {C} :a^{2}\in \mathbb {R} \land a^{2}<0$ --Honymand (diskussion) 2. maj 2020, 10:55 (CEST)

^Enig, så længe $a$ er rent imaginær. Det står også allerede beskrevet i afsnittet Elementære regneregler for komplekse tal. Endnu en grund til at beholde artiklen om imaginære tal.
@Honymand: Du har vist fået kommentarer nu. Jeg tænker, at du kan indsætte dine ændringer i indledningen. Så kan de altid tilpasses yderligere. --Inc (diskussion) 2. maj 2020, 11:06 (CEST)

Done.--Honymand (diskussion) 2. maj 2020, 17:08 (CEST)