《卷二》[查看正文] [修改] [查看历史]

1	又术曰径自相乘三之四而一
2	按圎径自乘为外方三之四而一者是为圎居外方四分之三也若令六觚之一面乘半径其幂即外方四分之一也因而三之即亦居外方四分之三也是为圎里十二觚之幂耳取以为圎失之于㣲少于徽新术当径自乘又以一百五十七乘之二百而一淳风等按密率令径自乘以十一乘之十四而一即圎幂也
3	又术曰周自乘十二而一
4	六觚之周其于圎径三与一也故六觚之周自相乘为幂若圎径自乘者九方九方凡为十二觚者十有二故曰十二而一即十二觚之幂也今此令周自乘非但为圎径自乘者九方而已然则十二而一所得又非十二觚之幂也若欲以为圎幂失之于多矣以六觚之周十二而一可也于徽新术直令圎周自乘又以二十五乘之三百一十四而一得圎幂其率三百一十四者周自乘之幂也置周数六尺二寸八分令自乘得幂三十九万四千三百八十四分又置圎幂三万一千四百分皆以一千二百五十六约之得此率
5	淳风等按方面自乘即得其积圆周求其幂假率乃通案假原本讹作股今改正但此术所求用三一为率圎田正法半周及半径以相乘今乃用全周自乘故须以十二为母何者据全周而求半周则须以二为法就全周而求半径复假六以除之是二六相乘除周自乘之数依密率以七乘之八十八而一
6	今有●田下周三十步径十六步问为田几何答曰一百二十步
7	今有●田下周九十九步径五十一步问为田几何答曰五亩二十六步四分步之一
8	术曰以径乘周四而一
9	此术不验故推方锥以见其形假令方锥下方六尺高四尺四尺为股下方之半三尺为句正面邪为弦弦五尺也令句弦相乘案句弦原本讹作句股今改正四因之得六十尺即方锥四面见者之幂若令其中容圎锥圆锥见幂与方锥见幂其率犹方幂之与圎幂也案圎幂原本讹作圎锥今改正按方锥下六尺则方周二十四尺以五尺乘而半之则亦方锥之见幂故求圎锥之数折径以乘下周之半即圎锥之幂也今●田上径圎穹而与圎锥同术则幂失之于少矣然其术难用故畧举大较施之大广田也求圎锥之幂犹求圎田之幂也今用两全相乘故以四为法除之案原本脱四字今补亦如圎田矣开立圎术说圎方诸率甚备可以验此今有弧田弦三十步矢十五步问为田几何答曰一亩九十七步半
10	又有弧田弦七十八步二分步之一矢十三步九分步之七问为田几何答曰二亩一百五十五步八十一分步之五十六
11	术曰以弦乘矢矢又自乘并之二而一方中之圆圆里十二觚之幂合外方之幂四分之三也方中合外方之半则朱实合外方四分之一也弧田半圎之幂也故依半圎之体而为之术以弦乘矢而半之案弦原本讹作弧今改正则为黄幂矢自乘而半之则为二青幂青黄相连案注文此书旧有圗而缺又上圎田注内亦引弧田圗详考其说非圗不显今补圗于后为弧体法当用规今觚面不至外畔案原本讹作令弧而不至外畔今改正失之于少矣圎旧术以周三径一为率俱得十二觚之幂案原本讹作十二弧之弧今改正亦失之子少也与此相似指验半圎之幂耳若不满半圎者益复疎濶宜句股锯圎材之术以弧弦为锯道长以矢为句深而求其径案此谓弧矢形求圎径其术以弧弦折半自乘矢除之加矢为圎径既知圎径则弧可割分也割之者半弧田之弦以为股其矢为句为之求弦即小弧之弦也以半小弧之弦为句半圎径为弦为之求股以减半径其馀即小弦之矢也割之又割使至极细但举弦矢相乘之数则必近密率矣然于算数差繁必欲有寻究也若但度田取其大旧术为约耳
12	今有环田中周九十二步外周一百二十二步径五步此欲令与周三径一之率相应故言径五步也据中外周以徽术言之当径四步一百五十七分步之一百二十二也
13	淳风等按依密率合径四步二十二分步之十七问为田几何答曰二亩五十五步
14	于徽术当为田二亩三十一步一百五十七分步之二十三
15	淳风等按依密率为田二亩三十步二十二分步之十五
16	术曰并中外周而半之以径乘之为积步此田截而中之周则为长案此处有脱误当云截齐中外之周周则为长并而半之知亦以盈补虚也此可令中外周各自为圎田以中圎减外圎馀则环实也
17	又有环田中周六十二步四分步之三外周一百一十三步二分步之一径十二步三分步之二此田环而不通匝故径十二步三分步之二若据上周求径者此径失之于多过周三径一之率葢为疎矣于徽术当径八步六百二十八分步之五十一淳风等按依周三径一考之合径八步二十四分步之一十一依密率合径八步一百七十六分步之一十三
18	问为田几何答曰四亩一百五十六亩四分步之一于徽术当为田二亩二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也依周三径一为田三亩二十五步六十四分步之三十五
19	淳风等按宻率为田二亩二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也
20	术曰置中外周步数分母子各居其下案原本脱母字今据注补母互乘子通全步内分子案此句上下皆有脱文当云分母相乘通全步内分子并而半之以中周减外周馀半之案此别记术之小异亦有脱文当云又可以中周减外周馀半之以益中周径亦通分内子以乘周为实分母相乘为法除之为积步馀积步之分案此句下有脱文当云馀积步之分等数约之以亩法除之即亩数也
21	按此术并中外周步数于上以分母子置于下母互乗子者为中外周俱有馀分故以互乗齐其子母相乗同其母子齐母同故通全步内分子半之上二字有脱文当云并而半之知以盈补虚得中平之周周则为从径则为广故广从相乗而得其积既合分母还须分母出之故令周径分母相乗而连除之即得积步不尽以等数除之而命分以亩法除积步得亩数也
22	九章算术卷一
23	钦定四库全书
24	九章算术卷二　　　　　晋　刘　徽　注唐　李淳风
25	注释
26	粟米以御交质变易
27	凡此诸率相与大通其时相求各如本率可约者约之别术然也
28	粟率五十
29	粝米三十
30	稗米二十七
31	糳米二十四
32	御米二十一侍诗大雅郑笺云米之率粝十稗九糳八御七疏云九章粟米之法粟率五十粝米三十稗二十七凿二十四御二十一言粟五升为粝米三升已下则米渐细故数益少今考凿糳古多通用小䵂十三半
33	大䵂五十四
34	粝饭七十五稗饭五十四
35	糳饭四十八
36	御饭四十二
37	菽荅麻麦各四十五
38	稻六十
39	豉六十三
40	飧九十
41	熟菽一百三半
42	糱一百七十五
43	今有称今有即下文所有率是也此都术也凡九数以为篇名可以广施诸率所谓告往而知来举一隅而三隅反者也诚能分诡数之纷杂通彼此之否塞因物成率审辨名分平其偏颇齐其参差则终无不归于此术也
44	术曰以所有数乗所求率为实以所有率为法少者多之始一者数之母故为率者必等之于一据粟率五粝率三是粟五而为一粝米三而为一也欲化粟为米者粝当先本是一案下举粟率五令五为一则此不得云粝当先本是一粝字应改作粟一者谓以五约之令五而为一也讫乃以三乗之令一而为三如是则率至于一上至字误云为率者必等之于一至乃等字之误以五为三矣然先除后乗或有馀分故术反之又究言之知粟五升为粝米三升以分言之知粟一斗为粝米五分斗之三以五为母三为子以粟求粝米者乗其母报除也案此句有脱误当云以子乗其母报除也然则所求之率常为母也
45	淳风等按宜云所求之率常为子所有之率常为母今乃云所求之率常为母知脱错也
46	实如法而一
47	今有粟一斗欲为粝米问得㡬何答曰为粝米六升术曰以粟求粝米三之五而一淳风等按都术以所求率乗所有数以所有率为法此术以粟求米故粟为所有数三是米率故三为所求率五为粟率故五为所有率粟率五十米率三十退位求之故惟云三五也
48	今有粟二斗一升欲为稗米问得㡬何答曰为稗米一斗一升五十分升之十七
49	术曰以粟求稗米二十七之五十而一淳风等按稗米之率二十有七故直以二十七之五十而一也
50	今有粟四斗五升欲为糳米问得㡬何答曰为糳米二斗一升五分升之三
51	术曰以粟求糳米十二之二十五而一淳风等按糳米之率二十有四以为率太繁故因而半之半所求之率以乗所有之数所求之率既减半所有之率亦减半是故十二乗之二十五而一也今有粟七斗九升欲为御米问得㡬何答曰为御米三斗三升五十分升之九
52	术曰以粟求御米二十一之五十而一今有粟一斗欲为小䵂问得㡬何答曰为小䵂二升一十分升之七
53	术曰以粟求小䵂二十七之百而一
54	淳风等按小䵂之率十三有半半者二为母以二通之得二十七为所求率又以母二通其粟率得一百为所有率凡本率有分者须即乗除也他皆仿此今有粟九斗八升欲为大䵂问得㡬何答曰为大䵂一十斗五升二十五分升之二十一
55	术曰以粟求大䵂二十七之二十五而一淳风等按大䵂之率五十有四因其可半故二十七之亦如粟求糳米半其二率
56	今有粟二斗三升欲为粝饭问得㡬何答曰为粝饭三斗四升半
57	术曰以粟求粝饭三之二而一
58	淳风等按饭之率七十有五粟求粝饭合此此数乗之今以等数二十有五约其二率所求之率得三所有之率得二故以三乗二除
59	今有粟三斗六升欲为稗饭问得㡬何答曰为稗饭三斗八升二十五分升之二十二
60	术曰以粟求稗饭二十七之二十五而一淳风等按此术与大䵂多同
61	今有粟八斗六升欲为糳饭问得㡬何答曰为糳饭八斗二升二十五分升之一十四
62	术曰以粟求糳饭二十四之二十五而一淳风等按糳饭率四十八此亦半二率而乗除今有粟九斗八升欲为御饭问得㡬何答曰为御饭八斗二升二十五分升之八
63	术曰以粟求御饭二十一之二十五而一淳风等按此术半率亦与糳饭多同
64	今有粟三斗少半升欲为菽问得㡬何答曰为菽二斗七升一十分升之三
65	今有粟四斗一升太半升欲为荅问得㡬何答曰为荅三斗七升半
66	今有粟五斗太半升欲为麻问得㡬何答曰为麻四斗五升五分升之三今有粟一十斗八升五分升之二欲为麦问得㡬何答曰为麦九斗七升二十五分升之一十四术曰以粟求菽荅麻麦皆九之十而一淳风等按四术率竝四十五案竝原本讹作并今改正皆是为粟所求俱合以此率乗其本粟术欲从省先以等数五约之所求之率得九所有之率得十故九乗十除义由于此
67	今有粟七斗五升七分升之四欲为稲问得㡬何答曰为稻九斗三十五分斗之二十四
68	术曰以粟求稻六之五而一
69	淳风等按稻率六十六约二率而乗除今有粟七斗八升欲为豉问得㡬何答曰为豉九斗八升二十五分升之七
70	术曰粟求豉六十三之五十而一
71	今有粟五斗五升欲为飧问得㡬何答曰为飧九斗九升
72	术曰以粟求飧九之五而一
73	淳风等按飧率九十退位与求稻多同今有粟四斗欲为熟菽问得㡬何答曰为熟菽八斗二升五分升之四
74	术以粟求熟菽二百七之百而一
75	淳风等按熟菽之率一百三半半者其母二故以母二通之所求之率既被二乗所有之率随而俱长故以二百七之百而一
76	今有粟二斗欲为糱问得㡬何答曰为糱七斗术曰以粟求糱七之二而一
77	淳风等按糱率一百七十有五合以此数乗其本粟术欲从省先以等数二十五约之所求之率得七所有之率得二故七乗二除
78	今有粝米十五斗五升五分升之二欲为粟问得㡬何答曰为粟二十五斗九斗
79	术曰以粝米求粟五之三而一
80	淳风等按上术以粟求米故粟为所有数三为所求率五为所有率今此以米求粟故米为所有数五为所求率三为所有率准都术求之各合其数以下所有反求多同皆准此
81	今有稗米二斗欲为粟问得㡬何答曰为粟斗斗七升二十七分升之一
82	术曰以稗米求粟五十之二十七而一今有糳米斗求半升欲为粟问得㡬何答曰为粟二斗三升三十六分升之七
83	术曰以糳米求粟二十五之十二而一今有御米十四斗欲为粟问得㡬何答曰为粟三十三斗三升少半升
84	术曰以御米求粟五十之二十一而一案原本作二十二而一今改正今有稻一十二斗六升一十五分升之一十四欲为粟问得㡬何答曰为粟一十斗五升九分升之七术曰以稻求粟五之六而一
85	今有粝米一十九斗二升七分升之一欲为稗米问得㡬何答曰为稗米一十七斗二升一十四分升之一十三
86	术曰以粝米求稗九之十而一
87	淳风等按稗米率二十七合以此数乗粝米术欲从省先以等数三约之所求之率得九所有之率得十故九乘而十除
88	今有粝米六斗四升五分升之三欲为粝饭问得㡬何答曰为粝饭一十六斗一升半
89	术曰以粝米求粝饭五之二而一
90	淳风等按粝饭之率七十有五宜以本粝饭乗以率数案此句舛误当云宜以本粝米乗此率术欲从省先以等数十五约之所求之率得五所有之率得二故五乗二除义由于此
91	今有粝饭七斗六升七分升之四欲为飧问得㡬何答曰为飧九斗一升三十五分升之三十一术曰以粝饭求飧六之五而一
92	淳风等按飧率九十为粝饭所求宜以飧乗此率案此句误当云宜以粝饭乗此率术欲从省先以等数十五约之所求之率得六所有之率得五以此故六乗五除也今有菽一斗欲为熟菽问得㡬何答曰为熟菽二斗三升
93	术曰以菽求熟菽二十三之十而一
94	淳风等按熟菽之率一百三半作率原本讹粟今改正因其有半各以母二通之宜以熟菽数乗此率案此句误当云宜以菽数乗此率衍熟字术欲从省先以等数九约之所求之率得一十一半所有之率得五也
95	今有菽二斗欲为豉问得㡬何答曰为豉二斗八升术曰以菽求豉七之五而一
96	淳风等按豉率六十三为菽所求宜以豉乗此率此句误当云宜以菽乗此率术欲从省先以等数九约之所求之率得七而所有之率得五也
97	今有麦八斗六升七分升之三欲为小䵂问得㡬何答曰为小䵂二斗五升一十四分升之一十三术曰以麦小䵂三之十而一
98	淳风等按小䵂之率十三半宜以母二通之以乗本麦之数术欲从省先以等数九约之所求之率得三所有之率得十也
99	今有麦一斗欲为大䵂问得㡬何答曰为大䵂一斗二升
100	术曰以麦求大䵂六之五而一
101	淳风等按大䵂之率五十有四合以大䵂数乗此率此句误当云合以麦数乗此率术欲从省先以等数九约之所求之率得六所有之率得五也
102	今有出钱一百六十买瓴甓十八枚
103	瓴甓甎也
104	问枚㡬何答曰一枚八钱九分钱之八今有出钱一万三千五百买竹二千三百五十个问个㡬何答曰一个五钱四十七分钱之三十五经率术曰以所买率为法所出钱数为实实如法得一此术犹经分
105	淳风等按今有之义以所求率乗所有数合以瓴甓一枚乗钱一百六十为实案此句原本脱乗字今补但以一乗不长故不复乗是以径将所买之率与所出之钱为法实也又按此今有之义出钱为所有数一枚为所求率所买为所有率而今有之即得所求数案原本讹作即得所求率今改正一乗不长故不复乗是以径将所买之率为法以所出之钱为实实如法得一枚钱不尽者等数而命分今有出钱五千七百八十五买漆一斛六斗七升太半升欲斗率之问斗㡬何答曰一斗三百四十五钱五百二分钱之一十五
106	今有出钱七百二十买缣一匹二丈一尺欲丈率之问丈㡬何答曰一丈一百一十八钱六十一分钱之二今有出钱二千三百七十买布九匹二丈七尺欲匹率之问匹㡬何答曰一匹二百四十四钱一百二十九分钱之一百二十四
107	今有出钱一万三千六百七十买丝一石二钧一十七斤欲石率之问石㡬何答曰一石八千三百二十六钱一百九十七分钱之百七十八
108	术曰以所求率乗钱数为实以所买率为法实如法得一
109	淳风等按今有之义钱为所求率物为所有数故以乗钱又以分母乗之为实实如法而一有分者通之所买通分内子为所有率故以为法得钱案此已上舛误不可通考书内列数问淳风等多据首一问为言此当云今有之义一斗为所求率出钱为所有数故以一斗乗钱数有分者通之又以分母乗之为实所买通分内子为所有率故以为法实如法而一得钱数不尽而命分者因法为母实馀为子实见不满故以命之
110	今有出钱五百七十六买竹七十八个欲其大小率之问各㡬何答曰其四十八个个七钱其三十个个八钱今有出钱一千一百二十买丝一石二钧十八斤欲其贵贱斤率之问各㡬何答曰其二钧八斤斤五钱其一石一十斤斤六钱
111	今有出钱一万三千九百七十买丝一石二钧二十八斤三两五铢欲其贵贱石率之问各㡬何答曰其一钧九两一十二铢石八千五十一钱其一石一钧二十七斤九两一十七铢石八千五十二钱
112	今有出钱一万三千九百七十买丝一石二钧二十八斤三两五铢欲其贵贱钧率之问各㡬何答曰其七斤一十两九铢钧二千一十二钱其一石二钧二十斤八两二十铢钧二千一十三钱
113	今有出钱一万三千九百七十买丝一石二钧二十八斤三两五铢欲其贵贱斤率之问各㡬何答曰其一石二钧七斤十两四铢斤六十七钱其二十斤九两一铢斤六十八钱今有出钱一万三千九百七十买丝一石二钧二十八斤三两五铢欲其贵贱两率之问各㡬何答曰其一石一钧一十七斤一十四两一铢两四钱其一钧一十斤五两四铢两五钱
114	其率术曰各置所买石钧斤两以为法以所率乗钱数为实实如法而一不满法者反以实减法法贱实贵其求石钧斤两以积铢各除法实各得其积数馀各为铢其率如欲令差分按出钱五百七十六买竹七十八个以除钱得七实馀三十是以三十个复可増一钱然则实馀之数即是贵者之数故曰实贵也本以七十八个为法今以贵者减之则其馀悉是贱者之数故曰法贱也其求石钧斤两以积铢各除法实各得其积数馀各为铢者谓石钧斤两积铢除实又以石钧斤两积铢除法馀各为铢即合所问今有出钱一万三千九百七十买丝一石二钧二十八斤三两五铢欲其贵贱铢率之问各㡬何答曰其一钧二十斤六两十一铢五铢一钱其一石一钧七斤一十二两一十八铢六铢一钱
115	今有出钱六百二十买羽二千一百翭翭羽本也数羽称其本犹数草木称其根株欲其贵贱率之问各㡬何答曰其一千一百四十翭三翭一贱其九百六十翭四翭一钱
116	今有出钱九百八十买矢干五千八百二十枚欲其贵贱率之问各㡬何答曰其三百枚五枚一钱其五千五百二十枚六枚一钱
117	反其率术曰以钱数为法所率为实实如法而一不满法者反以实减法法少实多二物各以所得多少之数乘法实即物数
118	按其率出钱六百二十买羽一千二百翭反之当二百四十钱一钱四翭其三百八十钱一钱三翭{{案以