Constant matemàtica

La versió per a impressora ja no és compatible i pot tenir errors de representació. Actualitzeu les adreces d'interès del navegador i utilitzeu la funció d'impressió per defecte del navegador.

Una constant matemàtica és una quantitat que per definició no canvia mai el seu valor, en oposició a les variables matemàtiques. Mentre que les constants físiques depenen de mesures experimentals, les constants matemàtiques no depenen de cap propietat física. Solen ser nombres reals o nombres complexos.

Constants en matemàtiques avançades

Aquestes són constant que es troben freqüentment en les matemàtiques avançades.

Les constants α i δ de Feigenbaum

Iterar en funcions contínues és un dels exemples més simples de models per a sistemes dinàmics.^[1] Les dues constants de Feigenbaum, que duen el nom del físic Mitchell Feigenbaum, apareixen en aquests processos iteratius: són invariants matemàtiques de mapes logístics amb punts màxims quadràtics^[2] i els seus diagrames de bifurcació. En particular, la constant α és el ratio entre l'amplada d'una punxa i l'amplada d'una de les seves dues subpunxes, i al constant δ és el límit del ràtio de cada interval de bifurcació amb el següent entre cada bifurcació en què es duplica el període.

El mapa logístic és un mapa polinòmic, sovint citat com l'exemple arquetípic de com el comportament catòtic pot aparèixer a partir d'equacions dinàmiques no lineals molt simples. El mapa es va popularitzar en un article seminari de 1976 del biologista australià Robert May,^[3] en part com a model demogràfic de temps discret anàleg a l'equació logística creada per Pierre François Verhulst. L'equació de diferències pretén capturar els dos efectes de reproducció i d'inanició.

El valor numèric d'α és d'aproximadament 2.5029, mentre que el valor numèric de δ és aproximadament de 4.6692.

Constant d'Apéry ζ(3)

La constant d'Apery és la suma de la sèrie $\zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots$ La constant d'Apéry és un nombre irracional i el seu valor numèric és d'aproximadament 1.2020569.

Malgrat ser un cas particular de la funció zeta de Riemann, la constant d'Apéry apareix naturalment en un seguit de problemes físics, inclosos els termes de segon i tercer ordre de la fracció giromagnètica de l'electró, calculat en electrodinàmica quàntica.^[4]

La secció àuria $φ$

Rectangles auris en un icosaedre regular

F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}

Una fórmula explícita pel nombre de Fibonacci

n

-èssim que inclou la secció àuria

φ

.

El nombre $φ$ , també anomeneat la secció àuria, apareix freqüentment en geometria, en particular en figures amb simetria pentagonal. En efecte, la longitud de la diagonal d'un pentàgon és $φ$ vegades el seu costat. Els vèrtexs d'un icosaedre regular són els de tres rectangles auris ortogonals. A més, apareix en la successió de Fibonacci, relacionada amb el creixement per recursivitat.^[5] Kepler va demostrar que és el límit del ràtio de nombres de Fibonacci consecutius.^[6] La secció àuria té la convergència més lenta de tot nombre irracional.^[7] És, per aquesta raó, un dels pitjors casos del teorema d'aproximació de Lagrange i és un cas extrem de la desigualtat de Hurwitz per aproximacions diofàntiques. Aquest pot ser el motiu pel qual apareixen sovint angles propers a la secció àuria en el camp de la fil·lotaxi (el creixement de les plantes).^[8] És aproximadament igual a 1.6180339887498948482, o, més precisament 2⋅sin(54°) = $\scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.$

Constant d'Euler–Mascheroni γ

L'àrea entre les dues corbes (en vermell) tendeix a un límit, la constant d'Euler-Mascheroni.

La constant d'Euler–Mascheroni és definida com el següent límit.

{\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left(\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)-\ln n\right)\\[5px]\end{aligned}}

La constant d'Euler–Mascheroni apareix en el tercer teorema de Mertens i està relacionada amb la funció gamma, la funció zeta i diverses altres integrals i sèries.

Encara no se sap si $\gamma$ és racional o no.

El valor numèric de $\gamma$ és d'aproximadament 0.57721.

Constant de Conway λ

{\begin{matrix}1\\11\\21\\1211\\111221\\312211\\\vdots \end{matrix}}

Seqüència "mira i digues" de Conway

La constant de Conway és la taxa de creixement invariant de totes les cadenes derivades similars de la seqüència "look-and-say" ("mira i digues") (excepte per la trivial).^[9]

Ve donada per la única arrel positiva d'un polinomi de grau 71 amb coeficients enters.^[9]

El valor de λ és d'aproximadament 1.30357.

Constant de Khintxin K

Si un nombre real r s'escriu com a fracció contínua:

r=a_{0}+{\dfrac {1}{a_{1}+{\dfrac {1}{a_{2}+{\dfrac {1}{a_{3}+\cdots }}}}}},

on a_k són nombres naturals per tot k, llavors, com el matemàtic rus Aleksandr Khintxin va demostrar l'any 1934, el límit a mesura que n tendeix a infinit de la mitjana geomètrica: (a₁a₂...a_n)^1/n existeix i és una constant, la constant de Khintxin, excepte per un conjunt de mesura 0.^[10]

El valor numèric de K és d'aproximadament 2.6854520010.

Constant de Glaisher-Kinkelin A

Es defineix la constant de Glaisher-Kinkelin com el límit:

A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\prod _{k=1}^{n}k^{k}}{n^{n^{2}/2+n/2+1/12}e^{-n^{2}/4}}}

Apareix en algunes expressions de la derivada de la funció zeta de Riemann. Té un valor numèric d'aproximadament 1.2824271291.

Taula d'algunes constants matemàtiques

Abreviacions utilitzades:

R: Nombre racional; I: Nombre irracional, pot ser algebraic o transcendent; A: Nombre algebraic; T: Nombre transcendent; Gen: General; TN: Teoria de nombres; TC: Teoria del caos; Com: Combinatòria; Inf: Teoria de la informació; Ana: Anàlisi matemàtica

Símbol	Valor aproximat	Nom	Camp	N	Primera descripció	Nombre de dígits coneguts
0	0	Zero	Gen	R	s.VII aC-s.V aC	-
1	1	U, Unitat	Gen	R		-
i	√−1	Unitat imaginària	Gen, Ana	A	s. XVI	-
π	≈ 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288	Pi, Constant d'Arquimedes o nombre de Ludolph	Gen, Ana	T	vers l'any 2000 aC	1.241.100.000.000
e	≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249	Nombre e, constant d'Euler o constant de Napier, base dels Logaritmes naturals	Gen, Ana	T	1618	50.100.000.000
√2	≈ 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807	Constant de Pitàgores, arrel quadrada de dos	Gen	A	vers l'any 800 aC	137.438.953.444
√3	≈ 1,73205 08075 68877 29352 74463 41505	Constant de Teodor de Cirene, arrel quadrada de tres	Gen	A	vers l'any 800 aC
γ	≈ 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243	Constant d'Euler-Mascheroni	Gen, TN		1735	108.000.000
φ	≈ 1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811	Secció àuria	Gen	A	vers el s. III aC	3.141.000.000
ρ	≈ 1,32471 95724 47460 25960 90885 44780 97340	Nombre d'argent o plàstic	TN	A	1928
β*	≈ 0,70258	Constant d'Embree-Trefethen	TN
δ	≈ 4,66920 16091 02990 67185 32038 20466 20161	Constant de Feigenbaum	TC		1975
α	≈ 2,50290 78750 95892 82228 39028 73218 21578	Constant de Feigenbaum	TC
C₂	≈ 0,66016 18158 46869 57392 78121 10014 55577	Constant de la Conjectura dels nombres primers bessons	TN			5.020
M₁	≈ 0,26149 72128 47642 78375 54268 38608 69585	Constant de Meissel-Mertens	TN		1866 1874	8.010
B₂	≈ 1,90216 05823	Constant de Brun per als nombres primers bessons	TN		1919	10
B₄	≈ 0,87058 83800	Constant de Brun per a quartets de nombres primers	TN
Λ	> – 2,7 · 10^-9	Constant de Bruijn-Newman	TN		1950?
K	≈ 0,91596 55941 77219 01505 46035 14932 38411	Constant de Catalan	Com			201.000.000
K	≈ 0,76422 36535 89220 66299	Constant de Landau-Ramanujan	TN			30.010
K	≈ 1,13198 824	Constant de Viswanath	TN			8
B'_L	= 1	Constant de Legendre	TN
μ	≈ 1,45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744	Constant de Ramanujan-Soldner	TN			75.500
E_B	≈ 1,60669 51524 15291 763	Constant d'Erdős–Borwein	TN	I
β	≈ 0,28016 94990 23869 13303	Constant de Bernstein [1]	Ana
λ	≈ 0,30366 30029	Constant de Gauss-Kuzmin-Wirsing [2]	Com		1974	385
σ	≈ 0,35323 63718 54995 98454	Constant de Hafner-Sarnak-McCurley [3]	TN		1993
λ, μ	≈ 0,62432 99885	Constant de Golomb-Dickman [4]	Com TN		1930 1964
	≈ 0,62946 50204	Constant de Cahen		T	1891	4000
	≈ 0,66274 34193	Límit de Laplace [5]
	≈ 0,80939 40205	Constant d'Alladi-Grinstead [6]	TN
Λ	≈ 1,09868 58055	Constant de Lengyel [7]	Com		1992
	≈ 1,18656 91104	Constant de Khinchin-Lévy [8]	TN
ζ(3)	≈ 1,20205 69031 59594 28539 97381	Constant d'Apéry [9]			1979	1.000.000.000
θ	≈ 1,30637 78838 63080 69046	Constant de Mills [10]	TN		1947
	≈ 1,45607 49485 82689 67139 95953 51116 54356	Constant de Backhouse [11]
	≈ 1,46707 80794	Constant de Porter [12]	TN		1975
	≈ 1,53960 07178	Constant de Lieb (successió A118273 a l'OEIS)	Com		1967
	≈ 1,70521 11401 05367	Constant de Niven [13]	TN		1969
K	≈ 2,58498 17596	Constant de Sierpiński [14] Arxivat 2004-07-03 a Wayback Machine.
	≈ 2,68545 20010 65306 44530	Constant de Khinchin [15]	TN		1934	7350
F	≈ 2,80777 02420	Constant de Fransén-Robinson [16]	Ana
L	≈ 0,5	Constant de Landau	Ana			1

Referències

↑ Collet & Eckmann. Iterated maps on the inerval as dynamical systems. Birkhauser, 1980. ISBN 3-7643-3026-0.
↑ Finch, Steven. Mathematical constants. Cambridge University Press, 2003, p. 67. ISBN 0-521-81805-2.
↑ May, Robert. Theoretical Ecology: Principles and Applications. Blackwell Scientific Publishers, 1976. ISBN 0-632-00768-0.
↑ Weisstein, Eric W., «Apéry's constant» a MathWorld (en anglès).
↑ Livio, Mario. The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. Nova York: Broadway Books, 2002. ISBN 0-7679-0815-5.
↑ Tatersall, James. Elementary number theory in nine chapters (2nd ed, 2005.
↑ "The Secret Life of Continued Fractions"
↑ Fibonacci Numbers and Nature - Part 2 : Why is the Golden section the "best" arrangement?, from Dr. Ron Knott's Fibonacci Numbers and the Golden Section, retrieved 2012-11-29.
↑ ^9,0 ^9,1 Weisstein, Eric W., «Conway's Constant» a MathWorld (en anglès).
↑ Weisstein, Eric W., «Khinchin's Constant» a MathWorld (en anglès).

Enllaços externs

Constants. Wolfram MathWorld

[1] Collet & Eckmann. Iterated maps on the inerval as dynamical systems. Birkhauser, 1980. ISBN 3-7643-3026-0.

[2] Finch, Steven. Mathematical constants. Cambridge University Press, 2003, p. 67. ISBN 0-521-81805-2.

[3] May, Robert. Theoretical Ecology: Principles and Applications. Blackwell Scientific Publishers, 1976. ISBN 0-632-00768-0.

[4] Weisstein, Eric W., «Apéry's constant» a MathWorld (en anglès).

[5] Livio, Mario. The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. Nova York: Broadway Books, 2002. ISBN 0-7679-0815-5.

[6] Tatersall, James. Elementary number theory in nine chapters (2nd ed, 2005.

[7] "The Secret Life of Continued Fractions"

[8] Fibonacci Numbers and Nature - Part 2 : Why is the Golden section the "best" arrangement?, from Dr. Ron Knott's Fibonacci Numbers and the Golden Section, retrieved 2012-11-29.

[ReferenceA-9] 9,0 ^9,1 Weisstein, Eric W., «Conway's Constant» a MathWorld (en anglès).

[10] Weisstein, Eric W., «Khinchin's Constant» a MathWorld (en anglès).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]