Reflexió (matemàtiques)

En matemàtiques, una reflexió és una funció que transforma un objecte en la seva imatge especular. Per exemple, una reflexió de la lletra catalana b respecte d'una línia vertical, apareix com una d. Per a reflectir una figura plana cal que el "mirall" sigui una línia ("l'eix de reflexió"), mentre que per a reflexions en l'espai de tres dimensions s'ha d'emprar un pla com a mirall.

D'una reflexió respecte d'un eix seguida d'un altra reflexió respecte d'un altre eix paral·lel al primer en resulta una translació.

A D'una reflexió respecte d'un eix seguida d'un altra reflexió respecte d'un altre eix no paral·lel al primer en resulta una rotació entorn del punt d'intersecció dels dos eixos.

Geomètricament, per a trobar la reflexió d'un punt es traça una perpendicular del punt a la línia (pla) respecte de la (el) qual es fa la reflexió, i se segueix una distància igual cap a l'altra banda. Per a trobar la reflexió d'una figura, es troba la reflexió de cada un dels punts de la figura.

La repetició d'una reflexió, retorna a la figura inicial. Les reflexions preserven les distàncies entre els punts. Les reflexions no alteren els punts que es troben damunt del mirall i la dimensió del mirall és una unitat inferior de la dimensió de l'espai en què té lloc la reflexió. Aquestes observacions permeten de formalitzar la definició de reflexió: Una reflexió és una isometria involutiva d'un espai euclidià que té per conjunt de punts fixos un espai afí de codimensió 1.

D'una figura que no varia en aplicar-li una determinada reflexió es diu que té simetria especular.

Fórmules

Donat un vector a d'un espai euclidià Rⁿ, la fórmula de la reflexió respecte de l'hiperplà que passa per l'origen, i és ortogonal a a, ve donada per

$\mathrm {Ref} _{a}(v)=v-2{\frac {v\cdot a}{a\cdot a}}a$

On v•a indica el producte escalar de v per a. Fixeu-vos que el segon terme de l'equació anterior és precisament duplicar la projecció de v sobre a. Fàcilment es pot comprovar que

• Ref_a(v) = − v, si v és paral·lel a a, i
• Ref_a(v) = v, si v és perpendicular a a.

Donat que aquestes reflexions són isometries de l'espai euclidià que conserven l'origen, es poden representar per matrius ortogonals. La matriu ortogonal que correspon a la reflexió de dalt és la matriu que té per coeficients

$R_{ij}=\delta _{ij}-2{\frac {a_{i}a_{j}}{\|a\|^{2}}}$

on δ_ij és la delta de Kronecker.

La fórmula de la reflexió respecte de d'hiperplà afí $v\cdot a=c$ ve donada per

$\mathrm {Ref} _{a,c}(v)=v-2{\frac {v\cdot a-c}{a\cdot a}}a.$

Vegeu també

• Transformació de Householder

Viccionari