Mínim comú múltiple

El mínim comú múltiple (m.c.m.) de dos o més nombres enters positius és el menor nombre enter positiu que és múltiple de tots ells. Per exemple, si tenim el 72 i el 50 considerem els múltiples de cadascun:

múltiples de 72: 72,144, 216,288,...,432,504,.....1800,......

múltiples del 50: 50,100, 150,.....,1750,1800,......

S'observa que el menor nombre entre positiu que és múltiple dels dos és el 1800.

Tot seguit es mostren dos mètodes per al seu càlcul:

Mètode 1

El mètode general per calcular el mínim comú múltiple de dos o més nombres consisteix a descompondre els nombres en factors primers i després prendre els factors comuns i no comuns amb el major exponent amb què apareguin i els factors no comuns també amb el seu major exponent. Multiplicant tots aquest factors trobem el m.c.m.

Per exemple, m.c.m.= mínim comú múltiple de 72 i 50:

${\begin{array}{r|l}72&2\\36&2\\18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}}$ $72=2^{3}\cdot 3^{2}\,$

${\begin{array}{r|l}50&2\\25&5\\5&5\\1&\end{array}}$ $50=2\cdot 5^{2}\,$

$m.c.m.(72,50)=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}=1800$

Mètode 2

També es pot calcular el mínim comú múltiple coneixent el màxim comú divisor dels nombres, que serà el producte d'ambdós dividit entre el seu màxim comú divisor. Per tant la fórmula es la següent:

$m.c.m.(a,b)={\frac {a\cdot b}{m.c.d.(a,b)}}$

Exemple:

$m.c.m.(72,50)={\frac {72\cdot 50}{m.c.d.(72,50)}}={\frac {3600}{2}}=1800$

Propietats

Les propietats del m.c.m. són, en certa forma, duals de les del màxim comú divisor:

• El m.c.m. de diversos nombres és necessàriament més gran o igual que el més gran d'aquests.
• Si un nombre és múltiple d'un altre, el més gran és el m.c.m.
• El m.c.m. de dos nombres primers entre si és el resultat de multiplicar aquests nombres.
• Els múltiples comuns de dos o més nombres són múltiples del m.c.m. d'aquests nombres.
• El m.c.d. multiplicat pel m.c.m. de dos nombres dóna com a resultat el producte dels dos nombres.

$m.c.d.(a,b)*m.c.m.(a,b)=a*b$

• Qualsevol múltiple comú a a i b és un múltiple de m.c.m.(a,b).
• m.c.m.(a, b) = m.c.m.(|a|, |b|).
• m.c.m.(a, b) = m.c.m.(b, a).
• m.c.m.(a, 0) = 0.
• m.c.m.(a, a) = a.
• m.c.m.(a, m.c.m.(b, c)) = m.c.m.(m.c.m.(a, b), c), cosa que permet calcular el m.c.m de tres o més nombres.
• Si a i b són coprimers, aleshores m.c.m.(a, b) = |ab|

Usos

El m.c.m. s'empra per a sumar fraccions de distint denominador; només cal unificar cada fracció a un únic denominador, essent aquest denominador el m.c.m.; per exemple,

${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{33}}={\frac {11}{66}}+{\frac {2}{66}}={\frac {13}{66}}$

El m.c.m. als anells principals

Si A és un anell principal i I i J en són ideals, la ideal intersecció dels ideals I i J és l'ideal mínim comú múltiple dels ideals I i J. i també serveix per a restes.

Vegeu també

• Màxim comú divisor
• Nombre primer
• Factorització dels enters

Bibliografia

- Diccionari de Matemàtiques i Estadística. 2002. Ciència i Tecnologia. Enciclopèdia Catalana. Universitat Politècnica de Catalunya.