Уикипедия

Степенуване (математика): Разлика между версии

Интерактивен преглед на историята
← По-стара редакцияПо-нова редакция →
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
ВизуаленУикитекст
Редакция без резюме
Етикети: Редакция чрез мобилно устройство Редакция чрез мобилно приложение
Допълнение, разширение, редактиране, източници.
Ред 1:
{{Безповече източници}}
'''Степенуването''' е съкратен запис на произведение на еднакви множители.
[[Файл:Expo02.svg|256п|мини|[[Графика на функция|Графики]] на четири [[Функция|функции]] от вида <math>y = a^x</math>, <math>a</math> е указано до всяка графика]]
 
== Математическо определение ==
[[Умножение#Наименования|Произведението]] от '''''n''''' на брой равни [[множител]]и '''''a''''', където '''''n''''' е [[естествено число]], се записва като '''a<sup>n</sup>''' и се нарича степенуване на основа '''''a''''' на степен '''''n'''''. Целият този процес се нарича '''''повдигане на степен''''' или '''''стeпенуване'''''. Изразът <math>\; 5^3</math> се чете '''''пет на трета (степен) или пет на степен три'''''. Първите две степени, ''на втора'' и ''на трета'', се наричат съответно още '''''на квадрат''''' и '''''на куб'''''. Така<math>\; 5^2</math> може да се прочете като '''''пет на квадрат'''''. Числата, получени при повдигането на квадрат на [[цяло число]], се наричат [[Квадратно число|точни квадрати]]. <ref name=ME>{{cite book | title = Математическая энциклопедия (в 5 томах) | publisher = [[:ru:Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] | year = 1985 | edition = т. 5, Степень | location = М. | pages = 221 | lang = ru}}</ref>
 
Когато се работи с числа, обикновено се опростява: например '''27''' вместо<math>\; 3^3</math>, но когато се работи с променливи, се използва <math>\; x^6</math> вместо <math>\; xxxxxx</math>.
 
== Следствия ==
* Число, повдигнато на степен '''1''', си остава същото: (<math>\; a^1 = a</math>).
* Число, повдигнато на степен '''0''' е равно на 1: <math>\; a^0 = 1</math> при <math>\; a \neq 0</math> <br>(при <math>\; a = 0 \;</math> изразът <math>\; 0^0 \;</math> е [[:ru:Раскрытие неопределённостей|неопределеност]] <ref>Случаят <math>\; 0^0 \;</math> е противоречив. Следните граници показват, че изразът <math>\; 0^0 \;</math> е неопределена форма: <math display="block"> \begin{align}
* Число, повдигнато на степен '''0''' е равно на 1 (<math>\; a^0 = 1</math>).▼
\lim_{x \to 0^+} x^0 &= 1, \\
* Число, повдигнато на степен '''-1''' е равно на [[Реципрочна стойност|реципрочното]] му (<math>\; a^{-1} = {1 \over a}</math> при <math>\; a \neq 0</math>).▼
\lim_{x \to 0^+} 0^x &= 0.
* Число, повдигнато на степен '''1/2''' е равно на неговия [[корен квадратен]] (<math>\; a^{\frac {1} {2}} = { \sqrt a}</math>).▼
\end{align} </math></ref>).
▲* Число, повдигнато на степен '''-1''' е равно на [[Реципрочна стойност|реципрочното]] му: (<math>\; a^{-1} = {1 \over a}</math> при <math>\; a \neq 0</math>).
* Число, повдигнато на степен '''1/n''' е равно на неговия '''n'''-ти [[Коренуване|корен]]: <math>\; a^{\frac {1}{n}} = { \sqrt[n]{a}}</math>.
▲** Число, повдигнато на степен '''1/2''' е равно на неговия [[квадратен корен квадратен]]: (<math>\; a^{\frac {1} {2}} = { \sqrt a}</math>).
▲** Число, повдигнато на степен '''01/3''' е равно на 1неговия [[кубичен корен]]: (<math>\; a^0{\frac {1}{3}} = 1{ \sqrt a}</math>).
* При повдигане на число, различно от 0, на произволна степен резултатът винаги е различен от '''0'''.
* При повдигане на число на [[Четност|четна]] степен, резултатът винаги е [[положително число]].
Ред 18 ⟶ 23:
* Сборът на всички степени на числото 2 плюс 1 е равен на следващата степен на 2: 1 + 2<sup>0</sup> + 2<sup>1</sup>...+2<sup>n</sup> = 2<sup>n+1</sup> (за всяко [[цяло число]] ''n''≥0).
 
== Правила при степенуването ==
При степенуването може да се използват следните правила, за да се опростят математически изрази включващи степенуване.
 
За да се опрости израза, трябва да заменимсе замени с това, което той означава. ''На трета степен'' означава да ''умножимда се умножат три пътиеднакви множителя'', ''на четвърта'' – ''да умножимсе умножат четири пътиеднакви множителя''. Използвайки това, може да се разшири изразаизразът и след това да се опрости.:
::<math>\; (x^3)(x^4) = (xxx)(xxxx) = xxxxxxx = x^7</math>
 
Следователно <math>\; x^7</math> е равно на <math>\; x^{(3+4)}</math>.
 
*=== '''ПървотоПърво правило при степенуването''':===
Умножение на степенни изрази с '''еднакваравни базаоснови''' може да се представи като ''базаоснова'' със '''степенен показател равен на сумата от степенните показатели''', както в израза:
::<math>\; (x^m)(x^n) = x^{(m+n)}</math>
 
'''Нe''' може да се прилага това правило при изрази с различни ''базиоснови''. Например изразът <math>\; (x^4)(y^3)</math> не може да се опрости, защото <math>\; (x^4)(y^3) = xxxxyyy = (x^4)(y^3)</math> – и не е възможно комбинирането.
 
=== Второ правило ===
* '''Второто правилото при степенуването''':
Използвайки същата логика, може да се замести изразаизразът <math>\; {(x^2)}^4</math> с неговото значение -– „на четвърта“ означава да се умножиумножат четири пътиравни множителя <math>\quad; x^2</math>.▼
 
▲Използвайки същата логика може да се замести израза <math>\; {(x^2)}^4</math> с неговото значение - „на четвърта“ означава да се умножи четири пъти <math>\quad x^2</math>.
::<math>\; {(x^2)}^4 = (x^2)(x^2)(x^2)(x^2) = (xx)(xx)(xx)(xx) = xxxxxxxx = x^8</math>.<br />
Отново резултатът <math>\; x^8</math> е равен на <math>\; x^{(2 \times 4)}</math>
 
В това се заключава правилото, че '''степенен израз повдигнат на степен''' може да се замени с израз, при който '''базатаосновата е повдигната на степен, равна на произведението от стeпeнните показатели''', както в израза.
 
::<math>\; {(x^m)}^n = x^{(m \times n)}</math>.
 
*=== '''Трето правило при степенуването:'''===
При степенуване на произведение в скоби (хy)<sup>3</sup>, то '''степента се прилага върху всеки множител от скобите''':
:<math>\; {(xy^2)}^3 = (xy^2)(xy^2)(xy^2) = (xxx)(y^2y^2y^2) = x^3y^6 = (x)^3{(y^2)}^3</math>.
Ред 55 ⟶ 59:
 
== Отрицателни степенни показатели ==
Отрицателният степенен показател показва, че базатаосновата е сложена от другата страна спрямона дробната черта и за да стане с положителна стойност, изразът трябва да се премести от другата страна. Например в израза <math>\; x^{-2}</math> (''хикс на минус втора'') '''''x''''' е поставен в числителя <math>\; \frac{x^{-2}}{1}</math> вместо в знаменателя, което е равно на <math>\; \frac{1}{(x)^2}</math>.
 
Още няколко примера, превръщащи отрицателната степен в положително число:
Ред 77 ⟶ 81:
== Дробни (рационални) степени ==
[[Дроб (математика)|Дробно число]], използвано за степенен показател се ползва и при обратното действие на степенуване – [[коренуване]], като [[числител]]ят е степенният показател, а [[знаменател]]ят е коренът, например:
:<math>\; 7^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{7^2} = (\sqrt[3]7)^2</math>
 
Еднаквите стойности на корен и степенен показател се анулират един друг и резултатът не се променя. Например:
Ред 101 ⟶ 105:
 
Дробните степени позволяват по-голяма гъвкавост (което може да се види при много изчисления) и е по-лесно да се запише отколкото еквивалентния формат, като позволява изчисления, които иначе са невъзможни. Например:
:<math>\; (\sqrt[10]{25})^5 = (25^{ \frac{1}{10}})^5 = 25^{ \frac{1}{10} \times \frac{5}{1}} = 25^{ \frac{1}{2}} = \sqrt {25} = 5</math>
 
Някои степени под формата на десетична дроб, могат да се пренапишат така, че да станат обикновена дроб:
Ред 113 ⟶ 117:
 
== Външни препратки ==
* Оригиналната статия [[:en:Exponents: Basic Rules|Exponents: Basic Rules]] е на [http://www.purplemath.com/modules/exponent.htm The Purplemath]
 
== Източници и бележки ==
<references />
 
[[Категория:Аритметика]]
Взето от „https://bg.wikipedia.org/wiki/Степенуване_(математика)“.